二重积分的计算

1、第二节 二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程：一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示：X 型区域D1(x) y 2(x) a x bY 型区域D1(x) y 2(x) c y d混合型区域设 f(x y) 0 D (x y)| 1(x) y 2(x) a x bf (x, y)d此时二重积分 D 在几何上表示以曲面 z f(x y)为顶 以区域 D 为底的 曲顶柱体的体积对于 x0 a b 曲顶柱体在 x x0 的截面面积为以区间 1(x0) 2(x0) 为底、以曲 线 z f(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这

2、截面的面积为2(x0)A(x0) (x ) f(x0,y)dy根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为b b 2(x)V a A( x)dx a (x) f (x, y)dydxf (x,y)d VDf (x,y)dydx可记为b 2(x)f (x, y)d adx (x) f(x,y)dyD1类似地 如果区域 D 为 Y 型区域 D 1(x) y 2(x) c y d 则有f (x,y)dDd 2(y)c dy 1(y) f ( x, y)dxxyd例 1 计算 D其中 D 是由直线 y 1、 x 2 及 y x 所围成的闭区域解 画出区域 D方法一 可把 D 看成是 X 型

3、区域 1 x 2 1 y x 于是xydD2 x 21 1 xydydx 12x y221xdx 12 12(x3 x)dx 12x44212x2 x 2 x xyd 1 dx 1 xydy 1 xdx 1 ydy 注 积分还可以写成 D 1 1 1 1解法 2 也可把 D 看成是 Y 型区域 1 y 2 y x 2 于是2 2 2Dxyd 1 yxydxdy12y x222ydy 12(2y)dy y2y8412 98y 1 x2 y2d例2 计算D 其中D是由直线 y 1、x 1及y x所围成的闭区 域解 画出区域 D 可把 D 看成是 X 型区域 1 x 1 x y 1 于是22y2d1

4、1dx22x y dy31(1 x2 y2)21xdx 31 11(|x|3 1)dxy 1 x2 y2dD1ydy 1 1 x2 y2dxxyd例 3 计算 D其中 D 是由直线 y x 2 及抛物线 y1x2 yyy2 2dy 12 21y(y 2)2 y5dy x 所围成的闭区域解 积分区域可以表示为 D D1+D2 其中 D1: 0 x 1, x y x D2: 1 x 4, 2 y x 于是1 x 4 x xyd 0dx xxydy 1dxx 2xydy D2 y 2 xyd1dy y2 xydxD积分区域也可以表示为 D 1 y 2 y2 01(x3 1)dx 21 x y 2 于

5、是12 y44 34y3 2y26y6621 558讨论积分次序的选择例 4 求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体的体积解 设这两个圆柱面的方程分别为x2 y2 2 及 x2 z2 2利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积 V1 然后再乘 以 8 就行了V 8R2 x2dD第一卦限部分是以 D (x y)| 0 y R2 x2 , 0 x 为底 以z R2 x2 顶的曲顶柱 体 于是8 0Rdx 0 R x R2 x2dy 8 0R R2 x2y0R2 x2 dx8 0R(R2 x2)dx 16R3二 利用极坐标计算二重积分有些二重积分 积分区域 D 的边界曲线

6、用极坐标方程来表示比较方便 且被积 函数用极坐标变量 、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二f(x,y)d重积分 D按二重积分的定义f (x, y)d Dlim f( i , i) i0i 1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分 为 n 个小闭区域 小闭区域的面积为i1(ii)2i 1i2i1(2 ii)i ii ( ii)i i i i i其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值在 i 内取点 ( i , i ) 设其直角坐标为 ( i i) 则有 i i cos i i i sin ilim

7、于是0 i 1f( i, i ) i lim0f( icosi, isin i) i i if (x,y)d f( c o s, sin) d d 即 D D若积分区域 D 可表示为1( )2( )f( cos , sin ) d d D2( ) d1( )f( cos , sin ) d讨论 区域如下图 如何确定积分限 ?f( cos , sin ) d d D() d 0( )f( cos , sin ) df( cos , sin ) d d02 d 0 ( ) f ( cos , sin ) dD5 例其中 D 是由中心在原点、 半径为 a 的圆周所围成的闭解 在极坐标系中 闭区域 D

8、 可表示为于是e x2 y2dxdye 2 d dDD02 0ae 2 d d02 21e 20ad1 2 2 212(1 e a2)0 d (1 e a2)e x2 y2dxdye x2 y2dxdy注 此处积分 D 也常写成 x2 y2 a2利用2 2 2 e x2 y2dxdy(1 e a2 )x2 y2 a2计算广义积分20e xdx设 D1 (x y)|x2 y2 R2 x 0 y 02 2 2D2 (x y)|x2 y2 2R2 x 0 y 0 (x y)|0 x R 0 y R22显然 D1 S D2 由于 e 0 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式2 2 2 2 2 2e

9、 x y dxdy e x y dxdy e x y dxdyD1SD22 2 R 2 R 2 R 2 e x y dxdy 0 e x dx 0 e y dy ( 0 e x dx)2 因为 S 0 0 0 又应用上面已得的结果有2 y2x eD2Re(1e x y dxdy 4(1 e 2R ) D24于是上面的不等式可写成4(1 e R) (0e x dx)2 4(1 e2R )令 R 上式两端趋于同一极限0e x24 从而 0dx例 6 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分） 立体的体积解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍V 44a2 x2 y2dxdyD其中 D 为半圆周