正弦定理和余弦定理专题与解析

1、正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1. 正弦、余弦定理在 ABC 中，若角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b ，c，R 为ABC 外接圆半径，则定正弦定理余弦定理理a 2 b2 c2 2bc cos A；公abc2Rb 2 c2 a2 2ca cos B ；sin A式sinB sinCc 2 a2 b 2 2ab cos C(1)a2Rsin A ，b 2RsinB ，c 2Rsin C；b 2 c2 a2cos A；常abc2 bc见(2)sin A2 R，sin B 2R， sin C2 R；c2 a2 b 2cos B ；变

2、(3)ab c sin AsinB sin C ；2ac形(4)asin B bsin A，bsinCcsin B ，asina 2b 2c2cos C2abCcsin A111abc12. S ABC 2 ab sin C2 bc sin A2 ac sin B 4R 2 (a b c)r(r 是三角形切圆的半径 )，并可由此计算 R， r .3. 在 ABC 中，已知 a ，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a bsin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解诊断自测1. 判断正误 (在括号打 “” 或 “” )(1)三角形中三边之比等于相应的三

3、个角之比.()(2)在ABC 中，若 sin Asin B ，则 AB .()(3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当 b2 c2 a2 0 时， ABC 为锐角三角形；当b 2 c2 a2 0 时， ABC为直角三角形；当b 2 c2 a20 时，三角形 ABC 不一定为锐角三角形 .答案(1)(2) (3)(4)(5) 2.(2016 全国 卷) ABC 的角 A，B ，C 的对边分别为 a， b， c .已知 a5 ，2c2 ，cos A3，则 b ()A.2B.3C.2D.3解析由余弦定理，得 5 b 22 22b 12 b 2 ，解得 b 3舍去 ，故

4、33选 D.答案Db3.(2017 预测 )在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若3cos BaA，则 cos B () sin1133A. B.C. D.2222sin Bsin A解析由正弦定理知3cosB sin A1 ，即 tanB 3 ，由 B (0 ，)，所 1以 B ，所以 cos B cos ，故选 B.332答案B4.在ABC中，A 60 ，AB 2 ，且 ABC的面积为32，则BC的长为 ()3A. 2B. 3C.2 3D.21133解析因为 S2AB ACsin A22 2AC 2 ，所以 AC 1，所以 BC 2 AB 2 AC 2 2 AB

5、AC cos 60 3 ，所以 BC3.答案B5. 在 ABC 中， acos Abcos B ，则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理，得sin Acos A sin Bcos B ，即 sin 2 Asin 2 B ，所以 2A 2B 或 2A 2 B ，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例 1 】 (1) 在ABC 中，已知 a 2 ，b 6， A45 ，则满足条件的三角形有()A.1 个B.2 个C.0 个D. 无法确定(2)(2016 卷)在ABC 中，若 AB 13 ，BC 3 ，C 120 ，则

6、 AC ()A.1B.2C.3D.4(3)(2015 卷)设ABC 的角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，若 a 3，sin B1 2， C6 ，则 b _.2解析(1)b sin A63 ， bsin Aab .2满足条件的三角形有2 个.(2)在ABC 中，设 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c. 则由 c2 a 2 b 2 2ab cos C，得 13 9 b 2 3b ，即 b 2 3b 4 0 ，解得 b 1 ，因此 AC 1.15 (3)因为 sin B 且 B (0，)，所以 B 或B .2662又 C ，B C0 ， sin A1 ，即 A2 .答案B【迁移

7、探究 1 】 将本例条件变为 “若 2sin Acos B sin C”，那么 ABC 一定是 ()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形解析法一由已知得 2sinAcos B sinCsin( A B)sinAcos B cosAsin B，即 sin( AB ) 0，因为AB 0) ，由余弦定理可得Ca 2 b2 c225 k 2 121 k 2 169 k 223cos2 5 11 k 2110 0，2ab又 C(0，)， C 2 ， ， ABC 为钝角三角形 .答案C【迁移探究 3 】将本例条件变为 “ 若 a 2 b2 c 2 ab ，且 2cos A

8、sin B sin C ”，试确定 ABC 的形状 .解法一利用边的关系来判断：sin Cc由正弦定理得 sin B b ，sin Cc由 2cos Asin B sin C，有 cos A 2sin B 2b .b2 c2 a2又由余弦定理得cos A，2bccb2 c 2 a2 2b 2bc，即 c2 b 2 c 2a 2 ，所以 a2 b 2 ，所以 a b .又 a2b 2 c2 ab . 2b 2 c 2b 2 ，所以 b 2 c2 ， b c， ab c . ABC 为等边三角形 .法二利用角的关系来判断： AB C180 ， sin C sin( AB)，又 2cos Asin

9、B sin C， 2cos Asin B sin Acos B cos Asin B ， sin( AB)0 ，又A 与 B 均为 ABC 的角，所以 AB.又由 a2 b 2 c2 ab ，a2 b 2 c2ab1由余弦定理，得cos C2ab2 ab 2 ，又 0C180 ，所以 C60 ， ABC 为等边三角形 .考点三和三角形面积有关的问题【例 3 】 (2016 全国 卷)ABC 的角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，已知 2cos C(acos B bcos A)c.33(1)求 C；(2) 若 c7 ， ABC 的面积为，求 ABC 的周长 .2解 (1)由已知及正弦

10、定理得， 2cos C(sin Acos B sin B cos A) sin C，2cos Csin( A B )sin C ，故 2sin Ccos C sin C .由 C(0 ，)知 sin C0 ，1可得 cos C，所以 C .23133(2)由已知， 2 ab sin C2，又 C3 ，所以 ab 6 ，由已知及余弦定理得， a2 b 2 2ab cos C 7 ，故 a 2 b 2 13 ，从而 (ab )225. 所以 ABC 的周长为 5 7.【训练 2】 (2017 日照模拟 )在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，满足 (2a b)cos Ccco

11、s B 0.(1)求角 C 的值；(2)若三边 a，b ，c 满足 ab 13 ，c7 ，求 ABC 的面积 .解 (1)根据正弦定理， (2 a b)cos Cccos B 0 可化为 (2sin A sin B )cos C sin Ccos B 0.整理得 2sinAcos C sin Bcos C sin Ccos B sin( B C)sin A.1 0A，sin A 0 ， cos C2 .又 0C，C3 .1(2)由(1) 知 cos C ，又 ab 13 ，c 7 ，2由余弦定理得c2 a2 b 22 ab cos C (ab)23ab 169 3ab 49 ，解得 ab 40

12、.11S ABCab sin C 40 sin10 3.223基础巩固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题31.(2017 模拟 )在ABC 中，AB 3 ，AC 1，B 30 ， ABC 的面积为，2则C()A.30 B.45 C.60 D.75 解析法一1 S ABC 2 AB AC sin A 32，13即 2 3 1 sin A 2 ， sin A1 ，由 A(0， 180 )， A90 ， C60 .故选 C.sin Bsin C1sin C法二由正弦定理，得AC AB，即 23，3sin C 2 ，又 C(0 ， 180 )， C60 或 C120 .当 C120 时， A3

13、0 ，33S ABC (舍去).而当 C60 时， A90 ，423S ABC ，符合条件，故 C 60 .故选 C.2答案C2. 在 ABC 中，角 A，B ，C 对应的边分别为 a，b ，c，若 A2，a 2 ，b 3233，则B等于()5 A. 3B. 65 C. 6或6D. 62 23解析 A 3 ， a 2， b 3，a b由正弦定理 sin A sin B 可得，23b33 1sin B asin A222.2 A 3 ， B6.答案D诊断在ABC2Ba ca，b ，c 分别为角 A，B ，C 的对边，3.(2017中，cos 2 2c ()则 ABC 的形状为 ()A. 等边三角

14、形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形解析因为 cos 2 Bac，22c所以 2cos 2Baca21 c1 ，所以 cos B c ，a2c 2 b 2a所以2ac c，所以 c2 a2 b2 .所以 ABC 为直角三角形 .答案B4. ABC 的角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，则 “ab ”是 “cos 2 A cos2B”的 ()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析因为在 ABC中， a b? sinA sinB? sin 2 A sin 2 B? 2sin 2A 2sin 2 B? 1 2

15、sin 2A 1 2sin 2B? cos2A cos 2 B .所以 “ a b” 是 “ cos2Acos 2 B ”的充分必要条件 .答案C5.(2016 卷)在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a，b ，c，已知 b c，a2 2b 2 (1 sin A)，则 A ()3C.A.B.4D.436b2 c 2 a22b 2 a2解析在 ABC 中，由 b c ，得 cos A 2bc2 b 2 ，又 a 22b 2 (1 sinA)，所以 cos Asin A ，即 tan A 1，又知 A(0 ，)，所以 A ，故选 C. 4答案C二、填空题6.(2015 卷)设 ABC

16、 的角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 a 2 ，cos C1 4 ，3sin A2sinB ，则 c_.解析由 3sinA2sin B 及正弦定理，得 3a2 b ，又 a 2 ，所以 b 3 ，故2221c a b 2ab cos C 4 9 2 2 3 16 ，所以 c 4.4答案47.(2017 九校联考 )在 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若角A， B， C 依次成等差数列，且 a 1 ，b 3，则 SABC _.解析因为角 A， B ，C 依次成等差数列，所以B 60 .由正弦定理，得1sin A3，解得 sin A1，因为 0

17、A180 ，所以 A30 或 150 (舍 sin 6021 3去 )，此时 C 90 ，所以 SABC 2 ab 2 .答案322 b8.(2016 卷)在 ABC 中， A 3 ， a3c，则 c _.解析在 ABC 中， a2 b 2 c2 2 bc cos A，2 将 A 3 ，a 3c 代入，1可得 (3 c)2 b 2 c2 2 bc 2 ，整理得 2c 2 b 2 bc . c 0，等式两边同时除以c2，b 2b得 2 c c ，b可解得1.c答案1三、解答题9.(2015 卷)在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a， b ，c. 已知 ABC1的面积为 315 ，

18、 b c2 ，cos A.4(1)求 a 和 sin C 的值；(2)求 cos 2 A6 的值 .115解 (1)在 ABC 中，由 cos A 4，可得 sin A 4 .1由 SABC 2bc sin A315 ，得 bc 24 ，又由 b c 2 ，解得 b 6 ，c4.由 a2 b 2 c2 2bc cos A，可得 a 8.ac15由 sin Asin C，得 sin C 8 .(2)cos 2A 6 cos 2 A cos6 sin 2 A sin631157 3(2cos 2A 1) 2sin A cos A.221610.(2015 全国 卷 )在 ABC 中，D 是 BC

19、上的点，AD 平分 BAC ，BD 2DC .sin B(1)求sin C；(2)若BAC 60 ，求 B.解 (1)由正弦定理得ADBDADDCsin B，.sin BADsinCsin CADsin BDC1因为 AD 平分 BAC ， BD 2 DC ，所以 sin CBD 2.(2)因为C180 (BAC B)，BAC 60 ，所以sin Csin( BACB )31cos B sin B .223由 (1)知 2sinB sin C ，所以 tan B ，3即B30 .能力提升题组(建议用时： 20 分钟 )11.(2017 调研 )在 ABC 中， sin 2 Asin 2 B s

20、in 2 C sinBsinC，则 A 的取值围是()A.0 ，B.，C.0，D.，6633解析由已知及正弦定理有a 2 b 2 c2 bc ，由余弦定理可知a2 b 2 c22 bc cos A，12222于是 b c 2bc cos Ab c bc ， cos A ，在 ABC 中， A(0 ，).由余弦函数的性质，得0 A .3答案C12. 在 ABC 中，三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c，若 S ABC 23 ，ab 6 ，acos B bcos A 2cos C ，则 c ()cA.27B.4C.23D.33acos B bcos AC，解析 2cosc由正弦定理，得 sin Acos B cos Asin B 2sin Ccos C， sin( AB)sin C2sin Ccos C，1由于 0 C ，sin C0 ， cos C 2， C 3 ，13 S ABC 2 3 2 ab sin C 4 ab ， ab 8 ，a2 ，a 4 ，又 ab 6 ，解得或c2 a 2b 2 2ab cos C4 16 8 12 ，b 4b 2 ， c 2 3，故选 C.答案C13.(2015 全国 卷 )在平面四边形 ABCD 中，A B