2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)(文科)

1、普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1 已知全集 U = 1 , 2, 3, 4, 5, 6,集合 A= 2 , 3, 5,集合 B= 1 , 3 , 4 , 6, 则集合AA?uB=（） A 3B 2 , 5 C. 1 , 4, 6D 2 , 3 , 5 x- 2W0 2. 设变量x , y满足约束条件x 2yW0则目标函数z= 3x + y的最大值为（） .x + 2y 8WQ A

2、 . 7 B. 8 C. 9 D. 14 3. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（） A . 2B. 3 C. 4D. 5 4. 设 x R ,贝U “12”是 x 2|0, b0)的一个焦点为F(2, 0),且双曲线的渐近线与圆(x a b 2)2 + y2= 3 相切， 则双曲线的方程为() 2 2 Ax 1 A. 913 2 C5 -卜 1 2 2 B 法 1 139 2 D . x2 乞=1 3 6.如图，在圆O中，M , N是弦AB的三等分点，弦CD , CE分别经过点 M , N.若CM =2，MD = 4, CN= 3,则线段NE的长为() 8 A.3 B. 3

3、 105 C.亍 D.2 7.已知定义在R上的函数f(x) = 2|x m 1(m为实数)为偶函数，记a = f(log.53), b = f(log25), c= f(2m),贝y a, b, c 的大小关系为() A. abc B. cab C. acb D. cb2, 点个数为() A . 2 B. 3 C. 4 D. 5 第n卷 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上) 1 2i 9. i是虚数单位，计算的结果为. 2 + i 3 10. 个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为 m . FTF 11. 已知函数f(x)= axln x,

4、x (0, + ),其中a为实数，fx)为f(x)的导函数.若fz (1) =3,则a的值为 12 .已知a0, b0, ab = 8,则当a的值为时，Iog2a log2(2b)取得最大值. 13 .在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB / DC, AB = 2, BC= 1 , / ABC = 60 :点 E 和 F 分 别在线段BC和DC上，且 14. 已知函数 f(x) = sin 3x+ cos wx( w0), x R若函数f(x)在区间(一3, 3)内单调递 增，且函数y= f(x)的图象关于直线x= 3对称，贝U 3的值为. 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字

5、说明，证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27, 9, 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数. 将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1, A2, A3, A4, A5, A6.现从这6名运 动员中随机抽取 2人参加双打比赛. 用所给编号列出所有可能的结果； 设A为事件 编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概 率. 16. (本小题满分13分)在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知 ABC 的面

6、积为 3寸15, b c= 2, cos A=- 1 4 (1) 求a和sin C的值； (2) 求cos?A +訂的值. 17. （本小题满分 13分）如图，已知AA1丄平面 ABC, BB1 / AA1, AB = AC = 3, BC = 2 5, AAi .7, BBi = 2 7，点E和F分别为BC和AiC的中点. (1)求证：EF /平面 AiBiBA; 求证：平面 AEAi丄平面BCBi； (3) 求直线Ai Bi与平面BCBi所成角的大小. 18. (本小题满分i3分)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且ai =S = i, b?+ 匕3= 2a3, a5 3b

7、? = 7. (i)求an和bn的通项公式； 设Cn= anbn, n N ,求数列 Cn的前n项和. 2 2 19. (本小题满分i4分)已知椭圆j+詁=i(ab0)的上顶点为B,左焦点为F ,离心率 为込 5 . (1) 求直线BF的斜率； (2) 设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点 Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点 M , |PM|=开MQ|. 求入的值； 若|PM |sin / BQP = 于,求椭圆的方程. 20. (本小题满分i4分)已知函数f(x) = 4x-x4, x R. (i)求f(x)的单调区间； 设曲线y= f(x)与x轴

8、正半轴的交点为 P,曲线在点P处的切线方程为y = g(x),求证： 对于任意的实数 x,都有f(x)再(x)； i (3) 若方程f(x)= a(a为实数)有两个实数根xi, X2,且xiX2,求证：x2 xi ； + 43. 天津卷(文科)参考答案与详解 本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共i50分，考试时间i20分钟. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 解析：选 B ?uB = 2 , 5 , AA?uB= 2 , 3, 5 n 2 5 = 2 , 5. 2. 、*-2=0 解析：选C 作出不

9、等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示. 作直线3x+ y= 0,向右上方平移，过点A时z= 3x+ y取得最大值. x-2= 0 , 由 x+ 2y- 8 = 0 , x= 2 , 得冷-zmax = 3 疋+ 3= 9. y= 3 , 2. 解析：选 C S= 10 , i = 0 , i = i + 1 = 1,S= Si = 10 1 = 9,不满足 SW; i = i + 1 = 2 ,S= Si = 9 2= 7 ,不满足 SW; i = i + 1 = 3 ,S= Si = 7 3= 4,不满足 SW; i = i + 1 = 4 ,S= Si = 4 4= 0,满足 SW1 ,

10、 输出i = 4. 3. 解析：选 A |x 2|1? 1x3. 由于x|1x2是x|1x3的真子集, 所以1x2”是|x 2|1”的充分而不必要条件. 5.解析：选D 由双曲线的渐近线 y= bx与圆 c= 2, 3，又 a2+ b2= c2, 故所求双曲线的方程为 2 2 y . x- 3 =匸 6. 解析：选A 由题意可设 AM = MN = NB = x, CM MD = AM MB , 由圆的相交弦定理得 ON NE = AN NB, |2 X4= x 2x,8 即解得x= 2, NE = 8. 3 NE = 2x x,3 7. 解析：选B由f(x)= 2lx m| 1是偶函数可知

11、m= 0,所以f(x) = 2|x| 1. 所以 a= f(log 0.53) = 2|log0.53| 1 = 2log23 1 = 2, b= f(log25) = 2|log25| 1 = 2log25 1 = 4, c= f(0) = 2|01 1 = 0,所以 ca2 时，g(x) = x 1, f(x) = (x 2)； 当 0纟2 时，g(x) = 3 x, f(x) = 2 x; 当 x2时，方程f(x) g(x)= 0可化为x 5x+ 5= 0,其根为x=才或x=(舍去)； 当0纟2时，方程f(x) g(x) = 0可化为2 x= 3 x,无解; 当 x2 + tiX12X2

12、= 答案:I冗 11.解析: f x)= a In x+ x =a(i + In x). 由于 f(特a(1 + In 1) = a,又 f (1)3,所以 a= 3. 答案：3 8 12. 解析：由于 a0, b0, ab= 8,所以 b =. a 所以 log2a Iog2(2b) = Iog2a Iog2 = Iog2a (4 Iog2a) = (log2a 2)2+ 4, 当且仅当Iog2a= 2,即a= 4时，Iog2a Iog2(2b)取得最大值4. 答案：4 13. 解析：取HA.liC为一组握底* 则莊=區-丽=訐?-丽. AF=AB + BC += - M + BC + 备

13、BA =-总丽 :.AI-： 八F=(比一山人)(一吉肌4 +打) |BA|-|BA BC+-|BC|3 7 2512 =石“花疋羽夯+ 3 29 18. 14.解析：f(x) = sin 3x+ cos wx= . 2sin 因为f(x)在区间(一3, 3)内单调递增，且函数图象关于直线x= 3对称， 所以f( 3)必为一个周期上的最大值,所以有3 + ；= 2k计扌，k Z,所以32 = ；+ 十，3 口 n 2 冗2 冗 2k n, k 乙又 3 ( 3)2sin A cos A 16 17. al 解：证明：如图，连接AiB. 在厶AiBC中，因为E和F分别是BC和AiC的中点， 所以

14、 EF / BA. 又因为EF?平面AiBiBA, 所以EF /平面AiBiBA. (2)证明：因为AB= AC, E为BC的中点， 所以ae丄bc. 因为AAI丄平面 ABC, BB! / AAj 所以BB0. 2q2- 3d= 2, 由已知，有 q4 3d= 10, 消去d,整理得q4 2q2 8 = 0,解得q2= 4. 又因为q0,所以q= 2,所以d= 2. 所以数列 an的通项公式为an= 2n 1, n N ; 数列bn的通项公式为bn= 2n 1, n N*. (2)由(1)有 cn= (2n 1)2n 1, 设cn的前n项和为Sn, 则 Sn= 1X2 + 3X21 + 5X

15、22+ + (2n 3) 2n2+ (2n 1) 2n 1, 2sn= 1 X21 + 3X22+ 5X23+ + (2n 3) 2n1 + (2n 1) Xn, 上述两式相减，得 当fx)1时，函数f(x)单调递减. 所以，f(x)的单调递增区间为(一g, 1),单调递减区间为(1, +). 证明：设点P的坐标为(X0, 0), 1 则 X0= 43, f x0) = 12. 曲线y = f(x)在点P处的切线方程为 y= fx6)(x X0), 即 g(x) = fx0)(x X0). 令函数 F(x)= f(x) g(x), 即 F(x)= f(x) fx0)(x xo), 则 F x)

16、= fx) fxO). 由于fx) = 4x + 4在(一, + 上单调递减， 故F x)在(, +上单调递减. 又因为FxO)= 0, 所以当 x ( , xo)时，F x)0; 当 x (xo, +时,F刈0, 所以F(x)在(, xo)上单调递增，在(xo, +上单调递减， 所以对于任意的实数x, F(x) F(xo) = o,即对于任意的实数 x,都有f(x)岂(x). (3)证明：由(2)知 g(x)= 12 4扌： 设方程g(x) = a的根为X2；可得x2 = 誇+ 43. 因为g(x)在(, +上单调递减， 又由 知 g(X2)芳(X2)= a= g(x2 ,) 因此 X2Wx2. 类似地，设曲线y= f(x)在原点处的切线方程为y= h(x),可得h(x)=