AAA基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

1、MeiWei_81 重点借鉴文档】基本不等式及其应用1基本不等式ab若 a0,，b0，则 2 ab，当且仅当时取 “”这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1) 各项或各因式均正； (一正)(2) 和或积为定值；(二定)(3) 等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值 (三相等) 2常用不等式(1) a2b22ab(a，bR)(2) ab a b a,b 0a、注：不等式 a2b22ab和 a b ab 它们成立的条件不同，前者只要求2b 都是实数，而后者要求 a、b都是正数.其等价变形： ab(a2b)2.a b (a

2、，bR)2 ba(4)abab2a(，b 同号且不为 a b 2 a2 b2 a b 2 (a，bR).22(3)ab0)(5)21 2 1 a,b 011ab226)a2 b2 a b ab223 3 3 a b c(7)abc3 ; a,b,c 0a b c 3(8) 3 abc； a,b,c 0 3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab，a2b2 有，即 a b，a2 b2.(2) 求最大值： a0，b0，当 ab为定值时， ab 有最大值，即；或 a2b2为定值时， ab有最大值(a0，b0)，即.MeiWei_81 重点借鉴文档】【M

3、eiWei_81 重点借鉴文档】设 a，bR，且 ab3，则 2a2b的最小值是 （）A.6 B.4 2 C.2 2 D.2 6 解：因为 2a0，2b0，由基本不等式得 2a2b 2 2a2b2 2ab4 2， 3当且仅当 ab 23时取等号， 故选 B.若 a0，b0，且 a2b20，则 ab的最大值为 （）1A.2B.1 C.2 D.41解： a0，b0，a2b2，a2b22 2ab，即 ab2.当且仅当 a1 1， b 12时等号成立 .故选 A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b（a b），其全程的平均时速为 v，A.av abB.v abC. ab vab2D.vab2解：

4、 设甲、乙两地之间的距离为 s.2s 2ab 2aba b，v 0，va.故选 A.ababa b（2014上海）若实数 R，R满足RR1，则 R22R2的最小值为解：由RR1得 R22R2R2x222 2，当且仅当 R4 2时等号成立 .故填 2 2.点（m，n）在直线 R R1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2mlog2n 的最大值是 .解： 由条件知， m0，n0，mn1，所以 mn1，4，2 mn21当且仅当 m n 21时取等号，log2mlog2nlog2mnlog242， 故填2.MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei_81 重点借鉴文档】x5)( x2)x1类型

5、一 利用基本不等式求最值解：R( m4)( m 1) 1，R10，令 m R1，则 m0，且 Rmmm452mm459，当且仅当 m2 时取等号，故 Rmin9.(1)求函数 R(R1)的值域.又当 m 或 m0 时，R ，故原函数的值域是 9， ).(2)下列不等式一定成立的是 ()A.lg x241 lgR(R0)B.sinR si1nx2(Rk，kZ) 21C.R212|x|(RR)D.x211(RR)x 12 1 1 2 1解：A中，R24R(R0)，当 R2时，R24R.B 中，sinR1sinx2(sinR(0，1)；1 sinR 2(sinR 1， 0).sinx22 C 中，

6、R22|R|1(|R| 1)20(R R).1D中， 2 (0，1(RR).故C一定成立，故选 C. x21点拨：2 这里(1)是形如 f(R)ax xbdxc的最值问题，只要分母 Rd0，都可以将ef(R)转化为 f(R)a(Rd)xdh(这里 ae0；若 ae0，则函数 f(t)t t 的最小值为 .2t 4t 11解：t0，f(t)t t t42，当且仅当 t1 时， f(t)min 2，故填 2.(2)已知 R 0，R 0，且 2R8RRR0，求：【MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei_81 重点借鉴文档】（ ）RR的最小值；（ ）RR的最小值 .82解：（）由 2R8RRR

7、0，得 xy1，又 R0，R0，则 18 2 82 8 x y2 xy xy，得 RR 64，当且仅当 R4R，即 R16，R4时等号成立 .（ ）解法一：由 2R 8RRR0，得 R 8y ，R0，R2， y2则 R RR 8y （R2） 16 1018， y 2y216当且仅当 R2，即 R6，R12时等号成立 .y282解法二：由 2R8RRR0，得 xy1，则 R R x8y2 （RR）102yx 8xy102 2yx8xy 18，当且仅当 R6，R12时等号成立 .类型二 利用基本不等式求有关参数范围若关于 R 的不等式 （1k2）R k44 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有

8、）A.2M，0MB.2?M，0?MC.2M，0?M D.2?M， 0 M解法求出不等式的解集：（1k2）Rk44? Rk2 4（k21） 25k 1k 1252?R（k1）k212min2 52（当且仅当 k2 51 时取等号 ）.解法二（代入法）：将 R2，R0 分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式 解集是否为 R.故选 A.点拨： 一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题， 对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住 几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：MeiWei_81 重点借鉴文档】【MeiWei_81 重点借鉴文档】(1

9、)af(R)恒成立 ? af(R)maR；(2)af(R)恒成立 ? af(R)有解? af(R)min；(4)af(R)有解 ? a 1 成t1 1 1t1已知函数 f(R)eReR，其中 e 是自然对数的底数 .若关于 R的不等式 mf(R)eRm1在(0， )上恒成立，求实数 m的取值范围 . 解：由条件知 m(eReR1)eR1 在(0，)上恒成立 .令 teR(R0)，则 t1，且 m 2t1 t t1立.t1t1112 (t1)t1113，111 3t 11t1当且仅当 t2，即 Rln2 时等号成立 .故实数 m 的取值范围是13.类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为

10、 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用 旧墙需维修 )，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m， 设利用的旧墙的长度为 R(单位：元 )，修建此矩形场地围墙的总费用为 R(单位： 元).(1)将 R 表示为 R 的函数；(2)试确定 R，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 解： (1)如图，设矩形的另一边长为 am，则 R45R180(R2)180 2a225R360a360.360由已知 Ra 360，得 a x ，3602所以 R225R36x

11、0 360(R2).x2(2) R0，225R36x0 2 225360210800， xMeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei_81 重点借鉴文档】23602R225R x 36010440，当且仅当225R23602即 R 24 时等号成立 .答：当 R24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2m 的无盖长方体的 沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B 孔排出，设箱体的长度为 am，高度为 bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与 a， b的乘积 ab 成反比.现有制箱材料 60m2，问 a，b 各为多少 m 时

12、，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小 （A， B 孔面积忽略不计 ）.解法一：设 R为排出的水中杂质的质量分数， k根据题意可知： Rakb，其中 k 是比例系数且 k 0.依题意要使 R 最小，只需 ab 最大.由题设得： 4b2ab2a60（a 0， b0），即 a 2b30 ab（a0，b0）.a 2b2 2ab，2 2abab 30，得 0 1，则 a的最小值是 （ ）a1A.2 B.a C.3 D. 2 aa1解：a1，a 1 a1 1 12（a1） 1 121a1a1a 13，当 a2 时等号成立 .故选 C.2. 设 a， b R，a b，且 ab2，则下列各式正确的是 （）

13、MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei_81 重点借鉴文档】2 2 2 2 2 2 2 2a ba ba ba b解： 运用不等式 ab ab 2? ab1 以及 （ab）22（a2b2）? 2a2b2（由A. ab 1 2 B.ab1 2 C.1 ab 2 D.ab 2 1 解： 运用不等式 ab ab 2?222 a b 于 ab，所以不能取等号 ）得， ab 1 2 ，故选 A.54x x23. 函数 f（R）在（， 2）上的最小值是 （）2xA.0 B.1 C.2 D.321（ 4 4xx ）1解：当 R 0，因此 f（R） （22x2xR）2 21x（2x）2，当且仅当21x

14、2R时上式取等号 .而此方程有解R1（， 2），因此 f（R）在（，2）上的最小值为 2，故选 C.4. （2014福建）要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该 容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低 总造价是 （ ）A.80 元B.120 元C.160元 D.240 元4解：假设底面的长、宽分别为 Rm，x4m，由条件知该容器的最低总造价为 R808020R x 160，当且仅当底面边长 R2 时，总造价最低，且为 160元. x故选 C.ab2B.若 R，R 都是正数，则 lgRlgR2 lgxlgy44C.若 R 0，4 3

15、 ab，且即 a0，b0，所以 1（a0，b0），ab（aab0，a bb） 4a3b 74ab3ba7 2 4ab3ba 74 3，当且仅当 4ab3ba时取等号 .故选 D.x7. 若对任意 R0，x23x1a 恒成立，则 a的取值范围是 .1解：因为 R0，所以 Rx12（当且仅当 R1时取等号 ），x所以有x2x 3x 11x1x312315，x2x 3x111 的最大值为 15，故填 a15.8. （2014四川）设mR，过定点 A的动直线 RmR 0和过定点 B的动直线 mRRm30交于点 P（R，R），则|PA|PB|的最大值是 .解： 易知定点 A（0，0），B（1，3）. 且

16、无论 m 取何值，两直线垂直 . 所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有 |PA|2 |PB|2 |AB|210（P 在以 AB 为直径的圆上 ）. 所以|PA| |PB|21（|PA|2|PB|2）5.当且仅当|PA|PB| 5时，等号成立 .故填 5.9.（1）已知 0R求 R（4 3R）的最大值；（2）点 （R，R）在直线 R2R 3 上移动，求 2R4R的最小值 .4解： （1）已知 0R3，03R0，b 0，且 2ab 1，求 S2 ab 4a2 b2 的最大值 .解：a 0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab14ab.且 12a 2 1 2 2 b 2 2ab，即 ab

17、 4 ，ab8，S 2 ab4a2b22 ab (14ab) 2 ab2 11 1 4ab1 2 .当且仅当 a4，b2时，等号成立 .11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其 他各面用钢筋网围成 .(1)现有可围 36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每 间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使 围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解： (1)设每间虎笼长为 Rm，宽为 Rm，则由条件，知 4R6R 36，即 2R3R18.设每间虎笼的面积为 S，则 S RR.解法一：由于 2R3R2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得 RR227，即 S227.当且仅当 2R3R 时等号成立 .MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei_81 重点借鉴文档】由 2x 3y，解得x 4.5，2x3y18，y 3.故每间虎笼长为 4.5m，宽为 3m 时，可使每间虎笼面积最大3解法二：由2R3R18，得 R92R.R0，0R6.R）R.3 （6y） y 2 27.22当且仅当 6RR，即 R3 时，等号成立，此时 R4.5. 故每间虎笼长 4.5m，宽