集合间的基本运算

1、YOUR LO集合间的基本运算集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNJj3集合的基本运算一、学习目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、 并集的性质解决有关问题.4.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用 补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在 全集中的补集，并能解答简单的应用题.二、知识梳理1. 并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合/ 或者属于集合方的A,或

2、元素组成的集合， 称为集合力与万的 并集，记作&U 尸（读作并B” ）交集由属于集合/且属 壬集合方的所有元 素组成的集合，称 为M与方的交集， 记作业（读作乜 交B” ）AB= xx.A.且xE兔2. 并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质AUB=BUAAHB=BnAAUA=AAHA=AAU =Aah =ABAC B= BABACB=A3. 全集(1) 定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的质直元塞，那么就称这个 集合为全集.(2) 记法：全集通常记作4. 补集文字语言对于一个集合儿 由全集Z7中不属于集合/的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，记作 l-

3、A符号语言rA= xx. 6,且 M图形语言5. 补集的性质卍=,(；=u, iCm) =g三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1 (1)设集合M= 4, 5, 6, 8,集合Ar= 3, 5, 7, 8,那么心艸等于()A. 3, 4, 5, 6, 7, 8B. 5, 8C. 3, 5, 7, 8D. 4, 5, 6, 8(2)己知集合P= x x3, 0=匕一1 WxW4,那么PU Q等于()A. x 1Wa3B. x 1WxW4C. x xW4D. xxl答案(1)A(2)C解析(1)由定义知 MJN= 3, 4, 5, 6, 7, 8.(2)在数轴上表示两个集合，如图.规律方法 解

4、决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的 数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法 表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心 点”表示.跟踪演练 1(1)己知集合 /= /| (x1) (x+2) =0；万=聞(x+2) (x3) =0,则集合/U方是()A. -1,2,3B. -1, 一2,3C. 1, -2,3D. 1, 一2, -3(2)若集合W=/3xW5,并=匕匕5,则凱.答案(1)C(2)xx3解析(1)爲=1, -2,方=一2,3,彳=1, -2, 3.(2)将一3xW5, x5

5、在数轴上表示出来.则 J/U2=”xV5,或 x3知识点二集合交集的简单运算例 2 己知集合 A= 0, 2, 4, 6, B= 2, 4, 8, 16，则 AHB等于()A. 2B. 4C. 0,2,4, 6, &16D. 2,4设集合M=x|lWxW2, =x|0WxW4,则的方等于()A.匕 0WxW2B. x|lWxW2C. x 0WxW4D. x|lWxW4答案(1)D(2) A解析(1)观察集合力，B,可得集合尸的全部公共元素是2, 4,所以AHB= 2,4.(2)在数轴上表示出集合力与万，如下图.则由交集的定义可得AHB=x0x2.规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集

6、合，和求并集的解决方法类似.跟踪演练 2 己知集合 A=x -13, B= U|0,或 xM,求 AQB, AU.解,：A=xlx3f B= x 0,或 x$, 把集合力与尸表示在数轴上，如图.:.AnB=x-lx3 A x|a0,或 Q= /1xW0,或WxW3；AUB= U|-l3 U x|xW0 或 x$=R.知识点三已知集合交集、并集求参数例 3 己知 F=x|2aWxW$+3, B= xx5,若 AQB=f 求实数& 的取值 范围.解由AHB=f若 A=f 有 2aa+3, ：.a3.(2)若月H,如下图：解得一W&W2.综上所述，&的取值范围是一W&W2,或$3.规律方法1.与不等

7、式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现 参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2. 建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是 把端点值代入题目验证.跟踪演练 3 设集合 A= x lxa, B= x 13且/U/= x| lx3,求曰 的取值范围.解如下图所示，由 AUB= U|-l3知，1V&W3.知识点四简单的补集运算例4 (1)设全集庐=1,2, 3, 4, 5,集合/=1,2,则必等于()A. 1,2B. 3, 4, 5C. 1,2, 3,4, 5D.(2)若全集心-R,集合A=x 1,则胡=.答案(1)B(2) W1解析(1) U

8、= 1, 2, 3, 4, 5, A= 1, 2,两=3,4,5.(2)由补集的定义，结合数轴可得期=划*1.规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续 时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2. 解题时要注意使用补集的儿个性质：/=,=，MU(M)=ZZ跟踪演练1已知全集U=x at-3,集合/=x|34解析 借助数轴得两=匕|/=3,或x4知识点五交集、并集、补集的综合运算例5 己知集合/、方均为全集Z7=1,2,3,4的子集，且-UU5) = 4, 5= 1, 2,则 /m疗等于()A. 3B. 4C. 3,4D.(2)设集合 S=U|.y-2, T=

9、x则(RS) U T等于()A. x 2VxWlB. x xW4C. x xWlD. xaI答案(1)A(2)C解析41,2,3,4,如3 =,./lU5=l,2, 3.又 V5=1,2,3J1,2, 3.乂 必=3, 4,:.AHlB= 3.(2)因为 S= (x x2,所以 rS=x|xW2.而 ex|4WxWl,所以(rS) U?=x|xW2 U x|4WxWl=/|xWl规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号 的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合； 当集合是用

10、描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.跟踪演练 2 设全集为 R, A=x3x7, B= U|2.y10,求 R(U5)及(M)QE 解 把全集R和集合人方在数轴上表示如下：由图知，AB=x2x10frC4UB = x|xW2,或 Q0.M=x|x3,或 xM7,/. () A5=x|2jr3,或 7WxV10要点六补集的综合应用例6己知全集 8R,集合A=xB=x2axa+3f且血，求&的取值范围.解 由题意得M= x1(1) 若方=,则a+3W2$,即自23,满足5&(2) 若另，则由得2血一 1且2自$+3,即一W$3.综上可得日2 .规律方法1.与集合的交、并、补运算

11、有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.跟踪演练3己知集合A=x xaf B= U0,若AQ (R5)=,求实数曰的 取值范围.解 V5= xx0,:*= x lWxWO,因而要使/()=,结合数轴分析(如图)，可得曰W 1.四、课堂练习1. 若集合 /=0, 1,2,3, 5= 1,2, 4,则集合 AUB等于()A. 0, 1,2,3, 4B 1,2,3, 4C. 1,2D. 0答案A解析 集合力有4个元素，集合方有3个元素，它们都含有元素1和2,因此，AUB共含 有5个元素.故选A.2

12、. 设/= 胆N IWxWIO, 5=jrR Y + -6 = 0,则如图中阴影部分表示的集合为（）A. 2B. 3C. -3,2D. -2,3答案A解析 注意到集合力中的元素为自然数，因此易知4= 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,而直接解集合方中的方程可知B= -3, 2,因此阴影部分显然表示的是AQB= 23. 集合 F=xWZ|0W/3, J/=xER|fW9,则 PM 等于（）A. 1,2B. 0,1,2C. x 0Wx2,或 x0,方=”一*2,或 xVO, B= x xf:.AHB= U|-0,或 2jv, AUB=R.故选 B.5. 设集合必=x；3Wx7

13、, M=x|2x+RW0,若.l/A,则实数R的取值范围为答案底6解析 因为朋=x|2x+RW0 = x xW ,且所以一2 3殳W6.6. 若全集必=1,2, 3,4,5,川=2, 4,则屏等于（）A. B. 1,3,5C. 2, 4D. 1,2, 3, 4, 5答案B解析 山=1,3,5,所以选B.7. 己知全集=1,2,3, 4, 5,集合 /=1,2, B= 2, 3, 4,则 50 rA 等于（）A. 2B. 3,4C. 1,4, 5D. 2, 3,4, 5答案B解析=1,2,3,4,5, M=1,2, uA= 3, 4, 5,:.BCuA= 2, 3, 4 n 3, 4, 5 =

14、3, 4.8. 己知 M=0, 1,2,3,4, 41,3,5, P=MN,则尸的子集共有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个答案B解析: P= 1, 3,子集有2:=4个.9. 己知全集=Z,集合/=0,1, 5= -1,0, 1,2,则图中阴影部分所表示的集合为（）A. -1,2B. -1,0C. 0, 1D. 1,2答案A解析 图中阴影部分表示的集合为（） 0 5,因为力=0,1, 5= -1,0, 1,2,所以方=一1,210若全集U=R,集合/=閉$1 U x|xW0,则必=.答案 dlOVxVl解析 9.9A= x QI U ”xWO,:.uA= k|Oxl.五、巩固训练

15、1. 己知集合 A=xE=lWxW2,则 AB等于（）A. x 1B. x xW2C. x 02D. x|lWxW2答案A解析结合数轴得AUB= U -1.2. 己知集合 M=x U-l）:4, xWR, = 1,0, 1,2,3,则 WIN 等于（）A. 0, 1, 2B. -1,0, 1,2C. 一1,0, 2, 3D. 0,1,2, 3答案A解析 集合 M=x-lx3f AreR, -1, 0,1, 2, 3,则如片0,1,2,故选 A.3. 设集合 M= x Y + 2=0, R, ;V= x 2x= 0, xWR,则 J/UA，r等于（）A. 0B. 0,2C. 一2. 0D. -2

16、, 0, 2答案D解析集合 M=0, 2, =0,2,故 MUV=2,0,2,选 D.4. 设集合W=x|-3VxV2,V=bdlWxW3,则 MCV 等于（）A.匕 1WxV2B. x|lWxW2C. x 2x3D. x|2WxW3答案A解析 9：M= x 3x2且 AJx|lWxW3,:.MHN=xlx25. 设/=x|3WxW3, 5=y|y=-r+t.若AB=,则实数广的取值范围是（ ）A. f3D.答案A解析B= yyz t,结合数轴可知r 3.6. 若集合 A= xx：2, B= xxa，满足 AHB= 2,则实数 0,满足5U C= C,求实数&的取值范围.解 （1） *=x|x

17、$2, .*.05= U|2,vf BU C= CBC, 4.8. 集合/=0,2, 4, 5=1,刃，若 AUB= 0, 1,2,4, 16,则曰的值为()A. OB. 1C. 2D. 4答案D解析mo, 1,2, a, a,又力 UB= 0,1,2,4,16,$, a = 4,16, ：.a=4.9 已知集合 M=x|2WxW7, B= x,且另，若 AUB=A,则( )A. 3W也W4B. -3zz?4C. 2/z?4D. 2mW4答案D解析 9：AUB=A, :.BA.又 BH,即2mW4.10. 设集合 M=x|lW 点 2, B=x -14, r=|-32且集合 AQ (5U 6)

18、=x 2WxWb, 则 a=, b=.答案T 2解析 V5Ur= U|-3a.(1) 若求实数臼的取值范围；(2) 若MQ尸工，且求实数&的取值范围.解(1)如图可得，在数轴上实数在一2的右边，可得日鼻一2；(2)由于的另，且曲时人,所以在数轴上，实数曰在一2的右边且在4的左边，可得一 2WX4.12已知集合F=x|2WxW5,万=x|2$WxW日+3,若AUB=A,求实数$的取值范 围.解：AUB=A, :.BA.若方=时，2$+3,即 a3；若另时，解得一1综上所述，$的取值范围是曰一1W&W2,或a313己知集合/=x|2$+lWxW3曰一5, B= x x16,分别根据下列条件 求实数

19、$的取值范围.(1) A5=； (2)/G4QB.解若A=f则AHB=成立.此时2爲+13曰一5,即 a6.若力H,如图所示，则解得6W日W7.综上，满足条件AHB=的实数&的取值范围是臼|日W7.(2) 因为 A(A0)f 且所以ACB=At即肋.显然/=满足条件，此时a综上，满足条件的实数臼的取值范围是U|a13已知全集 U= 1, 2, 3, 4,集合 M=1,2, B= 2, 3,则 P(A U 5)等于()A. 1,3,4B. 3,4C. 3D. 4答案D解析 /=1,2, B= 2, 3,2治1,2,3,cC4UB = 4.14. 己知 /=”x+l0, 5= -2, -1,0,

20、1,则(胡)门方等于()A. 一2, 1B. 2C. -1,0, 1D. 0, 1答案A解析 因为集合/=x1,所以 “=”xW_l,则（）n5=U|x-in-2, -1,0,1=2, 1.15. 设 U=R, A=x jt0, B= U|.y1,则/Q （等于（）A. x 0WxlB. ”0xWlC. x xl答案B解析 0=x|xWl, /Q（/） = x|0xWl.16. 设全集Z7是实数集R,2,或Q2, N=a|lWxW3.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（）A. x 2Wx3D. / 2WxW2答案A解析 阴影部分所表示的集合为I/UA）=（朋n CM =匕一2WxW2门匕 XI

21、或Q3= /|2Wxl.故选 A.5.己知集合/=*0WxW5,万=2WxV5,则 0=.答案/|0WxV2,或 x=5解析如图：由数轴可知：0=x|OWx2,或x=517. 设全集/=R,集合/=x；x20, B= y|yl,则胡与的包含关系是.答案lA出解析 VL-A= x xQ , uB= y|yl = xxlLA uB18. 已知全集 =R, /=x|-4WxW2, B=x -1jv3, P=,求AGB；求個U P；求（的方）n （d）.解（l）/QE=x|l3,個UP=. UA5） n CQ = Ul 一1 VxW2 n = x 0xW219. 已知集合A=xxa, B= W1at2,且/U個=R,则实数a的取值范围是（）A. $W1B. a2答案C解析 如图所示，若能保证并集为R,则只需实数臼在数2的右边（含端点2）,所以20如图，Z是全集，M、P、S是Z的3个子集，则阴影部