36巩固练习立体几何中的向量方法(基础)1220

1、【巩固练习】 一、选择题 1 . （ 2015秋莆田校级月考） A. 0 B. 45 2 若直线l的方向向量为a A. | / B. I丄 3 .若平面的法向量为 系式成立的是（ ). A. COS 1 l|v| 立体几何中的向量万法 已知向量 C. 90 (1,0,2) a (0,2,1) , b （1, 1,2）的夹角为（ D. 180 ，平面 的法向量为 C. | D. l与 u ( 2,0, 4)，则() 斜交 ，直线l的方向向量为v，直线l与平面 的夹角为 ，则下列关 B. COS D. sin l|v| l v| l l|v| 4 .如图，ABCDA1 B1G D1是正方体, B1

2、E1= D1F1= AB!，则 4 BE1与DF1所成角的余弦值是（ 1518 A.B. C. 172 17 D. 图 5 .正方体 ABCD-A1B1C1D1 余弦值是（ 中，直线 BC1与平面A1BD所成角的 ). 6 . P是二面角 AB 棱上的一点，分别在 半平面上引射线 PM、PN,如果 / BPM= / BPN=45 A. 60 7 .正三棱柱 ( ). ,/ MPN=60，那么二面角的大小为（ 70 C. 80 B. ABC-A1B1C1各棱长均为 ). D . 90 ,M为CCi的中点，则点 B1到截面 A1BM的距离为 D. 二、填空题 8. (2015 春 宜昌校级月考改编

3、）设直线 l1、I2的方向向量分别为 a (2, 2,2), (2,0, 4), 则直线ll、12的夹角余弦值是 9 .若分别与一个二面角的两个面平行的向量 n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为 m= (- 1 , 2, 0), n= (3 , 0，- 2),且 m、 10 .已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线 AE与平面 ABC1D1 所成角的正弦值. 求点B到 11 .在棱长为1的正方体 ABCD AB1GD1中，E、F分别是 AB1、CD的中点， 截面AEGF的距离. 三、解答题 AE丄平面 12 .如图，在正方体 ABCD-A1B1C1

4、D1中，E、F分别是BB1、DC的中点，求证： A1D1F. -4, AE/ 平面 DCF. 14.已知E是长方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 C.D,的中点，AB 2 ,BC BB, 1, 求：二面角E BD C的正切值. 2 1 13.如图 矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF , BCF=90 求证： 15. (2015 北京)如图，在四棱锥 A-EFCB中, AEF为等边三角形， 平面AEF丄平面EFCB EF/ BC, BO4, EF= 2a,/ EBC=/ FCB= 60 O 为 EF的中点. (I )求证：AO丄BE; (n )求二面角F AE- B的

5、余弦值; (川)若 BE丄平面 AOC,求a的值. 【答案与解析】 1.【答案】 2 .【答案】 【解析】 3 .【答案】 C B ； 由于u 2a，所以a/u。而u是平面 的法向量，故直线I垂直于平面。 【解析】 若直线与平面所成的角为 ，直线与该平面的法向量所成的角为 ，则 90 4 【答案】 【解析】 5 .【答案】 【解析】 6 .【答案】 【解析】 A 可用平移法或空间向量法求得。 C 此类题通常找出其在相应平面内的射影，用定义法去解；也可用空间向量法。 D 不妨设 PM=a , PN=b，作ME丄AB于点E, 如图所示。 PF b 72， FN （蹴 PUU)(PNr PUU) P

6、MU PUU PFu PE Puu pu abcos60 a L cos45 f= V2J2 bcos45 a 72 b 72 ab ab ab ab uuuu 0 o EM uuur FN o / EM、 FN分别是 内与棱AB垂直的直线, EM与FN之间的夹角就是所求二面角，即 AB 的大小为90 O 7 【答案】 【解析】 B 可借助等体积法。 / BPM= / BPN=45 , 5 65 65 3 &【答案】 【解析】 cos r - a,b r r a b -r_uu |a|b| 12 2 恵 25 V15 9 .【答案】 【解析】 cos m, n (1,2,0) (3,0, 2)

7、 3/65 65 74 V4 该二面角的余弦值为 3届或3届 65 65 10 -【答案】乎 【解析】如图建立空间直角坐标系, AB =( 0, AD1 =( 1 , 0 , 1), AE = (0, 设平面ABCiDi的法向量为n = (X， y, z), 由 n AB 0 可解得 n =( 1, 0, 1) 1 , n AD10 AE n 设直线AE与平面ABCiDi所成的角为0,则sin AE n 11 .【答案】丿6 3 建立如图所示的空间直角坐标系. 则A (1,0,0), F (0, ,0), 2 uuu 1 uuu AE (0,-,1), AF ( 【解析】以D为原点, 2 1

8、E (1,?1)- 巧,。)； 设面AECF的法向量为 则有: Luur AE 0,n uuur AF n (1,2, 1)， uuu AB (0,1,0)，所以点 2 1 To n (1,), 12 .【解析】 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz , 1 F(0,2,0)，DE) ULU -AE UUL AE uuu - AE uuu 又DA 1 (0,12), uLur DiF ULur DiF uuuw 1 DiF(0,：, 1), 2 11 (0,1,-) (0,-, 1) 0, 22 ，即 AE丄 DiF. uuuuTuuuur uu1 (1,0,0)DiAi，且 DiAi AE

9、(1,0,0) (0,1,?) 0 , DiAi nDiF=Di , AE AE 丄平面 AiDiF. 13.【解析】 DiAi，由(1)知 AE DiF,且 如图，以点C为坐标原点，以 CB, CF和CD分别作为x、y和z轴，建立空间直角 坐标系C xyz. y c, 设AB a BC b, BE 则 C(0,0,0) , A(b,0,a), B(b,0,0) , E(b, c,0). UUUuuu (b ,0,0), AE (0, c, a) , CB ULU 因为CB 平面DCF，所以CB是平面DCF的法向量 ULU UUU 因为CBgAE 0，且AE 平面DCF , 故AE /平面DC

10、F . 14.【解析】 如图，建立坐标系，贝yD(0,0,0) ,B(1,2,0) ,E(0,1,1) LUUrULUT DB (1,2,0) ,DE (0,1,1) 设平面DBE的法向量为n (x,y,z)，则 r UUT n DB r UUT n DE 0，即 0 2y 00，化简得x 2y 平面DBE的一个法向量为 n (2,1, 1) z E 又因为平面BCD的一个法向量为 m (0,0,1) 面角E BD C的余弦值为: cos cos r r m, n 46 6 二面角 E BD C的正切值为 tan 75. 15 .【解析】 (I )因为 AEF是等边三角形, O为EF的中点,

11、所以 A0丄 EF. 又因为平面 AEF丄平面 EFCB AO 平面AEF, 所以AO丄平面EFCB 所以AO丄BE. (n )取BC中点G,连结OG. 由题设知EFCB是等腰梯形, 所以OG丄EF. 由(I )知AO丄平面EFCB 又OG 平面EFCB 所以OA丄OG. 如图建立空间直角坐标系O xyz, uurL a),0) , EA ( a,0,辰), (X, y,z), r n 则r n UUL gEA UUL gBE 0, 0, 即 (a 2)x ax 73az 憑 a 2)y 0, 0. B(2,J3(2 uuu BE (a 2,3(a 2),0). 设平面AEB的法向量为n 令z= 1，则X 1,1). 平面AEF的法向量为p =(0, 所以cos n, r r P n gp p i I |n| p| 由题知二面角 F- AE B为