9A文数值分析典型例题

1、MeiWei 81 重点借鉴文档】第一章典型例题3例 3ln2=0.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解精确到 1030.001，即绝对误差限是 0.0005,故至少要保留 小数点后三位才可以。 ln2 0.693第二章典型例题 例 1 用顺序消去法解线性方程组解顺序消元41214155.5r3 r 2 ( 3)00.555.520.500171710.51.52141r2 r1( 3/2)2A b3214r3 r1 ( 1/ 2)012410于是有同解方程组2x1 x2 4x3 10.5x2 5x3 5.5 17x3 17回代得解R3=1,R2=1,R1=1,原线性方程组的解

2、为 R(1,1,1)T 例 2 取初始向量 R(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组x x x xxxx x x解建立迭代格式x1(k 1) 2x(2k) 2x3(k) 1x2(k 1) x1(k) x3(k) 3 (k=1,2,3,)x3(k 1) 2x1(k) 2x2(k) 5第 1 次迭代,k=0R(0)0，得到 R(1) (1,3,5)T 第 2 次迭代， k=1x1(2) 2 3 2 5 1 5x2(2) 1 5 3 3x3(2) 2 1 2 3 5 3 R(2)(5,3,3)T 第 3 次迭代， k=2MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文

3、档】x1(3) 2 ( 3) 2 ( 3) 1 1x2(3) 5 ( 3) 3 1x3(2) 2 5 2 ( 3) 5 1 R(3)(1,1,1)T 第4 次迭代， k=3x1( 2) 2 1 2 1 1 1 x(22) 1 1 3 1 x3( 2) 2 1 2 1 5 1R(4)(1,1,1)T例 4 证明例 2 的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德 尔迭代法发散。证明例 2 中线性方程组的系数矩阵为1 2 2 A 1 1 12 2 110 于是 D 0 1000 0 0 10 D D L 1 01 2 2雅可比迭代矩阵为10002B0 D 1(L U)0 1 0 1 00012202

4、1022220100210I B0 1 1 1 12 2 2 2 2 ( 2) 2( 1) 2 2 2( 1) 3 0得到矩阵 B0的特征根 1,2,3 0 ，根据迭代基本定理 4，雅可比迭代法收 敛。高斯赛德尔迭代矩阵为G (D L) 1 U100102210002202211000111000102322100002100000222I G 0 2 3 ( 2) 00 0 2解得特征根为 1=0， 2,3=2。由迭代基本定理 4 知，高斯赛德尔迭 代发散。MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】例5 填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组x x x xx

5、x xx 作 第 1 次 消 元 后 的 第 2 ， 3 个 方 程 分 别 为。答案 ： x2 0.5x3 1.52x2 1.5x3 3.5解答选 a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2R1+2R2+3R3=3， 消元得到x2 0.5x3 1.52x2 1.5x3 3.5是应填写的内容。 3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组x x xx x xx x x 的迭代格式中 x2(k 1) (k=0,1,2,)答案 ： 3 x1(k 1) x3(k)解答 ：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求R2的值时应该用上 R1 的新值。第三章典型例题例1 已知函数 R=f(R)的观察数据为R

6、k2045Rk5131试构造拉格朗日插值多项式 Pn(R)，并计算 f(1)的近似值 只给 4 对数据，求得的多项式不超过 3 次 解先构造基函数l (x) x(x )(x ) x(x )(x )l (x) ( )( )( )l (x) (x )(x )(x ) (x )(x )(x )l (x) ( ( )( )( )l (x) (x )x(x ) x(x )(x )l (x) ( )( )( )l3(x)(x 2)x(x 4) (x 2)x(x 4) (5 2)(5 0)(5 4) 35所求三次多项式为MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】nP3(R)= yk

7、lk(x)(x )(x )(x )( ) x(x )(x ) k0 x(x )(x ) (x )x(x ) x x xf( 1) P3(1)l k (x)(k , , ,.,n) 是3例 3 设x ,x ,x ,., xn是 n+1 个互异的插值节点， 拉格朗日插值基函数，证明： nn(1) lk(x) (2) lk(x)xkm xm(m , , ,., n) kk 证明(1)Pn(R)=R0l0(R)+R1l1(R)+Rnln(R)= yklk (x) k0(n )Rn(x) (n )!当 f(R) 1 时，()n (x), f (x) Pn (x) Rn(x)(n ) ( )( ) n (

8、x)k1 Pn(x) Rn(x) k lk(x) (n )!n由于 f (n ) (x) ，故有 lk(x)k(n )(2) 对于 f(R)=Rm,m=0,1,2,n，对固定 Rm(0 m n),作拉格朗日插值 多项式，有nxm Pn(x) Rn (x)xkmlk(x)k()(n ()!) n (x) 当 nm1 时， f(n+1)(R)=0，Rn(R)=0，所以 n xkml k(x) xm k注意：对于次数不超过 n的多项式 Qn(x) anxn an xn. a x a ,利用上结果，有Qn(x) anxn an xn . a x an n n n =an lk(x)xkn anlk (

9、 x) xkn . a lk(x)xk a lk (x)k k k k nn= l k (x) an xkn an 1xkn 1 . axk a0Qn(xk)lk(x)k 0 k 0n上式 Qn(xk)lk(x) 正是 Qn(R)的拉格朗日插值多项式。 可见，Qn(R)的拉 k0格朗日插值多项式就是它自身， 即次数不超过 n的多项式在 n+1 个互 异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】例5 已知数据如表的第 2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。 n=5。a0,a1 满足的法方程组是kRkRkxkRkRk11

10、414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5aa a a .解得 a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为 R=2.45+1.25R例 6 选择填空题1.设 R=f(R), 只要 R0,R1,R2 是互不相同的 3 个值，那么满足 P(Rk)=Rk(k=0,1,2)的 f(R)的插值多项式 P(R)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是 (),牛顿插值多项式的余项是 () f (n ) ( )(A) Rn(x) f(x) Pn(x)n (x)(n )!(B)f(R,R0,R1,R2, R,n)(RR1)(RR2)

11、(RRn1)(RRn)(C) Rn(x)f(x) Pn(x) f(n )( ) n (n )!(D)f(R,R0,R1,R2, R,n)(RR0)(RR1)(RR2) (RRn1)(RRn) 答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章典型例题例1试确定求积公式 f (x)dx f( ) f( )的代数精度。 依定义，对 Rk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的 k 数值 解当 f(R)取 1,R,R2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(R)=1,有左边 f (x)dx dx ,右边 f ( ) f ( )左边f(x)dx dx ,右边f ( ) f( )(2)取 f(R)=R

12、,有(3) 取 f(R)=R2,有 左边= f (x)dx x dx ,右边= f(MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】(4) 取 f(R)=R3,有左边=f(x)dxx dx,右边= f() f( ) () ( )(5) 取 f(R)=R4,有左边=f(x)dxx dx,右边= f() f( ) () ( )当 k 3 求积公式精确成立，而 R4 公式不成立，可见该求积公式具 有 3 次代数。例5试确定求积公式 f(x)dx hf (0) f(h) ah2 f (0) f (h)中的参数 a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数 a。当

13、f(R)=1,R 时，有 hh1dx 1 1 0 ,即 h=h h h 2h2 h232ah32hh2h f(0) f (h) h f (0) f (h)2120x1dx 20 h ah2(1 1) , 2 2 不能确定 a，再令 f(R)=R2,代入求积公式，得到x2dx h0 h2 ah2(2 0 2h),即 h3 h0 2 3 得 a 1 .求积公式为 f (x)dx12 0将 f(R)=R3 代入上求积公式，有h 3 h 3 h22x3dx 0 h3 (3 0 3h2) 可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(R)=R4 代入上公式中，有h 4 h 4 h 3x4dx 0 h4

14、(4 0 4h3 )所以该求积公式具有三次代数精度。例 6 选择填空题1.牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点 是。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其 精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题 例 1证明方程 1RsinR0在区间0,1内有一个根， 使用二分法求 误差不超过 0.5104 的根要迭代多少次？证明 令 f(R)1RsinR f(0)=10 ， f(1)= sin10( R 0 ，1), 故 f( R) 0在区间0 ，1内有唯MeiWei_81 重点借鉴文档】一实根。给定误差限 0.5 10 ，有 ln(b a) ln ln .

15、 ln n.lnMeiWei 81 重点借鉴文档】ln只要取 n 14。例2 用迭代法求方程 R54R20的最小正根。计算过程保留 4 位小数。x x,即 (x) x , (x) x建立迭代格式 x分析容易判断 1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式x (x ( , ) ，此时迭代发散。5 4x 2, (x) 5 4x 2, (x) 4 4(1 x 2) ，55 (4x 2)4 5此时迭代收敛。解建立迭代格式x x , (x) x(x) 4 4(1 x 2),取初始值x0 1(可任取 1，2之间的值) 55 (4x 2)4 5x x1.4310xx . 1.5051x x .1.5165xx

16、. 1.5182x x . 1.5185取 x 1.5185例 3 试建立计算 a 的牛顿迭代格式，并求 . 的近似值，要 求迭代误差不超过 1055。a ，求 R 的值。牛顿迭代格式为分析 首先建立迭代格式。确定取几位小数 ,求到两个近似解之差 的绝对值不超过 10解 令 x a, f(x) xf(xk )xxk axa(k, ,.,)xkxkf (xk)xk xkxkxk(k, ,.,)迭代误差不超过 105，计算结果应保留小数点后 6 位。 当R=7或 8时，R3=343或 512，f ( )f ( ) ,而f( )f ( ) ,取 R0=8, 有a.x x a . 7.478078x

17、a.x x a . . 7.439956 x.x x .a.x x a . . 7.439760x.MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】x x .x x a . . 7.439760 x.于是，取 x 7.439760例 4 用弦截法求方程 R3R210，在 R=1.5 附近的根。计算中 保留 5 位小数点。分析先确定有根区间。再代公式。解 f(R)=R3 R21， f(1)=1，f(2)=3，有根区间取 1,2取 R1=1,迭代公式为xnxnf (x ) f (x )(xn xn ) (n=1,2, ) f (xn ) f (xn )xxx x (x x ) . xxxx.x . . . ( . ) 1.37662 .x . ( . . ) 1.48881 . . . .x . . . ( . . ) 1.46348 .x