§2.4.1平面向量的数量积

1、2.4平面向量的数量积 第 7 课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4. 掌握向量垂直的条件 . 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推 导数量积的运算律， 然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点： 平面向量

2、数量积的定义及几何意义； 平面向量数量积的 5 个重要性质； 平面向量数量积的运 算律. 教学过程： 、复习引入： 1 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是： 有且只有一个非零实数 ，使 2平面向量基本定理：如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a=1e1+2e2 3平面向量的坐标表示 x、 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 .任作一个向量 a ，由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数 x、 y，使得 a xi yj 把 (x,y)叫做向量 a的(直角)坐标

3、，记作 a (x,y) 4平面向量的坐标运算 若a (x1,y1)，b (x2,y2)，则 a b (x1 x2,y1 y2)，a b (x1 x2,y1 y2)， a ( x, y) . 若 A( x1, y1 ) ， B(x2, y2) ，则 AB x2 x1,y2 y1 5 a b (b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6线段的定比分点及 P1， P2是直线 l 上的两点， P是 l 上不同于 P1， P2的任一点，存在实数 ， 使 P1P = PP2 ， 0(内分) 叫 做 点 P 分 P1P2 所 成 的 比 ， 有 三 种 情 况 ： (外分) 0 (-1)( 外分)0

4、 (-1 0) 7. 定比分点坐标公式： 若点 P（x1， y1） ， （x2，y2）， 为实数，且 P1P PP2 ，则点 P 的坐标为 8. x1x2 y1 y2 11 我们称 为点 P 分 P1P2 所成的比 . 点 P 的位置与 的范围的关系： 当 时， P1P与 PP2 同向共线，这时称点 P 为P1P2的内分点 . 当 （1）时， P1P与PP2 反向共线，这时称点 P 为 P1P2 的外分点 . 9.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点 O，设OP1 ， OP2 a b 1 可得 OP = ab 1 a b. 1 1 1 10力做的功： W = |F|s|cos ，

5、 是F 与 s的夹角 . 二、讲解新课： 1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与，作 OA，OB ，则 （ ）叫与的 夹角 . 说明：（ 1）当 时， 与同向； 2）当 时， 与反向； 3）当 时， 与 垂直，记 ； 2 .范围 0 180 4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 C 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos 叫与的数量积，记作 a b，即有 ab= |a|b|cos ， （ ） .并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符号所决定 . 探究：两个向

6、量的数量积与向量同实数积有很大区别 （2）两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两 个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“”代替 . 且 a b=0 ，不能推出 （3）在实数中，若 a 0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a 0， b=0.因为其中 cos 有可能为 0. 4)已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bca=c .但是 ab = bc a = c 如右图： ab = |a|b|cos = |b|OA|，b c = |b|c|cos = |b|OA| a b = bc

7、 但 a c (5)在实数中，有 (ab)c = a(b c)，但是 (ab)c a(bc) 显然， 线. 这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a 共线的向量， 而一般 a 与 c 不共 的概念：作图 定义： |b|cos 叫做向量 b在 a 方向上的投影 . 投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为 直角时投影为 0；当 = 0 时投影为 |b|；当 = 180 时投影为 |b|. 4向量的数量积的几何意义： 数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . 5两个向量的数量积的性质： 设 a、 b为两个非

8、零向量， e是与 b 同向的单位向量 . 1 ea = ae =|a|cos 3 当a与 b同向时，a b = |a|b|；当 a与 b反向时，a b = |a|b|. 特别的 aa = |a|2或 |a| a a 4 cos = a b |a |b| 三、讲解范例： 例 1 已知|a|=5， |b|=4， a与 b的夹角 =120o，求 ab. 例 2 已知|a|=6， |b|=4， a与 b的夹角为 60o求(a+2b) (a-3b). 例 3 已知 |a|=3， |b|=4， 且 a 与 b 不共线， k 为何值时，向量 例 4 判断正误，并简要说明理由 . a+kb 与 a-kb 互相

9、垂直 . BA ； 00； 0； 0 AB 5 |a b| |a|b| ；若 0， 则 与 中至少有一个为 ， 都有（ ）（ ）； 与是两个单位向量，则 则对任一非零 有 ； ， 0；对任意向量 ， . 解：上述 8 个命题中只有正确； 对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0；对于： 应有 0； ，这里 对于：由数量积定义有 cos 是与的夹角，只有 或 时，才有 ； 对于： 若非零向量 、垂直，有 ； 对于： 由 可知 可以都非零； 对于： 共线，记 . 则 （ ） （ ） （ ）， （ ） （）（ ） （ ） 若与 不共线， 则 （）（ ） 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的

10、定义、 ， 与 的夹角是 60时，分 例 6 已知 ， ，当 ， 别求 . 解：当 时，若 与 同向，则它们的夹角 cos0 36118； 若 与反向，则它们的夹角 180， 当 时，它们的夹角 90， ； 当 与 的夹角是 60时，有 1 cos60 36 9 2 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是 时，有 0或 180两种可能 . 0，180，因此，当 四、课堂练习： 1.已知 |a|=1， |b|= 2 ，且 (a-b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是( A.60 B.30 C.135 D. cos18036(-1) 18； 2.已知 |a|=2， |b|=1，a 与

11、 b之间的夹角为，那么向量 m=a-4b 的模为( ) 3 A.2 B.2 3 C.6 D.12 3.已知 a、b 是非零向量，则 |a|=|b|是 (a+b) 与(a-b)垂直的() A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量 a、b 的夹角为 ，|a|=2，|b|=1，则 |a+b| |a-b|= 3 5. 已知 a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x轴、 y轴正方向上的单位向量， 那么 ab=. 6. 已知 ab、c与 a、b的夹角均为 60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c) 7.已知|a|=1，|b|= 2，(1)若 a