高等代数(北大版)第5章习题参考答案

1、第五章二次型1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1) 4xiX2 2x1X3 2x2X3 ；2)X； 2x2 2x2 4x2x3 4x3 ；3)x； 3x2 2x；x2 2x；x3 6x2x3 ；4) 8x；x4 2x3x4 2x2x3 8x2x4 ；5) X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4 ；2x4 4x1x2 4x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 ；6) x； 2x|X42x1x22x2x3 2x3x解 1 )已知 f x1 , x2 , x34x-| x22X1X32X2X3 ,y2Z2先作非退化线性替换X1y1y2X2y1

2、y2(1)X3y3f X1, X2, X34y1224y24 y1 y34y；2y32y1Y32y34y；,再作非退化线性替换y111Z111Z3y3Z3则原二次型的标准形为于是相应的替换矩阵为且有2 ）已知f由配方法可得于是可令X1,X2,X32Z14z；1），可得非退化线性替换为11X1Z1Z2Z32211X22Z1Z22ZX3Z3最后将（2）代入（2Z3，2121TATX1,X2,X3f X1, X2, X3则原二次型的标准形为且非退化线性替换为(3)X12X12X1y1y2y32x1x22x1x2X2X1X2X3X2X22x3，4X2X32x32，4X2X34X32y1人，X2 , X

3、3X1y1y2 2y3X2y22y3X3y3相应的替换矩阵为1 1 2T 0120 0 1且有100110112TAT1101220122210240012X1100010。000(3)已知 f x1, x2 ,x32x1x22X1X36X2X3,由配方法可得X1,X2,X3x22x-|X22X1X32X2X3224X2 4X2X3X32X1 X2X32x22X3,于是可令y1 X1 X2 X3y 2x2 X3，y3 X3则原二次型的标准形为2 2 f X1,X2,X3y1 y2，且非退化线性替换为13x y1 尹2 2y311X2 尹尹3，X3y3相应的替换矩阵为且有11TAT0 13223

4、1 132 2 1111110030010。0010001 0 0 1 1y3Z2Z3y4Z4(4)已知 f X1, X2, X3, X48X1X2先作非退化线性替换X1y1y4X2y2X3y3，X4y42x3X4 2x2X3 8x2X4,则fX!，X2，X3，X48Y1Y48y22丫3丫4 2丫2丫32y42y4y1y21S3y1y2y318y32y2y312y218y3y4y1y214y32y23,再作非退化线性替换y1乙yZ2Z32210013 一 415-41 1120o 1532 Z153f X1.X2.X3.X48 z28Z2訐Z4Z2Z3442z；2zf，再令53w1z14X2X

5、34w2z2W3Z3153w4;Z1Z2- Z3Z4288则原二次型的标准形为fX1.X2.X3.X42w；2w；2w|8w：，且非退化线性替换为153X1w1w2W3w4244X2w2W3X3w2W31X4W1W42相应的替换矩阵为(5)已知 f Xi,X2,X3,X42000020000200008oX1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4 , 先作非退化线性替换f Xi,X2,X3,X42yiy2再作非退化线性替换则原二次型的标准形为f Xi, X2, X3且非退化线性替换为相应的替换矩阵为Xi2yiy2X2y2X3y3X4y42y22yiy32y2 y3yiy2y3y4y3Zi

6、yiZ2yiy2y3y4Z3y3i尹4Z4y4yiZiy2ZiZ2Z31Z42y3Z312 Z4y4Z4X42Zi2Z22Z33 2；Z42尹XiZiZ2X2ZiZ2X3i Z3Z4Z3Z3i2Z412Z4，2yiy4 2y?y4 河423 22y4yi，4X4Z4111121T1112 ，100120001且有10000100TAT0010 c000（6）已知 f x-i , x2 , x3, x42Xi2x；2X44x1x2 4x1x3 2x1x42X2X3 2X2X4 2X3X4,由配方法可得2f Xi, X2 , X3 , X4Xi2x1 2x22X3X42x2 2x32X42x22X

7、3X42 2x|x：2X2X32x2x42X3X42 亠3121Xi2x2 2x3x42X2X3X4X3X42 22于是可令yiXi2x22X3X431y2X2X3X422 ，y3X3X4y4X4则原二次型的标准形为2 21 2f yi2y - y3,2且非退化线性替换为xiyi 2yy3yX2y2尹X3y3y4X4y4y4故替换矩阵为1321且有100 0020 0TAT001 。 -02000 0(7)已知 f X-i , X2 , X3, X42X12X22 2X3X42XtX2 2x2x32X3 X4，由配方法可得 2f X1, X2, X3, X4X22X2X1X3X122X32X1

8、X3 2X3X4 X4X1X2X32c2X1X3x3 2X3X4 x：2X3X1X2X32X3X42 2x1 X3 xf2 2X1X12222X1X1X2X3X3X4X1X3于是可令y1X1y2X1X2X3y3X3X4y4X1X3则原二次型的标准形为r2222f y1y2y2y4，且非退化线性替换为XiyiX2X3X4y2 y4yiy4yiy3y4相应的替换矩阵为i000T0i0ii00ii0ii且有i000TAT0i00000i0000i(n)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解1)已求得二次型f x1, x2, x34x1x2 2x1x3

9、2x2x3的标准形为f4y； 3y2 ,且非退化线性替换为iiXiyiy2y322iiX2尹y2y3，X3y3(1) 在实数域上，若作非退化线性替换yiZ3y3ziy212 Z2可得二次型的规范形为2 2 2Z1z2z3。(2) 在复数域上，若作非退化线性替换yiiZiy212 Z2 ?y3Zi可得二次型的规范形为2 2 Z2Z3。2 )已求得二次型Xi, X2 , X3x； 2x1x2 2x2 4x2x3 4x；的标准形为且非退化线性替换为Xi yi y2 2y3X2 y2 2y3X3 y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形f2 yi2 y2。3 )已求得二

10、次型f Xi,X2,X32xi3x| 2x_jX2 2x_jX3 6x2x3的标准形为22fyiy2，且非退化线性替换为i3Xiyi 2y22y3iiX2y2y322X3y3（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2 2f yi y2。（2）在复数域上，若作非退化线性替换yi ziy2 iz2。y3 Z3可得二次型的规范形为2 2T ZiZ2。（3）已求得二次型T Xi,X2,X3,X48x1x22x3X42x2 X38x2x4的标准形为T2yf 2y； 2y； 8y：，且非退化线性替换为XiX2X3i53yiy2y3 y4244y2y3y2 y3iX4尹1 y4（i）

11、 在实数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为yi2Z41y22Z2ya12Zay412、2Zz2 z2z2z2。(2)在复数域上，若作非退化线性替换yiy2yay4可得二次型的规范形为f Zi2(5)已求得二次型f Xi,X2,Xa,X4的标准形为2223 2fyiy2 ya 一旳4，4且非退化线性替换为1Xi yi y2 ya ? w1X2yi y2 ya ? wiXa yay4i2Zii2Z2i2Za2Z22ZaXi X2XiXaXiX4X2XaX2X4X3X4X4y4(1) 在实数域上，若作非退化线性替换y1Z2y2乙y3Z3y423可得二次型的规范形为2 2Z1 Z22Z32Z

12、4。(2) 在复数域上，若作非退化线性替换yi izi y2 Z2y3 iz3 2 .y4 iZ4V3可得二次型的规范形为zi2z2z24 o6)已求得二次型f X1,X2,X3,X424nx2 4x1x32x1x42x2x3 2x2x4 2x3x4的标准形为f2y12y；1 22y3，且非退化线性替换为X1y12 y2y3 y4X2y23尹y4oX3y3y4X4y4X12x|2X4(1)在实数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为yiZ21y22Zy32ziy4Z42 2 2Z1z2z3。yiiziy2i2Z2?y32Z3讨4Z4可得二次型的规范形为f222ZiZ2Z3。7)已求得二次

13、型f Xi,X2,X3,X42Xi2x|X22X2X32x2x4的标准形为f222 2yiy2y2y4且非退化线性替换为XiyiX2y2y4X3yiy4X4yiy4(2)在复数域上，若作非退化线性替换2x3X44x1 x2 4x1x3 2x1x4(1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2 2 2 2yiy2y2y4。(2) 在复数域上，若作非退化线性替换y1 z1可得二次型的规范形为2 证明：秩等于 r证 由题设知 且 D 为对角阵，又因为 其中d10D10于是ACC因ranky2 z2 ，y3 z3y4 iz42222f z1 z2 z3 z4 。的对称矩阵可以表成

14、r 个秩等于 1 的对称矩阵之和。A A 且 rank ( A) r ，于是存在可逆矩阵 C 使CAC D ，1 1 1C,C , C C 均为可逆矩阵，所以有C AC D1 D2Dr ，,D2d20,Dr0dr0D1 D2Dr CD1CC 1 D2CC 1 Dr CC 1 DiC 1 1 i 1,2, ,r ，C 1 DiC 1C 1 Di C 1 CDiC 1 。即 C 1 DiC 1 都是对称矩阵，A 可表成 r 个秩为的对称矩阵之和。3证明：i1i2in合同，其中 i1i2in 是1,2,n 的一个排列。证 题中两个矩阵分别设为A,B ，与它们相应的二次型分别为1x12x2，nn2i1

15、 y122i2 y222in yn ，作非退化的线性替换ytxit1,2,n ，则fB可化成fA。故A与B合同。设A是一个n阶矩阵，证明:A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量 X ，有 XAX 0 。如果 A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量 X 有 X AX0，那么 A 0 。1 )必要性。因为A，即 aii0,aija ji ij ，所以由于aijXAXaij xi xji,jaijaji xi xjijaji 0 ，故X AXaij ijaji xix j0。充分性。因为X Rn ，有 XAX0，即a11x1a12 a21 x1x2x1nan1 x1xna22a2n an2 x2x

16、n2annxn20 ，这说明原式是一个多元零多项式，故有a11 a22ann0,aij a ji i j ，即AA。2 )由于A是对称的，且XAX 0 ，即2 a11 x12a12 x1x22a1n x1xn a22 x22a2n x2 xn2ann xn0 ，这说明XAX 为一个多元零多项式，故有a11a22ann0，2aij0aija ji0，即 A 0 。5如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类解 实对称矩阵 A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵 T与C使d1d2T BT C ACd rD 。00面考虑对角矩阵 D 的相应二次型的合同分类

17、情况，在di i 1,2, ,r 中可分为r 个 正，0 个 负r 1 个 正，1 个 负2 个 正，r 2 个 负1 个 正，r 1 个负0 个 正，r个 负共计 r 1个合同类。但秩 r 又可分别取 n,n 1,2,1,0 ，故共有1 2 3n 1 n 2n n 12个合同类。6 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条,XnanXnb1x1bn Xn ，件是：它的秩等于 2且符号差等于0,或者秩等于1。证必要性。设其中ai,bi i 1,2, ,n均为实数。1)若上式右边的两个一次式系数成比例，即bikaii 1,2, , n不失一般性，可设a10，则可作

18、非退化线性替换y1a1 X1yixa2x22,anXn,n使二次型化为f X!,X2,Xnky：，故二次型f x1 ,x2,Xn的秩为1。2)若两个一次式系数不成比例，不妨设a1b1a92，则可作非退化线性替换b2Y1a1x1a2X2anXny2b1x1b2x2bnXn，yiXii3,n使f X1, X2,xnyy。再令y1Z1Z2y2Z1Z2yiZii3,n则二次型可化为22f Xi,X2,Xnyiy2ziz2 ，故二次型 f X1,X2, ,Xn 的秩为 2，且符号差为 0。充分性。 1 )若 f Xi,X2,Xn 的秩为i,则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为f Xi,X2, ,X

19、nkyi2，其中yi为xi, X2,Xn 的一次齐次式，即yiaiXia2X2an Xn ,且f Xi,X2,Xnk aiXi a2X22anXnkaiXi ka2X2kanXn aiXi a2X2an Xn 。2)若 f Xi,X2 ,Xn 的秩为 2，且符号差为0,则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为f Xi,X2 ,22,Xnyi y2yi y2yiy2aiXia2 X2anXn biXi b2X2bnXn ,故 f Xi,X2,xn 可表成两个一次齐次式的乘积。7判断下列二次型是否正定：2 2 21) 99X12 12X1X248X1X3 130X2260X2X3 71X32 ；

20、2) 10X12 8X1X2 24X1X3 2X22 28X2X3 X32；n3) Xi2Xi X j ；i 1 1 i j nn4)Xi2i1n1Xi Xi 1 。i1解 1 )二次型的矩阵为99624A613030 ，243071因为9961990,261300,3 A 0，故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为10412A 4214 ,12141因为A 0 ,所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为A aj nn，其中1, iaj 1.2，i112112A112211221122112211 ，2112由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且k 1,2,

21、,n ,故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为 A ay，则A的k级顺序主子式为Ak故原二次型为正定二次型。8. t取什么值时，下列二次型是正定的:1) x；x；5x；2tx1x22x1 X34X2X3xf2tx1x210x1 x3 6x2x3解1 ）二次型的矩阵为1 t 1A t 121 25因为A的各阶顺序主子式为当原二次型为正定时，有t25t24t0。4解上面不等式组，可得-52）二次型的矩阵为当A的所有顺序主子式都大于零时,t20,t230t1050 ,由原二次型为正定得但此不等式组无解,9 .证明：如果t2 t230t105即不存在 t值使原二次型为正定。A是正定矩阵，那么 A

22、的主子式全大于零。所谓主子式,就是行指标与列指标相同的子式。证设正定矩阵Aaijn，作正定二次型n naijxixj ,并令i 1 j 1Xjjk1, k2,kjK k2ki,则可得新二次型kikia x Xj,i k, j k.由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式A0 i 1,2, ,n。10 设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tE A是正定矩阵。证t a1a2a1ntE Aa21ta22a2nan1an2tann它的k级顺序主子式为匕的k级顺丿序主子式为t a1a2a1kk ta?1 t a 22a2kak1ak2takk当t充分大时，kt为严格主对角占优矩

23、阵的行列式，且t aHaj i 1,2, ,n ,j i故k t 0 k 1,2, ,n，从而tE A是正定的。11 证明：如果 A是正定矩阵，那么 A 1也是正定矩阵。证 因A是正定矩阵，故 X AX为正定二次型，作非退化线性替换X A 1Y，又A也是对称矩阵，故YA 1Y YA1 AA 1Y X AX 0 ,从而YA 1Y为正定二次型，即证 A 1为正定矩阵。12 设A为一个n级实对称矩阵，且 A 0，证明：必存在实 n维向量X 0，使XAX 0 。证 因为A 0，于是A 0 ,所以rank An，且A不是正定矩阵。故必存在非220, yp 1 yp 2yn 1,则可得一线性方程组退化线性

24、替换X C 1Y使X AX Y C 1 ACY YBY2 2y1y22ypyp 1yp 2yn ,且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z C 1y 中，令 y y2ypC1 XC12 X2GnXn0Cp1X1Cp2X2C pn Xn0Cp 1,1X1Cp 1,2X2Cp1,n Xn1Cn1 X1Cn2X2CnnXn1由于C 0，故可得唯一组非零解 Xs x1s,x2s, ,xns使XsAXs 0 00 111 n p 0 ,即证存在X 0，使XAX 0。13 如果 代B都是n阶正定矩阵，证明： A B也是正定矩阵。证 因为A,B为正定矩阵，所以 X AX, X BX为正定二次型，且XAX

25、 0，XBX 0，因此X A B X X AX X BX 0，于是X A B X必为正定二次型，从而 A B为正定矩阵。14 证明：二次型f XX2, ,Xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证 必要性。采用反证法。若正惯性指数p 秩r，则p r。即2 2 2 2 2f X1,X2, , Xnyy2ypyp 1yr，若令y1 y2yp 0，yp 1yr 1，则可得非零解X1,X2, ,Xn 使 f X1, X2,Xn0。这与所给条件f X1,X2, X0矛盾，故p r。充分性。由p r，知222f X1, X2 , ,Xny1y2yp.故有fx2, , xn 0，即证二次型半正定

26、。15 证明：n2nxii1nxii12是半正定的。n2nxii12 nxii1可见：2x121)2)2n x12x22xn2x222xn22x1x22x1xn2x2 x32x2xn2xn 1xnn12x2xnx12ij故原二次型2x12x22xn2x1x22x1xn 2x2x32x1x22xn 1 xn)x12 2x1x3xn 1 2xn 1xnxn22xix j 。nx1,x2 ,xn 不全相等时f x1,x2 ,x1x2f x1,x2 ,xnXn时,xnf x1 ,x2,xn16 设 f x1,x2,xX1 AX是半正定的。xinxinxjxj0。0。X AX 是一实二次型，若有实 n

27、维向量Xi,X2 使0，X 2AX 20 。证明：必存在实n维向量X00使XoAXo0。设 A 的秩为 r ，作非退化线性替换 XCY 将原二次型化为标准型2X AX d1y12d 2y2dryr2，其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量Xi,X2 使X1AX10X2AX 20，故标准型中的系数 d1, ,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1, q个-1 ,且p q r，即2X AX y1222y p yp 12y p q ，这时 p 与 q 存在三种可能：p q，p q，pq面仅讨论 p q 的情形，其他类似可证。令 y1yq 1，yq 1yp 0 ，yp 1则由 Z CY

28、 可求得非零向量 X 0使X0 AX0 y12yp2 yp2 1y2p q 0，即证。17 A 是一个实矩阵，证明：rank A A rank A 。0 为同解方程组，故只要证 由于 rank A rank A A 的充分条件是 AX 0 与 A AX 证明 AX 0与 A AX 0同解即可。事实上AX 0 AAX 0 X AAXAX AX 0 AX 0 ，即证 AX 0与 A AX 0同解，故rank A A rank A 。2 题的证明，此处略。注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第一、 补充题参考解答1 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x

29、2n x2x2n1 x2x2n 1xnxn 1；2) x1 x 2 x2 x3xn 1 x n ；3) xi2XjXj ；i 11 i j nn2XiX2Xn4) XiX ，其中 Xi in解1 )作非退化线性替换X1y1y2nX2y2y2n 1Xnynyn 1Xn 1ynyn 1X2n 1y2畑X2ny1y2n即X TY，则原二次型的标准形为f yf2y22 2yn y 12 2 y2n 1y2n，且替换矩阵1001011 110T1 101101001使T AT111其中且当2) 若Yi 1YnX1X2X2X312121212X11X2X3XY2222Y1Y2Y1Y2 Y1Y2三变换x1x

30、2X2X3 ,xiX:i 1:i 22Xi 1Xi 2iyi2n为奇数时,Yi2XnXn 1Xn2Y12Y22Y31 X2X31,3,5,n4k 1时，得非退化替换矩阵为当n 4k 3时，得非退化替换矩阵为2Y42 2 Yn 2Yn 1 ,111 11 11111 10 00001 1111T1 1000 ，1101故当n为奇数时，都有1111TAT1。10当n为偶数时，作非退化线性替换XiXi 1Xj 2i2XXi 1Xi 2yi 12i 1,3,5, ,n 3，Xn 1Xnyn 12Xn 1 Xnyn2则22 2 2 2 2x1 x2x2x3Xn 1XnY1y2 y3y4yn 1 yn于是

31、当n 4k时，得非退化替换矩阵为于是当n 4k 2时,得非退化替换矩阵为11 111111 00001111T1100 ，42故当n为偶数时，都有T AT3）由配方法可得X1XjX2Xj3n2n 1Xn1 Xn n于是可令inyixiy2X22j3jXjXj1yn 1 xn i xnnyn xn则非退化的线性替换为Xiyiy2i3y3iik1 Jx y23 y3yn1-ynn1Xn 1 yn 1 一 Yn nXnyn且原二次型的标准形为yn 122n yn相应的替换矩阵为又因为所以4）令TAT1 12 21 12 212121121212121y1X1 xy2X2xyn 1 Xn 1 xynX

32、nnX 2y1Yii 2nX2 Y1 2y2Yii 3n 2Xn 1Yii 1XnYn2yn 1 Yn由于nn1-X-X1nXI2y1 1n i2 iy1 1n iyy2 iy1 1n i2iy1 1n i22 n厶diH n22Z23 - 423 2n 22Z1 Z2Zn 1 ,2n 1其中所作非退化的线性替换为11y1Z12 Z23乙311y2Z2Z3Z434yn 1Zn1ynZn17 Zn 1 n 11n 1n 1111111023n11101110113n110010n121010001000001故非退化的替换矩阵为2 1 11 2 11 1 2 T1 1 10 0 02 0 00

33、1又X1Xn2 X2XXixx1X, x2X,XnXi 1XnXn 11nn1n 1X1, X2,Xxnn11nnn 11nn1n 1X1, X2,Xxnn11nnZAZ ,所以2 0 0030 -0024TAT0 0-030 0 0nn10 0 000 0 00 1000002.设实二次型1n 111nnnnX111n 11X2nnnnn 111n 1Xnnnnn1nX11X2nn 1Xnns2,Xnai1X1ai2X2ain XnF面只需证明rank Ar即可。由于rank APAEr000Q 1 ,0Er0Q1 Q 1000BrCDMBrCEr0Br 0DM00。0 0r级顺序主子式Br

34、0，从而A A的秩为r。rank A，故存在非退化矩阵 P,Q使i 1证明：1F X1, X2, ,Xn的秩等于矩阵a11a12a1na?1A21a22a2nas1as2asn的秩。证 设rank A r，因f x1, x2 , Xn X A A X ,Er 0PAQ r或0 0从而Er PAAP r0令Q 1 Q 1则Er 0 PAAP r0 0由于Q1Q 1是正定的，因此它的即证 rank A rank A A 。3.设f X1,X2,I2I：其中 li i 1,2, p q 是 X1,X2,Xn的一次齐次式，证明:X1, X2, Xn的正惯性指数 p ，负惯性指数 q 。证 设 li bi1x1 bi2x2binxni 1,2, , p q ，f Xi,X2, ,X