初二数学经典讲义正方形(基础)知识讲解

1、正方形（基础）【学习目标】 1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 知识要点】 要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 .要点诠释： 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形， 更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形 . 要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 .1. 边四边相等、邻边垂直、对边平行；2. 角四个角都是直角；3. 对角线相等，互相垂直平分，每

2、条对角线平分一组对角；4. 是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 要点诠释： 正方形具有平行四边形、矩形、 菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四 个等腰直角三角形 .要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外， 判定思路有两条： 或先证四边形是菱形， 再证明它有一个角是 直角或对角线相等（即矩形） ；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互 相垂直（即菱形） .要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 （ 2）顺次连接矩形各边中点得到的四

3、边形是菱形.（ 3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（ 4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释： 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成 . （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形 （ 2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形 【典型例题】类型一、正方形的性质 、如图，在一正方形 ABCD中 E 为对角线 AC上一点，连接 EB、ED， （ 1）求证： BEC DEC；（2）延长 BE交 AD于点 F，若 DEB140求 AFE 的度数【思路点拨】 先由正方形的性质得出 CD=CB，DCA=BCA

4、，根据 SAS证出 BECDEC， 再由全等三角形的对应角相等得出 DEC=BEC=70，然后根据对顶角相等求出 AEF，根 据正方形的性质求出 DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出AFE的度数【答案与解析】（1）证明：四边形 ABCD是正方形，CD CB， DCABCA， CE CE，BECDEC（2）解： DEB140， BECDEC， DECBEC70，AEFBEC70， DAB 90， DACBAC45，AFE18070 45 65 答： AFE 的度数是 65【总结升华】 本题主要考查对正方形的性质， 全等三角形的性质和判定， 三角形的内角和定 理，对顶角等知识点的理解和掌握，

5、能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键 . 举一反三：【变式 1】已知：如图， E 为正方形 ABCD的边 BC延长线上的点， F是 CD边上一点，且 CE DE BF【答案】证明：四边形 ABCD是正方形，BC DC，BCD90E为 BC延长线上的点，DCE90，BCDDCE在BCF和DCE中，BC DCBCF DCE ，CF CEBCF DCE（ SAS），BF DE高清课堂 特殊的平行四边形（正方形）例 1】变式 2】 如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，则 AEB的度数为 ）A10B15C20D12.5 【答案】 B；提示：根据等边三角形和正方形的性质

6、可知ABAE， BAE9060150， AEB（180150） 215 .2、如图，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，点 G是BC延长线上一点， 连接 AG，点 E、 F分别在 AG上，连接 BE、 DF， 12，34（1）证明： ABE DAF；（2）若 AGB30，求 EF 的长【思路点拨】 要证明 ABE DAF ，已知 1 2， 3 4，只要证一条边对应相等即 可要求 EF 的长，需要求出 AF 和 AE 的长【答案与解析】（1）证明：四边形 ABCD是正方形，AD AB，1 2，3 4，DAFABE（2）解：四边形 ABCD是正方形， AGB30，ADBC，1AGB30，1 4D

7、AB 90，34，1390，AFD180（ 13）90，DFAG，1DF AD 12AF 3ABEDAF，AE DF1， EF 3 1【总结升华】 通过证三角形全等得到边和角相等， 是有关四边形中证边角相等的最常用的方 法而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件举一反三：【变式】如图， A、B、C 三点在同一条直线上， AB2BC，分别以 AB，BC为边做正方形 ABEF 和正方形 BCMN连接 FN， EC求证： FN EC【答案】 证明：在正方形 ABEF中和正方形 BCMN中，ABBE EF， BCBN，FEN EBC 90，1AB 2BC，即 BCBN AB2BN

8、 12 BE ，即 N 为 BE的中点，EN NB BC， FNEECB， FN EC类型二、正方形的判定3、如图所示，在 RtABC中， C 90 ， BAC、 ABC的平分线相交于点 D，且 DE BC于点 E，DF AC于点 F，那么四边形 CEDF是正方形吗 ?请说明理由解：是正方形，理由如下：作 DG AB于点 G AD 平分 BAC， DFAC， DGAB， DF DG同理可得： DGDE DF DE DF AC，DEBC， C90， 四边形 CEDF是矩形 DF DE 四边形 CEDF是正方形【总结升华】 （1） 本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形” 来判定正方形 （2）

9、证明正 方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形举一反三：【变式】 （2012?赤峰） 如图，点 O是线段 AB上的一点， OAOC， OD平分 AOC交 AC于点 D， OF平分COB，CFOF 于点 F（1）求证：四边形 CDOF是矩形；答案】1）证明： OD平分 AOC， OF平分 COB（已知），AOC2COD，COB2COF， AOC BOC 180， 2COD2COF180， CODCOF90， DOF 90；OA OC， OD平分 AOC（已知），ODAC， ADDC（等腰三角形的“三合一”的性质）， CDO 90，CFOF， CFO90 四边形

10、 CDOF是矩形；(2)当 AOC 90时，四边形 CDOF是正方形；理由如下： AOC90， AD DC，OD DC；又由( 1)知四边形 CDOF是矩形，则四边形 CDOF是正方形； 因此，当 AOC90时，四边形 CDOF是正方形类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系 xoy中，边长为 a(a为大于 0的常数 )的正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 P，顶点 A在x轴正半轴上运动，顶点 B在y轴正半轴上运动 ( x轴 的正半轴、 y 轴的正半轴都不包含原点 O)，顶点 C、D 都在第一象限(1) 当 BAO 45时，求点 P 的坐标；(2) 求证：无论点 A在x轴正半轴上、点 B在 y轴正半轴上怎样运动，点 P都在 AOB 的平分线上；【答案与解析】2a2解： (1) 当 BAO 45时， PAO 90在RtAOB中， OA 2 AB 2a，在 RtAPB中，PA 2 AB2 2 2点 P 的坐标为22a, a22(2) 如