高等数学B复习资料

1、华南理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导一、求函数值例题：1、 若 f(x) x2，(x) ex，则 f( (x) 2解：f( (x)f (ex)exe2x2、若 f(x 1) 2x 1，贝U f (x).解：令x 1 t，则x t 1所以 f(t) 2(t1) 1 2t 3即 f(x) 2x 3二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：x 0时,x sin x tanx arcsinx arctanx xln(1 x) ex-11 11 cosx x2 八 1 x 1 x2 2无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题:1、lim 吓x 0

2、x 解：当x 01-cosx二x2解：当 x 0,in3x 3x ,原式=Xm0竽027 X 022、lim 沁X 0 x解：原式=lim3xx 0 x3、lim1-C0Sxx 0x2原式=x叫xln(1 3x)4、limX 0 x解：当 x0, ln(1 + 3x)3x原式=.lim 3x 3.X 0 x2x5、lim ex 0 x解：当 x 0, e2x 12x原式=.lim 2x 2.X 0 x三、多项式之比的极限2 .xx 1lim 20，lim 2x 3x x x 3x x四、导数的几何意义(填空题)f (冷)：表示曲线y f (x)在点MdofCxJ)处的切线斜率曲线.y f(x)

3、.在点处的切线方程为：y f(X) f (x0)(x X。)曲线y f (X)在点M (x0, f (x0)处的法线方程为:例题:y f(x。)1f (Xo)(XXo)1、曲线y 在点M(2,3)的切线的斜率.4 x解:y|(4_x)(4_x)_(4_x)(4_x)(4 x)2(4x)22、曲线yC0SSX在点M(0,1)处的切线方程.e解:yixo(cosx)eX cosx(eX)x 2(e )-XXsin xe cosxe(ex)2所以曲线y甞在点M(0,1)处的切线方程为:e3、曲线y解:y 1 (x 0)，即 x y 1013丐在点M (1,1)处的切线方程.3 X1所以曲线y 在点M

4、 (1,1)处的切线方程为：Vx2y 1(x 1)，即 2x 3y 503五、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：y f(u),u g(x) y fg(x):乎乎乎dx du dx或 y (x) f (u) g (x).微分：dy f (x)dx例题：1、设y 、x21，则 y解：y1 11 x2 1 2 x2 1x2. x212、设 y sin x2，则 y解: y cosx2 x22xcosx23、设 y 2sinx，则 dy解：y 2sinxln2 sin x2sinx cosxln2则 dy 2sinx cosxln 2dx4、设 y sin ex，则 dyI解

5、：y cosex exexcosex所以 dy ex cosexdx2 25、 设 y e x，则 dy(答案：2xe x dx)六、运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求y xl nx的单调区间和极值.解：定义域x (0,)令y ln x 10,求出驻点x ex(0,e1)1 e(e1,)y-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0e1，单调递增区间为(e 1,)极小值为y()-.2、求y xe x的单调区间和极值.解：定义域x (,)令 y e x xex (1 x)e x 0，求出驻点 x 1x(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为1,),单调递

6、增区间为(，1)，极大值为y(1) e 4、求函数f(x)x3 x的极值.答案：极小值为y(1).23、求函数.f (x) e x .的单调区间和极值.解：定义域x (,)人x2令 f (x) 2xe ，得 x 0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间：(，0)，单调递减区间：(0,), 极大值为f (0)1 .23y y(x)的导y(x)的导数2极大值为y( 1)3七、隐函数求导例题：1、求由方程ex siny xy20所确定的隐函数数业.dx解：方程两边关于x求导，得：x e2cosy y (y 2xygy)0即y2xy ecosy 2xy2、求由方程y cos(x

7、 y)所确定的隐函数ydydx解：方程两边同时关于 x求导，得：y sin(x y)(1 y)sin(x y)1 sin(x y)3、求由方程ysin(xy)所确定的隐函数yy(x)的导数dy .答案：dycos(x y)dxdx 1cos(x y)4、求由方程xyIn xln y0所确定的隐函数y y(x)的导数dy .答案：dyydxdxx八、洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题:1sin x解：原式sin xlim x x 0 (e(ex 1)1)s in xlimx 0xsin x (ex20时,sinxx,ex 1 x2、求极限limx 0x sin xtan3 x解:

8、原式=iim斗器x 0 x31 cosx lim2= limx 03x20时，x 0 3x21 2cosx x2121、()是函数3x x3的原函数.A. 3x23 B. -x44C.x4D. -x4 -x242解：因为1 4 -x43 2 -x23x所以3x2是3x X3的原函数.22、() 是函数x cosx2的原函数.2 1 -2si nxC.sinx2A. 2sin x2B.D.1 2 sin x 2解：因为-si n x222 (cosx2)g2x2xcosx所以2沁2是COSX2的原函数.3、x 是（A.丄2x解：因为 x的原函数B 21；12 xC.In x所以是1 一的原函数.

9、2如2、x ,2 3x2dx4、() 是函数1的原函数.xD. In |x|11A. 2B.2C.In xxx1 解：因为In | x| x所以In |x|是1的原函数.x十、凑微分法求不定积分(或定积分)2x简单凑微分问题：edx，sin 4 xdx，cos5xdx, In xd In x般的凑微分问题：x .2 3x2dx ，In x , dxxsin x , dx， 1 cosx例题:解：注意到(1 X2)2x参考公式dxC解：注意到(2 3x2)6x原式=1 2 3x2 d (2 3x2)参考公式,xdx x C63=2-3x2)3 C9sin x 3、dx=e1 cosx原式=d(1

10、 cosx)参考公式1-dx In |x| C1cosxx=In |1cosx | C4、ecos5xdx xdx解：原式=e d(5 x)参考公式e dxex C解：注意到(1 cosx) sinx5 xC、1 、解：原式 cos5xd(5x)参考公式 cosxdx sinx C51 sin5x C56、si n3xdx解：原式 1 sin3 xd (3x)参考公式 sin xdx cosx C1 cos3x C3不定积分的第二类换元法一一去根号（或定积分）知识点：利用换元直接去掉根号： ex 1， 、ex 1， 、x，d x，J x 等 例题:1、求不定积分解：令V 1t，则 ex t2

11、1 xIn(t21)dx Jdtt2 1dt 2 匚 Jdtt2 1t2 1丄 dtdtt 1t 1In|t 1| ln|t 1| CIn |、ex 1 1| In | iex 11| C412、. dx 01+x解：令、x t，则 x t2(odt ox、x 1dx解：令 厂1 t，则 x t2 1, dx 2tdt当x 0时，t 1;当x 1时，t 迈原积分 1 (t2 1)t 2tdtdx 2tdt当x 0寸，t 0;当x 4时，t 2原式=0* 2tdt 2 02詈庆2 丄 dt)01+t22(2 ln|t 1|) 2(2 In 3)2(t4 t求不定积分 xe xdx)dt2 解 x

12、e xdx xde xt5 !t3 5341)十二、不定积分的分部积分法(或定积分)诸女口 xsin xdx , xcosxdx ,xexdx , xe xdx ,xln xdx，可采用分部积分法分部积分公式：u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)例题：1、求不定积分 xsinxdx .解 xsin xdx xd( cosx)xcosx ( cosx)dxxcosx cosxdxxcosx sinx Cxee xdxxxxe e C3、求不定积分 xln xdx1解 xln xdx In xd(x2)21 2设函数f(x)在a,b上连续, 2 .-x Inx-x d Inx2

13、2-x In x xdx2 2x In x x C 24十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：a 3 x21、定积分 x e dx等于a, , 2解：因为x3ex是x的奇函数，所以原式=0a 232、定积分 x sin xdx等于.a解：因为x2sin3x是x的奇函数，所以原式=02 3、定积分 x sinxdx等于1 x2十四、变上限积分函数求导解:2 因为x sin2x是x的奇函数，所以原式=01 x3、设 f (x)0 sint3dt，则 f (x) sin x3.(x)a变上限积分函数的导数公式(C)(x)g (x)F(x)解 F(x)f(x3)ax3j

14、= 3x2f (x3)例题:34xF(x) f (t)dt，则 F (x)a(C ).A. f(x)B. f(x3)C. 3x2f (x3)D. 3x2f (x)2、设 f (x)x21 arctantdt，则2f (x) 2xarctanx .十五、 凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似 例题：1、0 X2、X3 1dx解：注意到（x3 1） 3x2原式-1 . x3 1d(x33 01）参考公式、xdx2x33=9 1)3 9（応-）十六、 定积分的第二类换元法一一去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题:411、dx 01 + Jxt2 dx 2tdt解：令i x t

15、,当x0时,t 0；0 1+t 2tdt22dt01+t22 12( dtdt)001+t22(2 In |t 1|o)2(2 In 3)i 2、XT 1dx解：令、门 t，则 x t2 1, dx 2tdt当x 0时，t 1;当x 1时，t 迈2原积分 1 (t2 1)t 2tdt24221 (t t )dt2 -t5 -t3531 0-2 1)15十七、定积分的分部积分法(或不定积分)思想与不定积分类似例题：1、求定积分0解02 xsinxdx02xd( cosx)xcosx0 。气 cosx)dx2cosxdx0sin x|02、求定积分i解 0xe xdx1 xe xdx0ioxdexdxxxe(e10)2e 11十八、求平面图形面积知识点：X型积分区域的面积求法Y型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个 X型或Y型积分区域的面积求法例题：1、求由y Inx、x 0 , y In2及y In7所围成的圭封闭图形的面积.解：由y In x得x eyIn 7O)dy面积为S (eyIn 2Im7In22、计算由曲线y /x与直线y 1及x 0所围成的图形的面积.解：由y x得交点A为(1,1) y 11 _ 面积为S (1、x)dx013、求由曲线y 1与直线