[举一反三]真题精讲与发散思考——坐标系中的几何问题

1、坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握 了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系， 计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题 出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的 关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。 此后的两 讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。 第一部分真题精讲 【例1 2010，石景山，一模 已知：如图1,等边. ABC的

2、边长为2 3，一边在x轴上且A1-. 3,0 , AC交轴 于点E，过点E作EF / AB交BC于点F (1) 直接写出点B、C的坐标； (2) 若直线y=：kx1 k = 0将四边形EABF的面积两等分，求 k的值； 线段OB上运动时，现给出两个结论： .GNM二/CDM .MGN二/DCM，其中有且只有一个结论是正确的，请你判 断哪个结论正确，并证明. 【思路分析很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得 头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分 缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60。来算，七分

3、 中的两分就到手了。 第二问看似较难，但是实际上考生需要知道 “过四边形对角线交点的任 意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可 以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分 到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好 求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就 发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何 题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1）B 1 .3

4、,0 ； C 1,3 . （2）过点C作CP _ AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R . ABC是等边三角形， A1-.3,0 . . EAO =60. 在 Rt EOA 中，.EOA =90 . EO=AO tan60 =-1- .3.3 =33 . - E 0,3 - .3 . EF / AB 交 BC于 F , C 13 . （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和 C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半） 直线y =kx -1将四边形EABF的面积两等分. 直线y =kx -1必过点 2 (3)正确结论： .GNM =/CDM . 证明：可求得过 A、B、C的抛物线解析式为 y -

5、-x2 2x 2 D 0,2 . / G 2 0 . OG =OD . 由题意 ZGON ZDOM =90 . 又 EGNO ZDNH . NGO =/MDO NGO 也.MDO . GNO =/DMO , OM =ON . ONM 二.NMO =45 过点D作DT _CP于T DT =CT =1 ZCDT NDCT =45 由题意可知DT / AB TDM =/DMO TDM 45=/DMO 45=/GNO 45 - TDM CDT 二 GNO ONM 即： GNM = CDM .（这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的 图） G 189 【例2】2010,怀柔，一模 一124

6、如图，在平面直角坐标系 xoy中抛物线y xX-d0与x正半轴交于点 A,与y 轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点 C,连结AC .现有两动点P、Q分别从 0、C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿 0A向终点A移动，点Q以每秒1个单位 的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D,过 点D作DE / 0A，交CA于点E，射线QE交x轴于点F 设动点P，Q移动的时间为t(单位渺) (1) 求A,B,C三点的坐标；F (2) 当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出 计算过程；/ 9 (3) 当0v t v 时, PQF的面积是

7、否总为定值 ？若是, 2 求出此定值，若不是，请说明理由； 当t时, PQF为等腰三角形？ 【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所 以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分， 给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于 对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。 在运动中，QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA时候即可。 第三问求厶PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距 离是固定的，所以只

8、需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF , 得解。第四问因为已经知道 PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点(4t,0)Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可本道题是09年黄冈原题，第四问原本是作 为解答题来出的本来是 3分,但是本题作为1分的填空，考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可 以。实际考试中如果碰到这么麻烦的，如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他 的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了 1 【解析】解：(1) y(x2-8x-180)，令 y=0 得 x?_8x-180 = 0， x -18

9、 x 10i 二 x =18或 x = -10 二 A(18,0); 124 在 y x x-10 中，令 x=0 得 y=10 即 B(0, -10)； 189 124 189 由于BC / OA，故点C的纵坐标为一10,由-10X2x-10得x=8或x = 0 即 C(8, -10) 于是，A(18,0), B(0, -10),C(810) (2)若四边形PQCA为平行四边形，由于 QC/ PA.故只要QC=PA即可 / PA =18 -4t,CQ 二t 18 二 18 - 4t = t 得 t (3)设点P运动t秒，则OP =4t,CQ二t , 0 t : 4.5，说明P在线段OA上，且

10、 不与点O、A重合， DP OP 4t 由于 QC / OP 知厶 QDC PDO，故二丄=丄 二 AF =4t =OP PF 二 PA AF 二 PA OP =18 又点Q到直线PF的距离d =10 18 10 = 90 PQF的面积总为90 (4)由上知,P(4t,0), F (18 - 4t,0), Q(8 -t, -10) , 0 ： t : 4.5。构造直角三角形后 易得 2 2 2 2 PQ2 =(4t -8 t)2102 =(5t -8)2 100 FO2 =(18 4t -8 t)2 102 =(5t 10)2 100 件; 若 FP=PQ,即 182 =(5t -8)2100

11、 , 故 25(t2)2 =224， 2 t 2 6.5 t 2 =.嘗 二 4 tR_2 5 若 QP=QF，即(5t -8)2100 二(5t 10)2 100 ,无0 t 4.5的t满足条 12， 若 PQ=PF，即(5t -8)2100=182，得 (5t - 8)2 = 224，. t 二 84 144.5 或 8 _4 t 44 ：0都不满足0 t 4.5，故无0 t 4.5的t满足方程; 5 综上所述：当t二44-?时， PQR是等腰三角形。 5 【例3】2010,延庆，一模 如图，已知抛物线 C1 : y=a（x+2$ -5的顶点为P，与x轴相交于 A、B两点（点 A在点B的左

12、边），点 B的横坐标是1 . （1）求P点坐标及a的值; （2）如图（1）,抛物线C2与抛物线G关于x轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移 后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时, 求C3的解析式; （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线G绕点Q旋转180后得到抛物 线C4.抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、 N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标. 【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B (1,0)代入, 第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。

13、第三问则 需要设出N，然后分别将 NP, PF,NF三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角 的可能性。计算量比较大，务必细心。 【解析】 解：由抛物线G : y=ax，22_5得 顶点P的为(_2，- 5) 点B(1, 0)在抛物线Ci上 0=a(1+22_5 5 解得，a二5 9 连接PM，作PH _x轴于H，作MG _x轴于G 点P、M关于点B成中心对称 PM 过点 B，且 PB=MB PBH MBG MG =PH =5,BG=BH =3 顶点M的坐标为(4 , 5)(标准答案如此，其实没这么麻烦，点 标之差都等于B到P的，直接可以得出(4,5) 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，

14、抛物线 C3由C2平移得到 5 抛物线C3的表达式为y = x45 9* 抛物线C4由Cl绕点x轴上的点Q旋转180得到 顶点N、P关于点Q成中心对称 由得点N的纵坐标为5 设点N坐标为(m , 5) 作PH _x轴于H，作NG _x轴于G 作PK _ NG于K 旋转中心Q在x轴上 EF =AB =2BH =6 FG =3，点 F 坐标为（m 3, 0） H坐标为（2 , 0）, K坐标为(m，- 5), 根据勾股定理得 2 2 , 2 PN =NK PK 2 二 m 4m 104 2 2 2 PF =PHHF 2 =m 10m 50 当.PNF =90时, PN2 - NF2 二 PF2，解

15、得 44 mH4， Q点坐标为 当.PFN =90时, PF2 NF2 =PN2，解得 10 m肓，Q点坐标为 2 （3，0） PN NK =10 NF . NPF 工 90 192 以点P、N、F为顶点 综上所得，当Q点坐标为(一，0)或(-,0)时, 33 的三角形是直角三角形. 【例4】2010，房山，一模 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线11 : y - 3x 6 3交x轴、y轴于A、B两 点，点M m,n是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点. (1) 求点C的坐标； (2) 连接CM，将 ACM绕点M旋转180，得到 ACM . 1 当BM二2 AM时，连结AC、AC，

16、若过原点O的直线I2将四边形ACAC分成面 积相等的两个四边形，确定此直线的解析式; 过点A作AH _x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点 A、H、C、M构成 的四边形为梯形？ 【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一 道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面 例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求 出交点就意味着知道了直线 第二小问较为麻烦，因为C点有两种可能,H在C点的左右又是 两种可能，所以需要分类讨论去求解只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了 【解析】 (1) 根据题意

17、：A 6, 0，B 0, 6 3 / C是线段OA的三等分点 C 2, 0 或 C 4, 0 2 分 (2) 如图，过点M作MN _y轴于点N , 则 BMNBAO . 1 BM AM . 2 1 - BMBA 3 1 二 BN BO 3 N 0, 4 3 点M在直线y =f$3x 6 3上 M 2, 4 3 - ACM是由 ACM绕点M旋转180得到的 AC II AC M为对称中心 无论是Ci、C2点，四边形 ACAC 是平行四边形且 所求的直线12必过点M 2, 4 3 . 直线2的解析式为：y =2 3x 当Ci 2, 0时， 第一种情况：H在C点左侧 若四边形AHC1M是梯形 AM与

18、HCi不平行 AH II MCi 此时M 2, 4 3 第二种情况：H在C点右侧 若四边形AGHM是梯形 T AM与CiH不平行 AC1 / HM M是线段AA的中点 H是线段ACi的中点 H 4, 0 由 0A=6 , OB =6 3 . OAB =60 点M的横坐标为5 M 5,3 当C2 4, 0时，同理可得 第一种情况：H在C2点左侧时，M 4, 2.3 - 第二种情况：H在C2点右侧时, 综上所述，所求M点的坐标为: 113 2 ,_T y 【例5】通州，2010，一模 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2，2x-3与x轴交于A、B两点，（点 A在点B 左侧）与y轴交于点C,顶点为D，

19、直线CD与x轴交于点E. （1） 请你画出此抛物线，并求 A、B、C、D四点的坐标. （2） 将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F （不与A、B两点重合），请 你求出F点坐标. （3） 在点B、点F之间的抛物线上有一点 卩，使厶PBF的面积最大，求此时 P点坐标 及厶PBF的最大面积. （4） 若平行于x轴的直线与抛物线交于 G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切， 求该圆半径. 【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画 好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松 写出四个点。第二问向左平移，C到对称轴的距离刚好是

20、 1，所以移动两个距离以后就到了 关于对称轴对称的点上，所以F直接写出为（-2,-3）第三问看似棘手，但是只要将PBF 拆解成以丫轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程 求解即可。最后一问要分 GH在X轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步 相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两 个图分开来看。 【解析】 解： (1) A 30 ,B 1,0 ,C 0, - 3 ,D -1,4 . (2) F ? _3 (3) 过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H 易得F _2， 3，直线BF解析式为y = x -

21、1 . 设 P x ,X2 2x -3，则 M x ,x -1 , 2 PM - -X x 亠2 9 PM的最大值是- 4 当PM取最大值时APBF的面积最大 S. PBF 二 S. PfmS PBM 27 PFB的面积的最大值为 27 8 (4) 如图，当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为 R R 0，则H R-1 ,R , 代入抛物线的表达式，解得 R二匚二7 . 2 当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为 r r 0 , 则 h r -1, r , 代入抛物线的表达式，解得r二日 17 2 圆的半径为或-1石. Hi x C 【总结】 通过以上五道一模真题， 我们发现这类问题虽然看起来十分

22、复杂，但是只要 一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物 线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性， 有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要 认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线 段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条 件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之， 再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要 将前面容

23、易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。 像例2最后一问那种情况，该放弃时候 果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。 第二部分发散思考 【思考1】2009,北京 B 6,0，C 0,4、3，延长 AC 到点 D,使 CD= 1 AC ,过点 D 作 .如图，在平面直角坐标系xOy中，L ABC三个顶点的坐标分别为A -6,0 ，四边形，确定此直线的解析式; (3) 设G为y轴上一点，点P从直线y =kx b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G 点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍， 试确定G点的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。(要

24、求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明) 【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中 考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的, 所以分周长相等只需要研究哪些线段 之和相等就可以了。 所以自然想到去证明全等三角形。 第三问虽然不要求证明，但是只需设 出速度，利用相似三角形去建立关系 ，还是不难证明的 ，有余力的同学可以试试 【思考2】2009，西城，一模 3 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 6与x轴、y轴的交点分 4 另U为A、B，将/ OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点 C. (1) 直接写出点C的坐标，并求

25、过 A、B、C三点的抛物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为 D，在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四 边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由； (3) 设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出 QA -QO|的取值范围 【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等，角 是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形，那么构成平行四边形的点P 是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来 看三点共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。 【思考3】2009，朝阳，一模 抛

26、物线与x轴交于A (- 1, 0)、B两点，与y轴交于点C (0, - 3),抛物线顶点 为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点 Q，且点Q到x轴的距离为6. (1) 求此抛物线的解析式； (2) 在抛物线上找一点 D，使得DC与AC垂直，求出点 D的坐标； (3) 抛物线对称轴上是否存在一点P，使得SA PAM=3S ACM，若存在，求出 P点 坐标；若不存在，请说明理由. 【思路分析】第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1, 然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标，然后联立抛物线与 直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解，如果能

27、巧妙的将A ACM的面积看成是四边 形ACEM减去A AME,那么就会发现四边形 ACEM刚好也是厶AOC和梯形OCEM之和,于 是可以求出PM的距离，然后分类讨论PM的位置即可求解. 【思考4】2009，崇文，一模 如图，抛物线y = ax2 - bx - 3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C ,且 OB =OC =3OA. (I) 求抛物线的解析式； (II) 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点P, A,C为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； 1 (III) 直线y x 1交y轴于D点，E为抛物线顶点若 DBC = ：, 3 CBE =求1的值

28、【思路分析】 本题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了 X=0时Y=-3 ,于是C 点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中，因为 AC是固定的，所 以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角 度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。 最方便就是利用正切值构建比例关系, 现/ CBE= / DBO，于是所求角度差就变成了求/OBC。 第三部分 思考题解析 【思考1解析】 解：（1）v A（_6,0） , C（0,4、3）, OA = 6, OC = 4 ./3 . 设DE与y轴交于点M . 由 DE / AB可得 DMCAOC .

29、 1 又 CD AC, 2 .MD CM CD 1 OA 一 CO 一 CA 一 2 . .CM =2.3 , MD =3 . 同理可得EM -3 . .OM =6 -3. .D点的坐标为(3,6.3). (2)由(1)可得点M的坐标为(0,6 3). 由 DE / AB, EM = MD , 可得y轴所在直线是线段 ed的垂直平分线. 点C关于直线DE的对称点F在y轴上. ED与CF互相垂直平分. CD =DF =FE =EC . 四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心. 作直线BM . 设BM与CD、EF分别交于点S、点T 可证 FTM CSM . FT =CS. FE 二 CD , TE 二 SD. / EC =DF , TE EC CS SSD DF FT TS. 直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形. 由点 B（6,0