专题03+导数及其应用

1、专题03导数及其应用易错点1不能准确识别图象与平均变化率的关系所示，则一世有A两机关单位节能效果一样好B/机关单位比5机关单位节能效果好【错解】选C 因为在（0, 上，的图彖比（f）的图象陡悄，所以在（0. Zo）上用电虽的平均变化率 d机关单位比B机关单位大.【错因分析】识图时 一圮要结介题意弄沽国形所反映的量之间的关系.特别是单调性，增长（减少）的快慢 等要弄淸.【试题解析】由题可知，/机关单位所对应的图象比较陡昭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量 在Oj。 I:的平均变化率都小于a故一肚有2机关单位比5机关单位廿能效果好.故选B【参考答案】B丄、易错.也占1-平均变化率函数v =

2、 /（x）从“到Xj的平均变化率为若心=匕一Ay = /（x；）-/（A-）,则平 - K均变化率可表示为詈2-瞬时速度一般地，如果物体的运动规律能够用函数s = st）来描述，那么，物体在时刻/的瞬时速度卩就是物体在Ac/到/ +/这段时间内，当/无限趋近于0时，巴无限趋近的常数.f即对巩固1-锁巍泰山为我国的五岳之首，有天下第一山之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八的俗语来形容爬十八盘的感受，下而是一段登山路线图.同样是登山，但是从,4处到5处会感觉比较轻松,而从2处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语肓来量化BC段曲线的陡峭水准吗？【答案】见解析.【解析】山

3、路从d到B高度的平均变化率为加8=1二2=丄 50 05山路从B到C高度的平均变化率为加c=丄70-504:hschAS 山各从B到C比从/到B要陡帕的多.易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”例2戚樹凰;bw臥翊驟潮B. 3x-y+ 2 = 0A. 12X-y-l6 = 0C 12人一 y+ 16 = 0或3x-y 2 = 0D. 12x y 16 = 0或3;v-y+ 2 = 0【错解】设fx） = x由定义得r（2）=12, 所求切线方程为y-8 = 12（x-2），即 12x-y-16 = 0【错因分析】曲线过点P的切线勺在点P处的切线不同.求曲线过点P的切线时应注意检脸点P是否在

4、 曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论.【试题解析】易知P点在曲线y = x3上，当P点为切点时由上而解法知切线方程为i2x-y-6 = 0. 肖P点不是切点时，设切点为d（x（b H）,由定义可求得切线的斜率为Td 在曲线卜./. q = Xy . _ = 3xu %0 - 3%0 +4 = 0.Xu-2（心+ 1）（心-2）=0,解得兀=-1或;ro=2（舍去）,儿=-1. k=3.此时切线方程为尸l=3（rlh即3x-y + 2 = 0.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12工一y-16 = 0或3x-y + 2 = 0.【参考答案】D、易错点占1导数的几何意义函数y

5、= f（x在X = D处的导数广（心）就是曲线y = f（x）在点（大0/（兀）处的切线的斜率2.曲线的切线的求法若已知曲线过点P（兀,儿）求曲线过点P的切线，则需分点P（xo沖）是切点和不是切点两种情况求解:（1）当点卩（无.儿）是切点时，切线方程为y-yo=/Vo）（x-Ao）：（2）当点卩（心.儿）不是切点时，可分以下几步完成:第一步：设出切点坐标PXXH /（XI）；第二步：写出过pg, /（%!）的切线方程为y/（X|） =广第三步：将点P的坐标（, yo）代入切线方程求出打：第四步：将;n的值代入方程y-/（xj =广（xj（x-xj，可得过点卩仗。）的切线方程.即对巩g2.已知函

6、数/（x） = x（2018 + lnA/V） = 2019,则尤严A- eB1C. In 2018Dc【答案】B【解析】/)=班2018 +In QJ(x) = 2018 + lnx + l = 2019 + lnx又丙为厂（兀）= 2019.所以 2O19 + lnXo=2O19【师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求&公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.T特别找雜在求曲线y = /W的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线/（X）上）的切线方程，前者的切线方程为y-f（勺）=广（心）（兀一勺），其中切点（心，/（勺），后者一般先设出切

7、 点坐标，再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则一、xsinx (2)/(x) =Inx(1) f(X)=+ lax - -V:【错解】(I)f(x) = (a- + 2(ix-xy = 2a + 2x.=龙皿戈=対“+化OSInx(In%/【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分洽表达式中的自变量本题中的自变量是X. d是常量：（2）閤的求导法则是：分砒平方作分母，分子是杀的形式，等于分子的导数乘以分母的枳减去分母的导数乘以分 子的枳本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）广W = （/ + 2必-Fy = 2d-2小广=(沁), = (龙sinMlnx-xsin

8、MlnM Sinnx + xcElz-sinxInx(InxrInx亠、/ 、八 A 八、 sinxlnx + xcosxlnx-sinx 【参考答案】(1)/Xv) = 2a-2x： (2)厂(x) =1 导数汁算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2导数讣算的方法连乘枳形式：先展开化为多项式的形式，再求导:分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导:对数形式：先化为和、差的形式，再求导:根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导;三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导:3.已知/（x） =鬆，则厂（=A

9、. 21112B. 2+ln2C. 2-In2D 2 + In2【答案】D【解析】依题意有1.7-2.1.(2xp.lav2xuJ出空= 2 + ln2所以选D【勒师点睛】本小题主要考査基本初等函数的导数，考査复介函数的导数计算.考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4区分复合函数的构成特征(2) y = cos-2【错解】（1）/ = 2（%-+1）X = -2sin-【错因分析】这是复介函数的导数，若y = fu）ai = hx）.则必=儿/仃如（1）中，y = i,u = x-+.= 2- 1X = 2（x- +1） 2x = 4%（%- +1）遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导

10、或用复介函数求导公式求导.【试题解析】解法一：(1) $= F + l=r+2F+l, Ay = 4x+4x.(2) Ty=c屏亠1+8巴.y = _lsinx.2 2 2解法二(1) y = 2(A-+l)-(x- + l)=4x(% + l)-XXXXX1(2) y = 2cos (cos) = 2cos (-sin ) ()=sinx.2222 22【参考答案】（1y = 4x（x+l）： （2） / = 一一Sinx2易错点击1-求复合函数的导数的关键环节: 中间变量的选择应是基本函数结构: 准确分析出复合过程: 一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导: 善于把一部分表达式作为一个

11、整体: 最后结果要把中间变量换成自变虽的函数.2-求复合函数的导数的方法步骤: 分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量: 求每一层基本初等函数的导数: 每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 即对巩固% +1在点1 3丿1 2丿处的切线方程是4-曲线 y = sin【答案】x-2y + J? = 0cos(JJx + .所以斜率为cosZ 0 +兰1 3丿L 3丿【解析】/ =1,切线方程为y- = lx,；v-2y + JJ = 0.易错点5审题不细致误邈（|1断（1）若f（2） = 0,求函数/（X）的单调区间: （2）若/（X）在世义域上是增函数，求实数a的取值范用.【错

12、解】m+十I眷 小”彩-、彩（2宀5“2）， 令f(x)0得X2i-JtX 令/(x)0.得一 vx0恒成立,% X“4-心汀即实数诫值范用是心）.【错因分析】错解有多处错1 光一是忽视了怎义域的限制作用，研究函数一泄要注意函数的定义域：一是将单调区间取井集，函数的单调区间不要随意取并集：三是对不等式恒成立处理不当，对于自变童取值有 限制条件的恒成立问题要和自变虽在R上取值的恒成立问题加以区分.【试题解析】（1）由已知得xX）,故函数/（X）的富义域为（0, +00）.m+于2(2)=彳一 14/(“) = +5兀2 X 5x- = (2a-5a- + 2).令/(x)0得x2或xv-令/(x

13、)0,得一x0 当6(=0时4 = 0，/(x)0在R恒成立,函数I：单调递増.2 当610时由fXx)0,解得x0或x-：J2由fx)Q.解得一-rnvxvO.函数/(x)在(Y,-?/,4R)l-Jp-lMl递增；在(一彳伙)上单调递减:牝Q,解得x-詁或x0：由广(x)0,解得0x-討函数/(兀)在(YO,0)和-|d,+8)上单调递增；在上单调递减.(3) Xa = 0,b = I时，f(x) = x-x.由f(x)xe +ky 得x-xvx(e”+k)对任意的XG(0,40 t /一10)则 g*(jv) = 2x-e令(x) = 2x-e贝ij/f (x) = 2-e由/r(x)

14、= 0,解得x=ln2由/r(x)0解得0xln2：由/r(x)ln2.二导函数gx)在区间(0Jn2)单调递增；在区间(ln2,y)上单调递减,g)Q(ln2) = 21n2-20,二ga)在(o.*o)上单调递减.g(x)fx)恒成立(fl/a)紳即可)或af(x)恒成立(a0或 /(x)0恒成立.讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范帀.易错点6极值的概念理解不透彻【错解】一7或0由题得，f(x) = 3x-+2ax + h.由已知得17(1) = 10+a + h + = Q .,a = 4 ,、Z ，解得彳或x = 1是金)的极值点的情况【试题解析】由题得，f(x)

15、 = 3x-+2iix + h.由已知得(1) = 10 1 = -l 1.所以a+b = -7.【参考答案】-7*特别提醒对于给出函数极大（小）值的条件.一泄既要考虑（兀）=0,又要考虑在 = 0两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根.L函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左右两侧的导数符号.2-求函数/（X）极值的方法: 确定函数/（X）的;义域. 求导函数f （/） 求方程fx） = 0的根. 检査广（X）在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么/（x）在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么/（X）在这个根处取得极小值，如果广a）在这个根的左右两側

16、符号不变，则/（X）在这个根处没有极值.3.利用极值求参数的取值范用：确定函数的定义域，求导数f（x）.求方程fx） = 0的根的情况，得关于参数的方程（或不等式），进而确定参数的取值或范用.即对巩固6.若x = l是函数/（X）= -?+（ + !）%-（t/-+-3）x的极值点，则Q的值为B3A-2C. -2 或 3D-3或2【答案】B【解析】fx) = -x +(rt + l)x-(rt +a-3)x=/(羽=+ + 2( + 1)人一(/+-3).由题意可知厂=0,= 厂=1+2( + 1)-(/+么_3)= 0 = 3或4 = _2当a = 3时，厂（乂）=疋+2（“ + 1）尤一（

17、/+一3）= /+&1一9 =（卄9）（兀一1）“1兀lv-9时，/-W0,函数单调递增：当-9x 1时./Xx）0,函数单调递减显然犬=1是函数f（龙）的极值点:“1d = -2时，/Xx) = x-+2(t/ + l)x-(tr+-3)= x-2%+l = (%-l)-0.所以函数是R上的单调递増函数，没有极值，不符合题意，舍去.故选B【师点睛】本题考査了已知函数的极值求参数的间题本题易错的地方是求出d的值，没有通过单调性來验证x = l是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变戢的值，不一定是极值点.孑特别提BS（1）/（X）在 = 0处有极值时，一定有广（冷）=0, /（心）可能

18、为极大值，也可能为极小值应检验/（X） 在= 两侧的符号后才可下结论;（2）若广（如）= 0,则/（兀）未必在天=兀处取得极值，只有确认X|VXoV花时，/（x,）7（X2）0.才可确泄/（力在x = 处取得极值.（3）在本题中，不要遗漏掉d = -3这种特殊情况.（纠 错烤妃一、导数的概念及计算1导数的定义：fx) = im= liin /+AvAv-*O /y At02导数的几何意义：函数y = f（x）在犬=心处的导数广（如）就是曲线 =/（X）在点gjg）处的切线的斜率k,即 =广（兀）卒特别提醒求曲线y = /（欠）的切线方程的类型及方法（1）已知切点求y = /（羽过点P的切线方程

19、：求出切线的斜率/U）,由点斜式写出方程:（2）已知切线的斜率为乩 求 =/（X）的切线方程：设切点P（心0），通过方程=广（耳）解得e 再由点斜式写出方程:（3）己知切线上一点（非切点），求y = f（x）的切线方程：设切点P（兀,利用导数求得切线斜率r（Xo）.再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得X0,最后由点斜式或两点式写出方程.（4）若曲线的切线与已知宜线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率.再由k=f（x）求出切点坐标（兀,儿）最后写出切线方程.（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P-定在曲线上. 过点P的切线R卩切线过点P, P不一泄是切点.

20、所以在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.3.基本初等函数的导数公式函数导数f（x）=C（C为常数）/a)=0f (x)=x (n N*)yx)=/u*(zi N*)/(x)=sinx/*(%)= COS Xf(X)=COS X/*(%)=-sin Xf(X)=(f(a 0且H 1)f(x) =(f hu心 0 且Hl)/(x) = e*/V) = e*f(x = log x(a 0 且H1)f(x) -*( 011“ H 1)xna/(x)=lnxfM=-X4导数的运算法则/(%)v(x) =n(x)vx).(2) f/(xv(x)(/(%)v(x)+i/(x)i(A).V

21、-(A-)（3）型，= %）咻心）g）（咻片0）. V（x）、5.复合函数的导数复合函数），= /（ga）的导数和函数y = /（w）, = g（x）的导数间的关系为儿叮叮，即y对X的导数等于y对“的导数与“对X的导数的乘积.二、导数的应用L函数的单调性与导数的关系般地在某个区间（40）内: 如果/V）0函数/（X）在这个区间内单调递增; 如果fx）Q.函数/（X）在这个区间内单调递减; 如果f（x）=O .函数/（在这个区间内是常数函数.（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号;（2）在某个区间内，r（x）O（/V）0）是函数/（x）在此区间内单调递增（减）的充分条件

22、，而不是必要条件例如，函数/（x） = x在泄义域（YM）上是增函数，但fx） = 3x-Q,（3）函数/（X）在0）内单调递增（减）的充要条件是广（x）0（广（兀）0）在（“）内恒成立，且广（兀）在（“）的任意子区间内都不恒等于0这就是说在区间内的个别点处有广（x）=0,不影响函数/（X）在区间内的单调性.2-函数的极值与导数的关系一般地，对于函数 =/（X）.若在点* a处有f ）= 0,且在点x= 7附近的左侧f x） 0 ,右侧厂（X） 0 则称W 4为金）的极小值点：/（） HH做函数/（x）的极小值.若在点x=b处有fb） =0且在点X=b附近的左侧fx） 0 右侧广（X） Or则

23、称x= b为金）的极大值点，/（b）叫做函数/（X）的极大值. 极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.3.函数的最值与极值的关系极值是对某一点附近（即局部）来说，最值是对函数的定义区间a.h的整体来说:在函数的定义区间00内，极大（小）值可能有多个（或者没有人但最大（小）值只有一个（或者没有人 函数/（工）的极值点不能是区间的端点，而最值点能够是区间的端点; 对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得.華特别提醒求函数 =f（x）在SQ上的最大值与最小值的步骤 求函数，=/（X）在（4上）内的极值: 将函数y = /（x）的各极值与端点处的函数值/S），

24、/（b）比较，其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值.B. b=1-2019年高考全国III卷文数】已知曲线y = ae+xnx在点（1, tie）处的切线方程为y=lx+h.则A. d = e, Z? = -lC a = e b = ID a = e* , b =l【答案】D【解析】y = g”+inx + h:切线的斜率k =），I工严e +1 = 2 二=e将(1,1)代入y = 22儿得2+ = 1上=一1故选D.【勒师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有C 0的等式，从而求解属于常考题型.2. 2018年高考全国【卷文数】设函数f(x) = +(a-ix-

25、+ax f(x)为奇函数，则曲线y = f(x)在B. y=_/点(0.0)处的切线方程为A. v = -2xC. y = 2x【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以所以,所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D【斜师点睛】该题考查的是相关曲线在某个点处的切线方程的间题.在求解的过程中首先需要确定函数解析式此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存有偶次项，偶函数不存有奇次项，从而求得相对应的参数值，之后利用求导公式求得.借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.32019年高考全国III卷文数】已知曲线y = ae+xnx在点(1, tie)处的切线方程为y=lx+b

26、.则A. d = e, b = -C a =e h = I【答案】D【解析】y = de”+ln兀+ h切线的斜率k = yiQ = ae + l = 2, =1将(1,1)代入=2兀 + 得2+ = 1上=一1故选D.【斜师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有G b的等式，从而求解，属干常考题型.4设曲线几/) = J, + 1 cosx(wR)匕任一点(;v,y)处的切线斜率为g(x)则函数y = xg(x)的部分图象能够为A.B.D.【解析】由函数的解析式可得/(x) = -Vw + lsin%(/HeR),则y = xg(X)= -y/itr +1% sin%(

27、/ e R)-该函数为奇函数选项B、C错i吴;又肖2艸*評，ye选项A错決本题选择D选项.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入乎:从函数的圮义域,刿断国象的左右位肖从函数的值感，判断图象的上F位豊.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4) 从函数的特征点排除不介要求的图象.5函数/(x) = x Inx的最小值为B.eA.e【答案】C【解析】由题得xe(O,-Kc), /V) = 2xlnx + x = x(21nx + l).令21nx+l=0,解得x = e ?则当x(Xe2)时，/(X)为减函数.当x(e 29+00)时./(X)为増函

28、数,所以x = e 2处的函数值为最小值，且/(e -) = -2e故选C【名师点睹】本题考査用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，兀次刈断函数的单调性,确圮锻值点，廉后代回原函数求得垠值.6.立义在(0,_KO)上的函数/(_)满足/(2)=-.则关于X的不等式/(旳0,则g(v) = m)一亠=5：)-1XXXV x-f(x)i,g)=x/T)j0, ；函数g(jv) = /(jv) + 丄在(0,o)上单调递增.X又/(2)=才 ：g(2) = /(2) + = 3.结合题意，不等式/(旳3-厶可转化为/宦)+二/(2) +丄，I!卩g(ejg(2),ee2A 0e 2 ,解得

29、x1构造函数g(jv) = fx) + -,则有g)=x/(：)j0,从而得到函数g(jv) = /(X)+丄在(0,冷)上单调递XXXX増.又g(2) = /(2) + - = 3.所以不等式/(e”)3-丄可化为/(旳+ ；/(2) +丄，根据函数 2ee2g(x)的单调性可得Ove” 0)处的切线相同,h =(r -m由题得/a)= 2xJ?(x) = -4,所以* z? = 61n-4t/.解Z得 fl=l.Z)=-4.w=5. “27一4a故答案为D师点睛】(1)本题主要考査导数的几何意义，考査曲线的切线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.h =(r -m解答本题的

30、关键是根据已知得到方程组h? = 61n-420对x(1.2)恒成立即似2一/ +丄0时，/ a ,解得La12g(2) = 4a-5 + 0aHavO 时 g(0)=-0. = 0. .g(x)0)U 尹故选B【斜师点睛】本题主要考査利用导数法研尢函数的单调性-是一逍中档题，兀基本解题思路是：当函数为増函数时，导数大于等于零：当函数为减函数时，导数小于等于零.已知函数单调性求参数的范用问题往往转化为求相对应函数的垠值问题，体现了转化的数学思想，很好地考査了学生的计算水平.9.若方程疋一3只+川=0在0.2上有解，则实数W的取值范围是B- 0,2A. -2.2C-2.0D. (O09 2)U(

31、2, + 8)【答案】A【解析】由题意得.方程兀3_3尢+加=0在0.2上有解-则_/ =大3一3小x02令=疋一3兀，xG0.2,则/ = 3%-3 ,令/0.解得Q1,所以函数在04(;单调递减.在1.2上单调递增,又；v=l 时，y = -2 ； x=2 时，)=2： AOr j=0函数y = x-3x. xe02的值域是-2,2,故fit 2.2 fn E 2.2 ,故选 A.10-函数 y = -x【答案】D【解析】函数图象过泄点(0,2).排除A, B：令 y = /(X)=+ A + 2 .则 /*(%) = 4x +2x = -2x(2x -1),Npy由广(x)0得2x(2.

32、v-l)0. x-nK0x ,此时函数单调递増22竹/7由fx 0.得或一土lxL则d2a-L因为用)在区间(0.3)内存有极侑点，所以a:Aa3,若rt2a -1、因为金)在区间(0,3)内存有极值点所以0,/.01综上所述,0dl或11和V1实行讨论.12-【2019年奇考全国I卷文数】曲线y = 3x- + x)在点(0,0)处的切线方程为.【答案】3x-y = Q【解析】/ = 3(2x + l)e + 3(x- + x)e = 3(x- + 3x + l)c”,所以切线的斜率k = yT2=3则曲线y = 3(x-+x)Q在点(0.0)处的切线方程为y = 3_v,即3x-y = 0

33、【名师点睹】准确求导数是进一步计算的基础.本题易因为&数的运算法则掌握不熟，而导致汁算错误求导要慢S讣算要准，是解答此类问题的基本要求13.2018年高考全国I【卷文数】曲线y = 2nx点(1,0)处的切线方程为【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为.则所求切线方程为，即.【夕)师点睹】求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率：写出切线的点斜式方程；化简整理14,已知函数/(x) = 2sinx+sin2x.则/(x)的最小值是【答案】【解析】所以当时函数单调递减.当时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为2刼-竺,2刼-/eZ),jrjr函数的递增区间为2如

34、下的+亍(kZ),所以当x = 2kR-,keZ时，函数取得最小值,3此时,故答案是.【名师点睹】该题考査的是相关应用导数研尢函数的垠小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求御函数的最小值点，从而求得相对应的三角函数值，代入求得函数的垠小值.15,已知函数/(%) = -2：若方程l/M-=a恰有两个不同的实数根a-a-3 ,则x,+A的最大值是ex0,【答案】31n2-2【解析】作出函数/（X）的图象如图所示,不妨设,则2v：=2=需,令 y/a = f(f 1).则 X,=-石,.V, =ln

35、t,令gdf g，则g（r）=目互.：1/O. g /在（1$）.上单训递增:当f8时g（f）0： Xx2时，gU）o所以g（x）在（0,-）单调递增，在2兀单2V 2丿调递减.又g（O） = O，g 勿0,g（jr） = -2,故g（x）在（0*兀）存有唯一零点.所以广（X）在（0应）存有唯一零点（2）由题设知 f/（7t） = 0 .町得S0由（1）知h广在（Om）只有一个零点，设为北，且.当X（0占）时./心）0：当XG（心71）时.广（QvO,所以/（X）在（0,耳）单调递增在（如血）单调递减.又/（O）= OJ5）= O所以，：4x0m时，/（x）20又当 C0,x0,7r时“)故

36、/(x)ta.所以.“的取值范用是（yqO.【名师点睛】本题考査利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范S的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零Z间的比较，进而通过导函数的正负來确定所构造函数的单调性，从而得到最值.17. 【2019年高考全国I【卷文数】已知函数f（x） = x-）nx-x-.证明:（1）/（兀）存有唯一的极值点:（2） /（%）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见解析：（2）见解析.【解析】（1）/（力的怎义域为（0, +8）/(-)= _ +lnx-l = Inx- XX因

37、为y = nx单调递増，y =-单调递减所以广（x）单调递增, X1 ln4-l又广(l) = _lvO- r(2) = ln2- = 0.乙乙故存有唯一兀0（1.2）使得（如）=0又当兀也时，rwXo时，广（x）0/（X）单调递增.所以 /（X）存有唯一的极值点.（2）由（1）知/（xj0.所以fx） = 0在（心,乜）内存有唯一根由CZ 1得一 1 0,则 X(YO.0)U ,+s 时，/x)0 :当 xe 0,时，fx0 : *1 -vepO时，/V） 0 .故/（X）在,（0,+8）单调递增.在o单调递减. Z（2）当0a- + 2.最大值为/(0)=2或/(l)=4-a于是 27Hi = + 2 r M =274-a.Qa 2,2,2a v3所以M -in = *2- +,02, 279 2 S a V 3.2127込X2时，可知2丄单调递减，所讪5的取值范网茅）.32当厉单调递增