高等数学复习题(附答案)

1、()高等数学复习题1、已知函数f (x). 2 xarcta n(x2），则函数f （x）的定义域为（1,2），（1,3，1,2，（，2.2、已知函数f （x）的定义域为0,1，则函数 f (. 2x）的定义域为（，2，(1,2)，0，1,1,2.3、已知函数f (x)arcs in |x 1 |，则函数f（x）的定义域为1,1，（1,1，（0,2），0,2.4、 lim xsin（、选择题(x1不存在05、下列函数中为奇函数的是 loga(x 、X21)， COSX，2.6、F列函数中是相同函数的是 f(x) -,g(x)1xf(x)vx4 x3, g(x) f(x) x,g(x)G.x)2

2、f(x)2lg x ,g(x) 2lg x2，+9、7、sin3x limx 0 x1lim 1 2x xlimx 0arcsinxx1， 2,不存在.x10、limX11、limX22x2 2x 42 -x 3x102,不存在.12、2 xlimXe2，13、limXarctan xX不存在.14、e2，15、当 X0时，下列函数为无穷小量的是 sin x x2 sin11 In(x 1) 1 XXXX16、 当x0时，与tan 2x等价的无穷小量是() X，X，2X，X2.17、 下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是() ex, x ln x, x 1， ln x, x 0 ， ex,

3、x18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ln x,x 1， cos x,x 0，sing,x19、当x 0时，与sin2x等价的无穷小量是 X，X，2X，X2.20、点X 0是函数f(x)XX,X 0的ex 1,x0连续点可去间断点()第二类间断点第一类间断点，但不是可去间断点21、函数y f (x)由参数方程acostasint sint tantcott sect22、设 y e x,则dyxe xdx， e xdx， e dx,2 x23、设 y1e 则dy1 ex dx，1 e xdx ,x1ex dx ,x11 - e xdxx24、sin2 x,贝y dy2sin xco

4、sx 2cosxdx 2sin xdx sin 2xdx25、设函数f (x) |x | 则在x 0点处不连续,连续但左右导数均不存在,连续且可导,连续但不可导26、设函数f (x) cos | x | 则在x 0点处不连续,连续但左右导数均不存在,连续且可导,连续但不可导27、设函数f(x)f (x)在点x 0处可导不连续连续，但不可导可微28、设 f (x)x23x1,1,匕，则f(x)在x=1处1既可导又连续可导但不连续不连续也不可导连续但不可导29、函数 y sin x，贝Uy(12) cosx cosx sinxsin x30、曲线y 2x2 3x 26在点(3,1)处的切线的斜率k

5、3115031、设f (沧)存在，则lim 口h 02h)hf(Xo).() 2f(Xo)35、设函数f(x)在X。处具有二阶导数，且f (xo)o，f (Xo)o，则 f (Xo)为 f (xo) f (Xo h) 2 f (xo h)32设函数f(x) x3 , 则在x o是函数的驻点与极值点；不是驻点与极值点；极值点；驻点.33、设函数fX区间0,1满足罗尔定理的是( )2x x 0.5 f(x)| X0.5|, f(x) c cci f (x) sin( x), f (x) x2x 2 x 0.534、设函数f X在x0的f Xo0 ,则f X在x0( )一定取极大值 一定取极小值一定

6、不取极值极值情况不确定最小值极小值最大值极大值36、d F (x)dx() F (x)dx， F (x)， F(x)dx，.F (x)37、 设sinx是f (x)的一个原函数，则f (x)dx()sinx C cosx Csinx cosx C xsinx C2x38、dx()X2 arcsinx C， 1 x2 C， 2 1 x2 C，丄arcsinx2 C239、dx()1 X21 arctanx C，一 arctanx2 C， x2 C， ln(1 x2) C240、下列函数中，为 y 2(e2x e 2x)的原函数的是 .()2x2 x1 2x2x2x2x1 2x2x、 e e 一(

7、e e ) e e 一(e e )2 2141、 In 2 1In 2In 2b42、da a f (x)dx f(b) f (a)f (a) f(b )43、dx ：xsinxdxxsin x 0b44、db a f (x)dx f(b) f(a),f(b ), f(a),0.二、填空题1、若f (x)的定义域为,0),则f (In x)的定义域为2、已知函数f (x) 1，则函数f(x)的定义域为9 x23、1若 f(-)x则 f(x)=4、已知函数f(x 1)2x 2x，则函数f(x)=5、已知函数f (cosx)sin2 x 2，则函数 f (x)=6、7、曲线y2x2 3x 26在点

8、(3,1)处的切线的斜率kf (x) x(x 1)(x 2),则 f ( 1)9、f (cosx), f (u)可导1 则 dye2xb x0设f(x)在x 0处可导，则asin ax, x 010、11、(n)f(x)在点Xo处可导且贝1 -3叫Hhh h3xox012、13、14、15、16、17、1819、20、21、22、23、24、25、26、27、2&29、30、31、32、33、12?曲线y = ex 2x在x=0处的切线方程为用微分作近似计算时，31.003 函数f (x) x2 2x 3在1,2上满足拉格朗日中值定理的函数y x . 1 x的极大值为已知函数f(x) asin

9、 x sin 2x在x-q处取得极值，则 a=若 f (x) dx xex c,则 f (x)=若 f (x)dx ex c,贝f (x) =已知e x是f(x)的一个原函数，贝U xf (x)dx :1卡 dx 。x 1In xdx 2x 3x 3xdx1x 2sin t dtxm00x3x(x)2sintdt,则(x)在0,2 上曲线y sinx与x轴所围成的图形的面积为 :11 ( xarcsi n x)dx ；若 f (t)dtsin(x2),贝Uf (x) :dx 0已知某物体作直线运动速度为v(t) 3t2，则物体在t=0到t=2时间段内的平均速度34、35、三、1、2、3、4、5

10、、6、7、89、10、11、12、13、14、1 x2 sin xcosxxm01cos xe tdt计算题 设x t 1,y 1t2 int,求理空t 2dx dx2x cost求曲线上对应t点处的切线方程和法线方程y sint4设 y xx(x 0),求 dy设 f (x)X1x2其中为常数a,b, f (2)存在，求a, b,f的值axbx2设方程 etsi nt,确定函数y y(x),求. y e costdx t 孑已知函数 ye3x cosx x ln x cos 求 y。已知函数 y(1 x ) arctan x xln x 求 y。已知函数 y今x, 1 x2 2 arcsin

11、x 求 y。计算由方程y2 x2 2y 1确定的隐函数y y(x)的二阶导数。确定函数f(x) 2x3 9x212x3的单调区间与极值。求函数y x2e x的极值.求积分xsin 3xdx。求积分dx.1 x求积分/ exsecxta nx、(2x2)dx.1 esec x 12求积分()dx x(1 x) 1 x15、16、17、1819、20、21、22、23、四、1、2、3、4、5、6、7、&求积分( x arcsin x)dx1 x2求积分2 x2dx求定积分4 x 2 dx.0 .2x 1求定积分sin3 x sin5 xdx.0求定积分04J sin2xdx.求定积分1oln(x

12、1)dx求定积分1 24xcos xdx0求定积分4*dx-x应用题与证明题由曲线yIn x, x0所围成的平面图形的面积 A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.求由曲线y x2与直线x1,x2,y0所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。抛物线y2x及直线y x2所围图形的面积求由曲线y2 x与直线y = x- 2所围成的平面图形的面积2计算曲线y x与直线x 1,y0所围成的平面图形绕 x轴旋转而成的立体体积。2计算曲线y x与直线y 1所围成的平面图形绕 y轴旋转而成的立体体积。、 1求曲线y 和直线y=4x，x=1，y=0围成的平面图形（曲线下方）的面积。x求由y sinx, x

13、0及x所围图形的面积以及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。9、 铁皮做成一个容积为V。的有盖圆柱形匣子，怎样做才能使所用铁皮最少10、某工厂生产某产品x个单位的总成本为 C(x)=5x+200(元)，总收入为R(x) 15x 0.01x2。问生产多少单位产品才能获得最大利润其最大利润为多少。11、12、13、证明：ln(1 x) x,(x 0)1 x求证：xf(sin x)dx ? q f (sin x)dx.。x 2arctanx 0的实根个数。求f(x) x 2arctanx的极值，并讨论方程14、 证明方程x2x 10在0,1内至少有一个实根。高等数学复习题参考答案一、选择题1-

14、10、 11-20、 21-30、 31-40、41-45、填空题2 2 21、(0,1)2、| x| (cos x-sin x)e11 、2,-1 12、(-2) n!13、y=3x+1 14、-1 15、16、1/2 17、5/4 18、1 19、0 20、21、ex(x+1 ) 22、ex 23、-xe-x- e-x +C 24、arctan x+C 25、xlnx-x+C26、ln| x2+3x+1|+C 27、1/3 28 、1 29、sinx 30、4 31、1232、2xcos( x)33、 4 34 、 0 35 、 2二、计算题1、解:dydx!t2 lnt,求3,写。2dx

15、 dx2d 2yt2dx21 t2cost上对应ty解：x cost% 2,ysint衬2 .dycostt -42t -42dxt -4sin t从而得切线方程为:y2-(x%2)或yx屈,2、sint设 y xx(x0),求 dy3、法线方程为：7点处的切线方程和法线方程求曲线1，t42 (x _?)或 y x.2 2解：在方程y两边同时取对数得In y x ln x同时对x求导得1dyy dxIn x 1 ,dyxxln x 1dx .4、设 f (x)解:a=4, b=_5,5、x设方程y6、已知函数解：yaxf (2)=42其中为常数2tetsi nt,确定函数e costet co

16、s t d sin t3 xea,b， f (2)存在，求a，y y(x),求衮b,f (2)的值sin tet cos tcost sin tsin t costdydx131.33 x cos xexlnx cos 求 y。cos xxlnx cos (e3x cosx) (xln x)e3xcosx(3x cos x)x(ln x) x In x3xecos x(3 sin x) 1 ln x7、已知函数 y (1x2)arctan x xln x 求 y。2(1 x ) arctan x x In x2解：y (1 x ) arctan x xln x11、f(1)2; x2为极小值点

17、，极大值x 1, f(2)1求函数yx2e x的极值.2(1 x ) arctan x (1x2)(arcta nx) x In x x(ln x)2x arctan x ln x8、已知函数 y 4 x, 1 x21 arcs inx求y。解：y (；x 1 x2 2 arcsi nx) G x ； 1 x2) (fares inx)22 x12x2111 x22 .1 x21 x29、计算由方程y22 x2y1确定的隐函数y y(x)的二阶导数。解：yy x y,yx,y2 2dy 1 y y x (1 y) x2y 123dx (1 y)2(1 y)3(1 y)10、确定函数f(x)2x

18、39x2 12x3的单调区间与极值。解:函数的定义域为(,)，f (x) 6x218x 126(x2)(x1),令f (x) 0,即解6(x 2)(x 1)0,得出它的两个根 x1 1,x22.x(,1)1(1,2)2(2,)f (x)+0一0+f(x)/21/即函数f (x)在 ,1和2, 上单调增加，在1,2上单调减少.x 1极大值点，极大值解：y xe x(2x),令y 0 x 0,x2,列表讨论:x(-,0)0(0, 2)2(2,+ )y+y极小/极大2 x=0为极小值点，极小值为f (0)=0 , x=2为极大值点，极大值为f(2) 4e12、求积分 xsi n3xdx。解： xsi

19、n 3xdxxd cos3x =3x1x1 .cos3x cos3xdx= cos3x sin3x c333913、求积分JXxdx.解：令, x 1t,则 x t21,dx 2tdt ,14、15、16、x求积分解:解:解:17、dt(.1xe2xex(1 e2xsecx tan x)dx12sec xsecxtan x)dx12sec xxde2x.1 ed secx2sec x求积分（_vx（1(.x(1x)x)7)dxdh(1 x)求积分（x.arcs in1 x2(* x arcsin x)dx1 x2x一 dx x arcsin x1 x2求积分 .2 x2dx0令 x . 2 s

20、in t ,v2 x2dx02、2 2sin2t018求定积分4 x 2 dx.0 2x 1t) c 2(51 x) cdx2x esecxtan x ,. x arcs ine2)dx,x(1 x)x211dxxx)dxdx.1 x2xd arcs in、2 costdtdxarcta n( secx) C2x .2 dx1 x22arcta n x x arcta nx Carcs in xdxxarcsin x C02cOs2tdt 2。解：令2x4 X_2 dx0 .2x 113(t23)dt22T19、求定积分,sin3 x0sin5 xdx.、sin3x sin5xdxsin 3x

21、(1sin2x)dx3sin xcosxdx.3sin 2 xd(sin x)3sin 2 xd(sin x)20、求定积分0“sin 2xdx.解:J sin2xdx04(cossin x)dx(si nxcosx)21、求定积分1 20|n(x1)dx1 2解：In (x0 1)dx2x ln(x1 1 21)|00xdl n(x 1)ln 21 2x：dxx了 v 1.020122、求定积分4x cos xdx0解:1 24xcos xdx 012x023、求定积分dx解:原式四、应用题与证明题1In 22x 2 arctanx |0(1 cos2x)dx12xdx0In 2212xco

22、s2xdx0x2 |00.51xd sin 2x 10xs in 2x |01sin 2xdx0sin 20.5cos222 dt 202丄dt0 1 t2t |0 2ln(1t)|0 = 4 2ln31、由曲线y In x,x e与y 0所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.解：A=：l n xdx xlnx：:dx 1 ；V= ；y1 2 / 2dx；ln2 xdxxln2x： 2；ln xdx e 22、求由曲线y x2与直线x 1,x2,y0所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。解：2 2.2 a 31V i y dx 1 x dx 53、抛物线y x2及直

23、线y x 2所围图形的面积.解：y x2及y x 2得交点坐标（-1,1）,（2,4）,面积A =21(x 2x2)dx2x4、求由曲线2yx与直线y =x -2所围成的平面图形的面积解:解方程组2yx得，X11x24yx 2y11y22取y为积分变量得积分区间为-1，2dA(y2 y)dy ,A21(y 229y )dy 22315、计算曲线y x2与直线x 1,y 0所围成的平面图形绕 x轴旋转而成的立体体积。解：以x为积分变量，则体积微元dV xy 4xdx积分区间为0,114x dx0解：解方程组:6、计算曲线y x2与直线y 1所围成的平面图形绕 y轴旋转而成的立体体积。解：以y为积分变量，则体积微元dVydy积分区间为0,1V1ydy 0 2、 17、求曲线y 和直线y=4x，x=1，y=0围成的平面图形（曲线下方）的面积。x1i 1S f (sin t)dt tf (sint)dtf (sint)dtI 0 0 04xdx 1 dx02x2x21 1ln x |2 In 2-22求由ysi nx, x所围图形的面积以及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解:0 sin xdxsin2 xdx 0 29、铁皮做成一个容积为V。的有盖圆柱形匣子，怎样做才能使所用铁皮最少解：设圆柱形匣子底半径为r,高为h,