2013备考冲刺易错题回归复习-导数及应用

1、2013备考冲刺易错题回归复习 导数及应用（教师版） 导数及应用 、咼考预测 从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极 值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用， 考查的形式是解答题考查导数 在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部 分函数和导数的基础试题难度也不大， 但少数函数的基础试题难度较大，解答题 中的函数导数试题也具有一定的难度. 由于该专题的绝大多数内容（除定积分）都是传统的高中数学内容，在考查上 已经基本稳定（难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定），预计2012年基本 上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式

2、考查导数的几何意义 的应用，定积分的计算及其简单应用.以解答题的方式考查导数在函数问题中的 综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究 函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题， 考查函数建模和利用导 数解模. 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调 性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因 此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单 调性（这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点），在解决好上述问题后， 要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究

3、性训 练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点. 二、知识导学 要点1:利用导数研究曲线的切线 1. 导数的几何意义：函数y f（x）在X。处的导数f（X）的几何意义是：曲线 y f（x）在点P（xo，f （xo）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 s（t）对时间t 的导数）。 2. 求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数y f（x）在点x xo的导数，即 曲线y f（X）在点P（Xo, f （Xo）处切线的斜率；（2）在已知切点坐标P（Xo, f （Xo） 和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y yo f（xo）（x冷）。注：当曲线 y f（x）在点P（xo，f（xo）处的切线平行于y轴（此时

4、导数不存在）时，由切线定 义可知，切线方程为x Xo;当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求 解。 要点2:利用导数研究导数的单调性利用导数研究函数单调性的一般步骤。 （1）确定函数的定义域；（2）求导数f （x） ； （3）若求单调区间（或证明单 调性），只需在函数y f（x）的定义域内解（或证明）不等式f （x） o或f （x） v 0。若已知y f（x）的单调性，则转化为不等式f（X） o或f （x） 3、而是4 0. 2. 在歡#只分基本定理中，痰函数不是唯一的，但我们貝妾选取其中的一个就可以了， 一般情况下选那个不带常数的。因为 bbb f （x）dx F（x） ca F（x）a

5、 F（b） F（a） x轴两侧的图形的面积的计算，分 3 利用定积分来求面积时，特别是位于 两部分进行计算，然后求两部分的代数和. 三、易错点点睛 命题角度1导数的概念与运算 .设 f(x) sinx， fi(x) f(x) f2(X)fi(x) . fn 1 (x)fn(x) ,n N,则 f212 (x) A.si nx 考场错解 ) B.-s inx 选C C.cosx D.-cosx 专家把脉由 fi(x)=fo(x) (sin x) cosx, f2(x) fi(x)(cos x) sin x ,f3(x)=(-sjnx) =-cosx,f3(x) ( sinx) 对症下药选A co

6、sx , f4(x) ( cosx) sinx,故周期为 4。 2已知函数f(x)在x=1处的导数为3, f(x)的解析式可能为() A. f(x)=(x-1)3+32(x-1) D. f(x)=_x+3 B. f(x)=2x+1C . f(x)=2(x-1)2 考场错解选 B t f(x)=2x+1,二 f (x)=(2x+1) =2x+1|x=仁3. 专家把脉上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为(2x+1) =2x+1.正确 的是(2x+1) =2,所以x=1时的导数是2,不是3。 对症下药选 k Jf () = (-1)3+37 (s)=3(k-1) 2+3,当 时严(1)=3 3已知

7、玖3匸2 (3)-2,则血“可的值为() A. -4B. 0 C- 8D.不存在 考场错眸选 D -x-3-*0lim 土瞬不存在. 【专家把脉限不存在是错误叭雷实上，求斗型的极限婪通过将式子旻形的可求的. 对越下药选匚血2呼) r-3 J 3 = ip-3/W-3-3 皿pg僭. 2-3/(3) -2-3x(-3)-S. kt 于石一3f-3 4.已f(K)=e= (cosK+sinz) 足胡的所有正数区从小到大拄咸魏列匚 (2)记区是数列氐班决)的前项和.求lim民吃十乜 (cosK+sinK) =e-K (-Einacoss) =2 瞎场错解甘制 -e-k (posK+sini5) +

8、(e_s) +e-x (cosx+sinx) e-xcosx 令 f (x)=0,x=n n + 2 (n=1, 2, 3,)从而 Xn=n n + 2。f(x n)=e-( n n _f(Xn 1)_ + 2)(-1) n f(xn)=-e2. 数列f(x n)是公比为q=-e-n的等比数列。 专家把脉上面解答求导过程中出现了错误，即(e-x ) =e-x是错误的，由 复合函数的求导法则知(e-x ) =e-x(-x) =-e-x才是正确的。 对诊下药(1)证明：f (x)=(e-x) (cos+sinx)+e -x(cosx+sinx) =-e-x (cosx+sinx) +e -x (-

9、sinx+cos) =-2e-xsinx. 令 f (x)=0 得-2e-xsinx=0，解出 x=n n ,(n 为整数，从而 Xn=n n (n=1,2,3,), f(xn 1) e f(x n)=(-1)ne-n n f(xn),所以数列|f(xn)|是公比q=-e的等比数列，且首 项 f(x 1)=-e 一n n 1 (2)S n=xf(x 1)+X2f(x 2)+ +xf(x n)=nq(1+2q+nq-) 1 qnq 1 qn aS=n q(q+2q2+nq)= n q( 1 q -nqn)从而 S= q ( 1 q -nqn) 2n 2 口殂亠 2q 3(1 qn)亠， n(1

10、q)2 n(1 q)3(1 q)2 Si S2Sn qe -nlimlim:z / |q|=e1 /. nqn=O,二 nn(1 q) (1 e ) x=a 处可导，则 nlim fX a(a) 专家会诊1 理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数 f(x)在 f(a)的运用。2复合函数的求导，关键是搞清复 合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏 3 求导数时，先化简再求导 是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的 分式函数；对数函数求导先化为和或差形式； 多项式的积的求导，先展开再求导 等等。 命题角度2导数几何意义的运用 1.曲线y=x3在点(

11、1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为 考场错解填2由曲线y=x3在点(1，1)的切线斜率为1，a切线方程为 1 y-1=x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=2 x 2X 2=2。 专家把脉根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处 的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的 8 对症下药填3。： f (x)=3x2当x=1时f (1)=3.由导数的几何意义知，曲 y 3x 2 线在点(1,1)处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2.联立x 2 2 得交点(2, 4)。又y=

12、3x-2与x轴交于(3， 0)。二三条直线所围成的面积为 1 2 8 S=2 X 4X( 2- 3 ) =3。 2.设t工0,点P (t,0 )是函数f (x) =x3+ax与g(x)=bx 3+c的图像的一个公共点， 两函数的图像在P点处有相同的切线。(1)用t表示a、b、c；(2)若函数y=f(x)-g(x) 在(-1，3)上单调递减，求t的取值范围。 考场错解(1) 函数f (x) =x3+ax与g(x)=bx 2+c的图像的一个公共点P(t,0). 二f(t)=g(t)13+at=bt 2+c.又两函数的图像在点P处有相同的切线， f (t)=g (t)3t 3+a=2bt.由得 b=

13、t，代入得 a=-t2. c=-t 3. 专家把脉上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由、两式是不可用 t 表示a、b、c,其实错解在使用两函数有公共点 P,只是利用f(t)=g(t) 是不准 确的，准确的结论应是f(t)=0 ，即13+at=0，因为t工0,所以a=-t 2.g(t)=0 即 bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在(t,0 )处有相同的切线， 所以 f (t)=g;(t). 即 3t 2+a=2bt, t a=-t2, b=t.因此 c=ab=-t2 t=-t 3.故 a=-t 2,b=t,c=-t3 (2)解法 1 y= f(x)-g(x)=x 3-t 2

14、x-tx 2+t3 y =3x2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t). t 当 y=(3x+t)(x-t)0 时,函数 y=f(d)-g(x) 单调递减。由 y 0,若t0,则 tx0,则-3x3或-3 3。即 t 3。又 当-9t3时，函数y=f(x0-g(x)在(-1，3)上单调递增，所以t的取值范围(- X, -9) U( 3, +x) 322322 解法 2 y= f(x)-g(x)=x -t x-tx +t ,y =3x -3tx-t =(3x+t)(x-t). ；函数歼/0)飞(7在卜1，册上单调递鴻 且 七直+t)衽卜1)上恒咸立, 3已知函埶丁二d+b宀血在r士 1处有极價

15、.(1)讨谊f和f(7是函数的柳丈值还 是极小值. 过点扎 16)作曲线y=/的切绻 求此切疑行程. 考场错解(1)(K)= 3ax：+z-30故(孟)在(-竺-1)和斗“)上都是智 函飙 若xE (池1),则f J (x) 16)j 可能 成为切点。因此过点A不在曲线，因此根求方程必须先求切点坐标。 2 对症下药(1) f (x)=3ax +2bx-3，依题意 f (1)=f (-1)=0 3a 2b 30 即 3a 2b 3 o 解得 a=1,b=0 f(x)=x 3+3x,f (x)=3x 2-3=0.解得 x= 1. 又x (- x ,-1) U (1,+ x)f (x)0 f(x)在

16、(-x ,-1)与(1 , +x)上是增函数。 若 x -1,1时，f (x) 0,故 f9x)在-1 , 1上是减函数。 f(-1)=2 是极大值。f(1)=-2 是极小值。 (2)解：曲线方程为y= f(x)=x3-3x，点A(0, 16)不在曲线上。设切点M(x,y ), 则点M在曲线上， 二 y0=x 0-3x 0.因 f(X0)=3x 0-3.故切线的方程为 y-y 0=(3x 0-3)(x-x 0). /点 A( 0, 16)在曲线上，有 16- (x20-0 ) =3(x20-1)(0-x 0),化简得 x30=-8，得 X0=-2. 专家会诊 设函数y=f(x),在点(x0,y

17、 0)处的导数为f(X。)，则过此点的切线的 斜率为f(X。)，在此点处的切线方程为y-y 0=f (x 0)(x-x 0).利用导数的这个几何 意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。 命题角度3导数的应用 1.(典型例题)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. 求f(x)的单调递减区间；(2) 若f(x)在区间-2 , 2上最大值为20,求它在该区间上的最小值。 考场错解(1) f(x)=-3x2+6x+9,令 f (x)0,解得 x3,二函数 f(x)的 音调递减区间为(-%, -1 )( 3, +x) (2)令 f (x)=0,得 x=-1 或 x=3 当-2vxv-1 时，f

18、 (x)0；当-1x0； 当 x3 时，f(x)v0. x=-1,是 f(x)的极不值点，x=3 是极大值点。二 f(3)=-27+27+27+a=20. a=-7. f(x)的最小值为 f(-1)=-1+3-9+a=-14. 专家把脉在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端 点的函数值进行比较大小才能产生最大(小)值点，而上面解答题直接用极大(小) 值替代最大(小)值，这显然是错误的 对症下药(1)得 乂1或 Q3 因次十卜2)二278坯2乜，壬Ml廿毎+沪臨十a,所厲/(对住-丄，戈因光在(7 3) 2/VP0,所以了在-1. 2上单调递増，又由于/(工)在卜Z -1上单

19、调谨隊 因此 f和班F分别是_/0)在区间卜2 2上的最大值和最小值，于是22+1=20,解得斗 ft f (希因此,f -L = l+3-9-S=-7 目卩蹄了衽區间乜 刃上的衆小值为f 2,已知函数f =3X+3kl-k+1在艮上是碱函数，求3的取1貞范 着场错解丁厂珂女北爼-打因育子(忑)在R上是减函埶所以if (可)刃盈母厂10对任 解得a0时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如f(x)=-x3是减 函数，f(x)=3x2并不恒小于0，( x=0时f (x)=0).因此本题应该有f (x)在R 上恒小于或等于0。 对症下药函数f(x)的导数：f(x)=3x2+6x-1. 当f(x)=

20、3ax2+6x-1v0对任何x R恒成立时，f (x)在R上是减函数。 对任何 x R,3ax +6x-10 恒成立， a0 且厶=36+12a0 a-3. 所以当a-3时，由f (x)-3时，f (x)=3ax 2+6x-10在R上至少可解得一个区间，所以当 a-3 时，f(x)是在R上的减函数。综上，所求a的取值范围是(-，-3 )。 3. 已知a R,讨论函数f (x) =ex(x 2+ax+a+1)的极值点的个数。 考场谱解f r(x) =ex(K*+ax+a-t-l) +ex(2x+aJ=ex x*+ (a+2)x+(2a+l_) * 令尹 M=o 得乳十山坨丘十a+-：) 2-4(

21、Ea-+1) 当即G4或曲时，方程W有两牛不相等的实软根s跖 因优函两 个极值点 当孑-4行即沪或a=0时，亓程(半)有两亍相等实数根x =k；因此函数川巧有一极信 呂口 J口 a：-4aO,SPoa401i再程0 即 a4 时，方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根Xi、X2,不妨设xix2.于是 f(x)=ex(x-x i)(x-x 2),从而有下表 X (-X ,x 1) X1 (x 1,x 2) X2 (X2,+ X) F (x) + 0 - 0 + F(x) f(x 1)有极大 值 f ( X2)有极小值 即此时f(x)有两个极值点。 (2) 当厶=0,即a=0或

22、a=4时，方程x +(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根 xi=x2 于是 f (x)=e x(x i-x 1)2.故当 x0;当 xxi 时，f (x)0 因此 f(x) 无极值。 (3) 当厶 0,即 0a0 ,f (x)=e xx 2+(a+2)x+(2a+1)0, 故f(x)为增函数，此时f(x)无极值点，因此，当a4或a0时，f(x)有两个极 值点，当0Wa0;(2) 定理：若g(x)在a、b上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点 x (a、 b),使g(X0)=0.试用上述定理证明：当整数m1时，方程f(x)=0,在e-m-m,e2m 内有两个实根。 考场错解令

23、f (x) 0,x ln(x+m).m0恒成立”， 并不是对x的一定范围成立。因此，m ex-x这个结果显然是错误的。 对症下药(1)函数 f(x)=x-ln(x+m),x (-m,+ g)连续，且 f (x)=1- x m , 令 f (x)=0,得 x=1-m.当-mx1-m时，f (x)1-m 时， f(x)0, f(x)为增函数。 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x (-m,+ g)都有f(x) f(1-m)=1-m，故当 1-m=f( min) 0,即 m0.即 m0. 证明：由(1)可知，当整数m1时， f(1-m)=1-m0,又 f(x)为连续函数，且当

24、 m1 时，f(e-m-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的 xK (e-m-m;1-m),使 2m(2m 1) f(x 1)=0,而当 m1 时,f(e 2m-m)=e2m-3m(1+1) 2m-3m1+2m+2-3m0.( / m1 2m-11). 类似地，当整数m1时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e 2m-m上为连续增函数，且f(1-m) 与 f(e 2m-m) 异号，由所緝定理知存在唯一的e：=-n)使故当整数汇1时，方程 在e-m_Rj内有两个买根口 6.用長为90顷，宽丸低血的扶方形铁皮做一佔儲的客器，先在四角分别截去一6小正 然后把四边翻转网 角，再焊拷而成

25、(如图J问it容器高丸多如朮容器的容积最大？ 叢大容和是多少？ 有场错解设容器刖高为屯容器的容积为焉则v= (9C-2X) (48-2x) -k=4x-276x;+432Ox =12TtL-56 2+4320=0 得比二 10.氐二阳 KXxOfij X),x30 时. 甲9+当戸36时，U有极大值可(36) 3故賦没肖最大值. 【专家把脉上酝解答有两处错氓一是没有注明療函数定义域;二是验算F 同的符号时, 计算._JC0; 100絹目肘 36iJV，0. U3症下药设容器的高为币容器的容积沖V.则* 9Q-2s) 43-2a) -x =4土-2俭: g24) V =12x：-552x+432

26、O 由于 12x：-552x+4320=0 得工产10拜汗吧 x0,10 x36 时，V 36 时 V 0.所以，当 x=10 时 V有最大 3 值 V( 10) =1960cm 又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10时,V有最大值V( 10) =1960。所以该窗口的高 为10cm,容器的容积最大，最大容积是 1960cnl 专家会诊1 证函数f(x)在(a,b )上单调，可以用函数的单调性定义，也可用 导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在(a、b)内个别点上满足 f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)0(或f(x) 4 + 4 + 6 = 0解得5分 2 13

27、5 2 f (x) -xx 6x 1 (II) 由(I )得32且1 x 3则 f (x) x2 5x 6 (x 2)(x 3) 由f (x) 0，解得x 2 或 x 3 ； f (x) 0，解得 x 3 或 x 2 ; f (x) 0，解 得2x3 f(x)的递增区间为:(,2)和(3,) ； f(x)递减区间为:(2,3)又 1711 ff Tf 要f(x) m 0有两个根,则f(x) 11 m 3 m有两解，由函数的单调性可得: 2、设函数 f(x) 132 x ax ax2 3，g(x) 2x 4x c. ( I)试问函数 f(x)能否 在x 1时取得极值？说明理由；(I)若a 的图象

28、恰好有两个公共点，求c的取值范围. 1，当 x 3,4时，f (x)与 g(x) 2 【解析】：(I) f (x) X 2ax a，令 f (。，a 1 当a 1时, 处无极值. f(x) 4分 0，f(x)在R上单调递增, 函数无极值.所以f(X)在x 1 (I) f(x) g(x) 1 3 _x 132 3x h(x) x x 3x ，令 3， x 3 (3, 1) 1 (1,3) 3 (3,4) 4 3 h(x) x2 2x 3，令h(x)0，x 1 或 3 h(x) 正 0 负 0 正 h(x) 9 单调递增 5 极大值3 单调递减 极小值 9 单调递增 20 3 f(x)与g(x)的

29、图象恰好有两个公共点，等价于 y h(x)的图象与直线y c恰好 有两个交点 205 c 33 或 c9 12 分 3、已知函数f(x) ax3 bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与 直线x 9y 0垂直。(I )求实数a,b的值；(U)若函数f (x)在区间m,2m 1 上单调递增，求m的取值范围。 【解析】：(I)f(x)的图象经过点M(1,4), a b 4。2分又 函数f(x)在区间m,2m 1上单调递增, m,2m 1 m 2m 则2m 1 ( 2,或 ,2,或m,2m 1 0,)。 m 2m 1 m 0 ，即 m 0.12分 .10 分 4、已知函数 在点 P2

30、,f 2 f(x) x a b(x x 处的切线方程为 0),其中aR且a0,b y 3x 1,求函数f x a x的单调区间;(川)若对于任意的 1,2 R( I)若曲线y 解析式;(n)求函数 2,不等式 10 在 1,1 上恒 1 2 f (x) 3ax 2bx，则 f(1) a 3a 2b。由条件知f(1)( 9)1，即 b 4a 1 3a 2b 9 0 4分联立 3a 2b 9解得b 36分 (口)f (x) x3 3x2 , f(x) 3x2 6x，令 f (x) 3x2 6x 0，解得 x 0 或x2。8分 成立,求b的取值范围. 【解析1由导数的几何意义得f 2 = 3,于是

31、= -3由切点 P2/2门在初=女+1上 W-2+A=7,解得儿函鞅/w解析式渋 0 y | X=工一一十9.:4分 CII) f Ix = 1 一号当a 0i0 与52时xi在,-oor0? OP-Kx)i内 是增函颤. 当d o时_；县然x* - o;解得”=土拓.y 工在区间 I一Ja I 和 I 亦,+0D I 内 是垢函数j在II和丨0,石I内是减函数, 日分 1 1/1 (ill)由cn)fflf广厂在上,1上的最丈值为y - 呵小的鮫丈岳 _4 _4j 对于任意的辽亡-,2，不等式/逼10在丄上恒尿立，当节仅当产E即 b 39 4 b 9 4a, a a,对任意的 1 2,2成立

32、.从而得b 7 4所以满足条件b的取值范围 7 是 4 .13分 f(x)在 01上是减函数，在1, 5、若定义在R上的函数f(x) ax bx2 ex 3同时满足以下条件： 上是增函数； f(x)是偶函数；f(x)在x 0 处的切线与直线y X 2垂直. (I)求函数y f(x)的解析式；(U)设 g(x) 41 nx m，若存在x 1，e，使g(x) f (x)，求实数m的取值范围 【解析】：(I) f (x) 3ax2 2bx c ,. f(x)在上是减函数，在1, 上是增函数， .f(1) 3a 2b e ，()由f (x)是偶函数得：b ，又f(x)在x 处的 1 切线与直线y x

33、2垂直，f()e 1，代入()得： 3即 13- f(x) x x 3 3 .5 分 (U)由已知得： 若存在x 1，e，使 4ln x m x2 1， 即存在x 1,e，使 m 41n x x21 4 4 2x2 设 M (x) 4ln x x21,x 1，e，则 M(x) x 2x x ，.8 分 令 M (x)= 0, / x 1,e x 2 , 上为减函数，当1 x 2时，M (x) 在1,e上有最大值. 又 M 11 1 所求.13分 当 x 2 时，M (x)0 , M (x)在(2,e 0 , M(x)在1, 2上为增函数， M(x) 0, M (e) e20 M (x)最小值为

34、5 e2.于是有m 5e2为 f (x) 6设函数 (U)当 a x1 , x2 1,2，恒有 (a21) 一2一m ln2 |f(xj f(X2) ax In x(a R). (I )当a 1时，求函数f (x)的极值; 1时，讨论函数f(x)的单调性.(川)若对任意a (3,4)及任意 【解析】：(I)函数的定义域为(, x 1 x ,L 成立，求实数m的取值范围. 1时， ).当a 1 f(x) x In x, f (x)1 x 当 0 x 1 时，f(x)0;当 L L 4分 1时, 2分 f(x)0. f (x)极小值=f (1) 11无极大值. f (x) (1 (n) 1 当a

35、1 1 当a 1 a)x a 2时, (1 a)x2 ax 1 f (x) x (1 x)2 x 0, 1 (1 a)(x a 1 x )(x 1) 令 f (x) 1 x a 1 1 ，即a 1 1 ，得a 2时, 令 f (x) 1. 1 当a 1 c0 0,得 令 f(x) f(x)在定义域上是减函数; 1 a 1 或 x 1; 2时，令f (x)0,得0 x 1或 1 a 1. (0 1 ) 2 时，f (x)在a 1 和(1, 1 ( ) (1 - 2时，f(x)在(0,1)和a 1单调递减，在a 0，得1 综上，当a 2时，f(x)在(0,)上是减函数； ,1) )单调递减，在a

36、1 上单调递增； .1 _ 1)上单调递增；L L 8 (Ill)由 II) 5D=当山时，/(%)在12上单减，(1)是最大值，于(2)是最小 值. 2 .- |/C)-)| /Q)- /(2) = |-1 +2, 10 分.筈如十心 #+1口2 -311 而左A 0经整理博朋A占上，由3 5 44go-如分 疋一1/-1 n15 L已知函数/(X)三严(+盖一和(k 0). ( I )求/g的单调区M (II)是否存在 实数4使得函数/(力的极大值等于兀丿？若存在，求出丘的值 若不存在，诸说明理由. 【解析】；(I)的宜丈域为氏 f (打=-后*才+卞-+巴弘(2工+1) = U弘-后2

37、+ (2 -七k + 2h 2 kxX 即 f(x) e (kx 2)(x 1) (k 0).令 f(x)0，解得：x 1 或 k . 2x2 当k 2时，f(x) 2e (x 1)0，故f(x)的单调递增区间是(-? , ?). 3分 当2 k 0时，f(x) , f(x)随x的变化情况如下: x (自 2 k 1 (1,) f(x) 0 0 f(x) Z 极大值 极小值 Z ( ) 所以，函数f(x)的单调递增区间是 k和(1,)，单调递减区间是 当k 2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下: x (,1) 1 疋) 2 k (r ) f(x) 0 0 f(x) Z 极大值 极小值 Z

38、 (二) 所以，函数f(x)的单调递增区间是(，和，单调递减区间是 (1,2)分 k .7分 2 (U)当k= - 1时，f(x)的极大值等于3e .理由如下：当k 2时，f(x)无 极大值. 当2 k 2, e (2 令k2 f (x)的极大 0时，f(x)的极大值为 k3,解得 2(41) k2 k，8分 4 3 (舍)仝分 2时, k e k 10分因为ek f( 1) 值为 1 2 2 e 3e 2，所以 f(x)的极大值不可能等于3e2.综上所述， 3e212分 8、已知函数f(x) * 1ek 2所以k 1 2 e 2.因为 1时，f(X)的极大值等于 ax，g(x) eJnx (

39、 e是自然对数的底数)(i)若对于 1时，是否存 x xo处的切线斜率与f(x)在R上 任意x R，f(x) 0恒成立，试确定实数a的取值范围；(n )当a 在x0(，)，使曲线c：y g(x)f(x)在点 的最小值相等？若存在，求符合条件的 x的个数；若不存在，请说明理由 x 且当x时，e 0,ax f(x)，故f(x)0不恒成立，所以 a 0不合题意；当 a 0 时，f(x) x e 0对x R恒成立，所以a 0符合题 意； 当a 0时令f(x) x e a 0，得 x ln( a)，当 x (,ln( a)时，f(x)0， 当 x (ln( a),)时, f(x) 0，故 f(x)在(,

40、ln( a)上是单调递减，在 (ln( a),)上是单调递增 ,所以 f(x)minf(ln( a) a aln( a) 0, ae，又 a 0， a ( e,0)，综上： a ( e,0. (n)当a 1时，由 (2) 知f (x) min f (ln( a) a aln( a) 1 设 h(x) g(x) f(x) xx e In x e x贝y h/(x) exln x ex - e x 1 ex(lnx - 1) 1 x x 【解析】：(I) f(x)以a当a 时，f(x)0, f(x)在R上单调递增, 假设存在实数阳e （0,+co） 使曲绽C舁=-/W在点,兀=牝处的切绽斜率与/（

41、对 在氏上的最小值相等，毛即为方程的聽 令及优二1得：討qz十丄-1）二 因酋 A *3 0*所 1,111 x + -1 = Cl. A 令做舟三山开十丄-1,则炉三1-4三斗,当Ocxc 1杲M0s当石Al时 疋A AA （）0,所以做疋）7心+-1在（CU）上单调耀减，在（1,+00）上单调谨増, :.疑巧卜久1） = 0,故方程/（1口北4上1） = 0有唯一解为b所以存在哥合条件的初 且 仅育一个氐二1. 鼻已知函数/匸护+（丄111町用+ 2在点（1,）处的切琏的斜率为丄.（i）求 2 2 也的值；（II）若x2时, /（I）用（S - 4）恒成总 求整数熾的最大值口 【解析】：

42、1 f （1） c 2 (1) f (x) 2x (n) f(x) f(x) 1 2 2 , 1 . x ( In x 2 2)x 1 2x 1 2 1 x ( In x a) 1 2 2x 11lnx 22 a 2 因为x 2 , m 所以 f(x) 2x 4恒成立求 g(x) 2x 4的最小值 13x (2x Inx )(2x 4) (x2Inx 2 22 4)2 2x 2) g(x) 2 令 h(x) 2x 7x h(x) 4x (2x 2 2Inx 4x2 7x 2 x (4x 1)(x 2) o 数 h(2) 2ln 2 0 h(3) 2ln 3 0 h(4) 2x2 7x 2 2I

43、 nx (2x 4)2 故h（x）在（2, +x）上为增函 2l n4 7 2 2ln 2 7 %) 7 (2,4) 0 X。 4 x x,h(x) h(x)0,即g (x) 0, g(x)在(2,x)递减 x,h(x) h(x0)0,即g (x) O,g(x)在(心)递增 x ,2 7彳 h(x。)2x2 2ln X。7x。2 .In x。x0 2 x0 1 所以最小值点X。满足3 当2 X0 Xo 2时,g( x)min g(X。) g(x。) 2 1 2 x0 2(x0 7 2X0 1) 2Xo 2 13 3 2 2x。4X0 2xo 2 2xo 4 2x 4 1211 4x 8x2 3

44、 g(7) g(x。) g(4) 4整数m的最大值为3 故：2 10、已知函数f x x ax 4.(1)当a 3时，求函数f x在区间1,1上 的最大值与最小值；(U)若存在 X。 ,，使f / 0，求a的取值范围. 【解析】：()由 f x x3 3x2 4 则 f/ x 3x2 6x 得o x 2 知f x在区间0,1上单调递增，在区间 分) 1,0上单调递减. (4 故 f Xmin f 04.又 f 10，f 1 max 0 (U)依题意，只需 0 x 当a 0时，得 上单调递减. 2a f x f 故 max 3 当a 0时，f / x (2分) / 2 x 0 x0,叩/才 f

45、x 3x 2ax 0 max ，.则依 f0,2a空 3，知f x在区间 3上单调递增，在区间 3 8a3 4a3 / 4a3 4 4 0 27 9 27 得 a 3. (3 分) 3x2 2ax 0，知f X在区间0,上单调递减. max 40不成立.综上所述，所求a的取值范围是 , (3 分) 11、函数(x)=x 2 xlnx.(I)求函数(x)的单调区间；(U)是否存在实 数m,n，同时满足下列条件 K m m+x对所有的2都成立，求实数m 的取值范围， 【解析】：(I )/Cx)=-X V函数了在21处与直线丿二一丄相切 不2 7(1) = -22 = 0 1 2分 3 = 2 炖=

46、4 g严 /(x) = ln= =当令f (筒0得盂ch z 当1 v av 2时，g x的最小值为a e ; ae.14 分 【解析】： I ) /Xx) =.当论0时./w0, 了在区间P)上洵減函数. 0, /(刃在区间-叫0)上菊増函数./(力的筆调増区间尢 (一饵0) /()的单谒减区闾为(Q+)3分 门1)假设存在 b ce0(l,fe得则2(如：gon.5 分 q訴”空孚牡，飞a)=w_i)r分 ee 当冷1时，mm 宕(竹在犖上单调厘减 二罷3 - 1,7分 2 当虫0时牡町乏Q M 在巴1上单调谨增.花 “(1)，期2 得 t 3 2e 0.8 分当 0 t 1 时，在 x

47、0,t)上，g(x)0 , g(x)在0,t)上 单调递减， 2g(t)maxg(0), g(1) .9 (t,1上, g(x)0, g(x)在(t,1上单调递增, 即2 t 1 t e t 1 t e 综上所述, t 1 et在t 0,1上单调递减, 3 t_ max 1, e . (*) 43 t 3 e e,不等式(*)无解. e (,32e) U (3,) 2，使得命题成立.12分 由(1)知 f(t) e，而 11分 t 存在 15、已知函数f(x) f (x) 由;(n)若 3 (n 1)!2 (n 1)en 1 lnx (x 1) X (I)试判断函数f(x)的单调性，并说明理

48、k x 2,( n f (x) 【解析】：(I) I - F)递减3分 (n) 丸十1 1恒成立，求实数k的取值范围; N ). In x 2 x x 1 In x 0 丄厶”记 (川)求证: f (x)0 故 f (x)在 Qr+D(l+血町 x “、(jc +1)(1 +In x)x- (a+1)(1 +ln x) 盘 w ? h(x) x Inx则 h(x) 再令 上递增。 二汐=沁,从而 (川)方法1： 由 x 1 则 h(x)0在 14： 故在,;上也单调递增 gWo 8分 知：恒成立，即:ti- : -:- 工+1H十 1X+1X 10分 减棉+1) kl- 1x2 2 In 雄(

49、月 +1) 1- ,Ili x Z ： 吨旳八三12分 In 1 22 叠加得: 咻+1) 32 L (n 1) n 2(112 1 LJ 2 3 n(n 1) 1 n 2 1)en 2 n 2(1 1 22 14分 方法2:用数学归纳法证明(略) 1) n : n2(n 16、已知函数2(1 x)，g(x) 2 x 1 x.(I)分别求函数f(x)和g(x)的图象 2 I 2彳x In 1 x 在x 0处的切线方程；(U)证明不等式1 x ；(川)对一个实数 集合M ,若存在实数s,使得M中任何数都不超过s,则称s是M的一个上界.已 an (1 1)n a 知e是无穷数列n 数)，求实数a的

50、最大值. 所有项组成的集合的上界(其中e是自然对数的底 叮,g(x) 1 x x2 2x f (x) 【解析】:(I) f(0)0, g(0)0,所以函数f(x)和g(x)的图象在x y 03分 2 (1 x),则 f (0)0,g (0)0,且 0处的切线方程都是 h(x) h(x) ln2(1 (U)令函数 2l n(1 x) x2 2x 1 x (1 x)2 2 x)丄 1 x ,定义域是(人), 2(1 x)l n(1 x) x2 2x (1 x)2 设 u(x) 令 v(x) 当 1 2x,则 u (x)2 ln(1 x) 2x , v (x)2 2ln(1 x) 2x,则V x 1

51、 x x 0时，v(x)0, v(x)在(1,0)上为增函数, 2(1 x) ln(1 x) x 2x 1 x 当0时，叫町叫咻)在，皿上为减函軌所在;处取得极大值，且就 是霞大值，而吃)二0,所限0(对埜0，邂(R在(-1,400)上为减函数E分 于是当1 x 巩0)=门当兀 0时，口(X) v讥0) = Oj 所臥 当_isc斶 hfM0M在(-上対増函数. 当H0时，护C i)/(K)在。,七0)上角减函魏. 故必0)在光二0处取得极犬值，且就是最尢値而禺(0) = 0,所以血0)兰0,即 37 lna(l + - 0, lna-l + x習分 i十托i十了 (ill)由题着可知不等式(

52、1十丄严卫冬召对任盍的x 沪都成立 M 且不等式(U-)K+fi等价于不等式(珂十眾口出引，由1十丄规 PS料竝 1 1 ln(1 ) n n F(x) ,设 F (x) 1 (1 x)ln2(1 x) 1 1 -,x(0,1 ln(1 x) x,则 1(1 x)l n2(1 x) x2 x2x2(1 x)l n2(1 x) In21 x 由(U)知， 2 x 1 x,即(1 x)ln2(1 x) x2 10分 0 所以F (x)0,x(0,1,于是F(x)在(0,1上为减函数. 故函数F(x)在(0,1上的最小值为 F(1) 1 ln 2 1,所以a的最大值为 一 1 ln2 13 分 17、已知函数f(x)xlnx. (i)讨论函数f(x)的单调性；(U)对于任意 正实数x ,不等式 1 f (x) kx 2恒成立，求实数k的取值范围；(川)求证：当a 3时，对于任意正 实数x