13.4课题学习最短路径问题

1、第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题自主学习、知识链接1. 如图，连接 A B两点的所有连线中，哪条最短？为什么?2. 如图，点P是直线I外一点，点P与该直线I上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么?3. 在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？(1) 三角形的三边关系： (2) 直角三角形中边的关系： .4. 如图，如何作点 A关于直线I的对称点？课堂探究、要点探究

2、探究点1:牧人饮马问题实际问题：如图，牧马人从点 A地出发，到一条笔直的河 边I饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？7数学问题：如图，点A、B在直线I的同一侧，在直线I上 求作一点C,使AC+BC最短.想一想:VI上找到一个点，使得这个点到点1现在假设点 A,B分别是直线I异侧的两个点，如何在A，点B的距离的和最短?2如果点A,B分别是直线I同侧的两个点，如何将点 一点C,都保持CB与CB 的长度相等？B “移”到I的另一侧B 处，满足直线I上的任意（2）连接AB ，与直线I相交于点C.要点归纳：（1）作点B关于直线I的对称点B则点C即为所求如图所示你能用所学的

3、知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗?证明：要点归纳：在解决牧人饮马问题时， 通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择典例精析例1 :如图，已知点 D、点E分别是等边三角形 ABC中BC、AB边的 中点，AD=5，点F是AD边上的动点，贝U BF+EF的最小值为（）D .不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长, 而再根据已知条件求解例2 :如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0）,点C是y轴上的一个动点，且 A，B，C三点不在同一条直线上，当 ABC的周长最小时点 C的坐标是（

4、）A. （ 0，3）B.（ 0，2）C.（ 0，1）D. （ 0，0） yA方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直 线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置探究点“2 :造桥选址问题 O B实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从 A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？B数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？B想一想：我们能否在不改变

5、AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 画一画：（1）把A平移到岸边.（2）把B平移到岸边.B(3)把桥平移到和 A相连.B(4)把桥平移到和 B相连.(4)中，A *-比一比：(i)( 2)( 3) B哪种作法使得 AM+MN+BN 最短?想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最短-要点归纳：如图，平移A到Ai,使AA等于河宽，连接 AiB交河岸于N作桥呢？证明：另任作桥MiNi,连接AM 1，BNi，AiNi.针对训练i.如图，直线I是一条河，P、Q是两个村庄.欲在I上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所

6、需要管道最短的是( )2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的 Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径.3.如图，小河边有两个村庄 A, B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(i)若要使厂址到 A B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到 A, B两村的水管最短，应建在什么地方?牧人饮 马问题造桥选址问题当堂检测第3题图第2题图轴对称+线段公理1如图，直线 m同侧有A、B两点，A、A 关于直线 m对称，A、B关于直线n对称，直线 m与A B 和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是()A .

7、P是m上到A、B距离之和最短的点， Q是m上到A、B距离相等的点B. Q是m上到A、B距离之和最短的点， P是m上到A、B距离相等的点C. P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D. P、Q都是m上到A、B距离相等的点2如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点 P,且OP=10 .若在 OA、OB上分别有动点 Q、R，则 PQR周长的最小值是()A . 10B . 15C. 20D. 303如图，牧童在 A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为 500米，则牧童从 A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米4如图，边长为1的正方形组成的网格中， AOB的顶点均在格点上，点 A、B的坐标分别是 A ( 3, 2),B ( 1, 3).点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P.不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短?拓展提升6.( 1)如图1，在AB直线一侧C、 短，找出此点.(2) 如图2，在/ AOB内部有一点 角形的周长最短，找出 E、F两点.(3) 如图3，在/ AOB内