ch9-2数量积向量积混合积

1、第二讲 I授课题目 2数量积向量积 n教学目的与要求 1、掌握向量的数量积的定义及数量积的性质； 2、掌握向量的向量积的定义及向量积的性质； 3、掌握向量的数量积与向量积的计算方法。川教学重点与难点 1、重点：数量积与向量积的定义及性质。 2、难点：数量积与向量积的计算方法。 IV讲授内容 Mi移动到点M2，以s表示位移 一、两向量的数量积 数量积的物理背景：设一物体衽常力F作用下沿直线从点 MiM2，由物理学知道.力F所作的功为 W = |F| |s| cost.其中 二为F与s的夹角， 数量积：对于两个向量a和b它们的模a、|b|及 它们的夹角二 的余弦的乘积称为向量 a和b的数量积. a

2、 记作a b即 a b=|a| |b| cos-. 数量积与投影： AA 由于|b| cos日二I b|cos(ab).当a和 时.|b| cos(a. b)是向量b在向量a的方向上的投影于是 a b = |a | Prj ab 同理当 b=0 时.ab二 |b| Prj ba 这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投 影的乘 积。 数量积的性质： 2 (1) aa二 |a|. 这是因为夹角B岂，所以 a a =|a| | a | cos - =|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b女果ab=0 .则a_b仮之.如果a_b则a b =0 这是因为如

3、果a b =0，由于|a|与|b|均不为零，所以cost =0,从而戶一，曲a_b仮之如果 a_b那么 2 ，cos =0,于是 a b= |a| |b| cosA =0。 2 因此，上述结 由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直 论可叙述为：向量 a_b ab=0. 数量积的运算律: (1) 交换律a b=ba (2) 分酉己律：(a b) c=a c b c (3) (a) b=a(, b) =, (a b). (a)(ib)二(a b).、为数 (2)的证明： 分配律(a b) c=ac be的证明 因为当c 乂时.上式显然成立当c0时.有 (a b) c=|

4、c|Prjc(a b) =lc|(Prjca Prjeb) =ic|Prjca |c|Prjcb a 例1试用向量证明三角形的余弦定理 证设在 AABC 中丄 BCA v . BC 匸 a CA|. AB|-c. 要证 22 2 b介 c a b -2 a b cos 记 CB =a CA =b . AB =c .则有 c=a rb 从而 |c|2=c c=(a-b)(a rb) =a ab b2a b=|a|2 -|b|2-2|a|b|cos(a Ab). 艮卩 c2 =a 2 b 2 2 a b cos 数量积的坐标表示： 设 a 珂 ax .ay az)b=(bx by .bz).则 a

5、 b= axbx ayby azbz. 提示：按数量积的运算规律可得 a b -( ax i ayj az k) (bxi byj bz k) Aax bx i i 9 ax by i j 1 ax bz i k aybxj i aybyj j aybzj k azbx k i az by k j az bz k k ax bx ay by1 az bz. 两向量夹角的余弦的坐标表示： 设e=(a .A b).则当a和、b丸时.有 nilaxbxAByby 朽 zbz 提示 a b= |a|b|cosv . 例 2 已知三点 M(1 .1 .1)、A(2 2 1)和 B(2.1 2).求 ZA

6、MB . 解从M到A的向量记为a从M到B的向量记为b贝AMB就是向量a与b的夹角 ap 1 0 bp 0 1. 因为 a b=1 11 00 1 =1 . |a|=.1212O2. |b012 02 12 2 , 所以 cos./AMB = 1=1- lal |b.2、2-2 从而ZAM、 3 二、两向量的向量积 还要分析这些力所产生的力矩 在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力 设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处F与OP的夹角为二. 由力学规定力F对支点O的力矩是一向量M.它的模 |M 冃 OP|F |sin n . 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面M的指向是的按

7、右手规则从OP以不超过二的角转向F 来确定的 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： c的模|c|=|a|b|sin 其中，为a与b c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定那么.向量c叫做向量a 与b的向量积.记作a b即 c = a b 根据向量积的定义力矩M等于OP与F的向量积.即 T M =OP F 向量积的性质： (1) a a =0 对于两个非零向量 a、b如果ab=0 .则a/b反之.如果a/b则ab = 0 如果认为零向量与任何向量都平行.则a/b= a b = 0 数量积的运算律： 交换律ab二ba (2) 分配律：(a b) c = a

8、 c b c (3) (a)b=a ( b)=! ; (ab) (为数), 数量积的坐标表示：设a = axiayjazk.b = bxibyjbzk按向量积的运算规律可得 a b = ( axi ayj azk)( bxi byj bz k) 二 ax bx i i ax by i j ax bz i k aybxj i aybyj j ay bzj k az bx k i az by k j az bz k k 由于 i i=jj=kk=Oij=kj k=iki=j 所以 a b = ( ay bz - az by) i ( azbx - ax bz) j - ( ax by - ay b

9、x) k . 为了邦助记忆利用三阶行列式符号.上式可写成 ijk axb 亍 ax ay az =aybzi 七 zbx j+axbyk-aybxk-axbz j -azbyi HIL =(ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by - ay bx) k 例 3 设 a=(2 .11).bf 1 .2),计算 axb, hijk 解axb T 2 1 X =2iA-2 kkVj-i=i-5j dk , 1 -1 2 例4已知三角形ABC的顶点分别是A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7).求三角形ABC的面积， 解根据向量积的定义可知三角形ABC的面积 S.abc=； |AB|AC|sin. A=； |AB AC| , 由于 AB =(2 2 2) . AC 彳 1 .2 4).因此 11 i jk ABXAC = 222 Hi-6j 吃 k, 1 24 于是 S.ABC 弓 I4/-6J2 出二；、.半(6尸22 V小结与提问 小结：1、数量积的定义，数量积的性质，数量积的坐标表示，两向量的夹角公式。 2、向量积的定义，向量积的性质，向量积的坐标表示。