圆锥曲线上四点共圆解决策略

1、圆锥曲线上四点共圆解决策略【摘要】圆锥曲线一直是高考的热点问题，本文针对圆锥曲线上的四点共圆问题提出两种解决策略，一是利用共 圆定理，二是利用曲线系【关键词】圆锥曲线；共圆；曲线系一、圆锥曲线上四点共圆定理若A , B, C, D为有心圆锥曲线 mx2+ny2=1 (m工n) 上四个不同的点，且直线 AB 与 CD 交于 E， AB 与 CD 倾斜 角分别为a , B ,贝U A , B , C, D共圆的充要条件是a + B = n .证明设 E( x0 , y0 ),贝直线 AB 参数方程为 x=x0+tcosa ,y=y0+tsin a (t 为参数),代入 mx2+ny2=1 , 并整

2、理得( mcos2a +nsin2a ) t2+2( mx0cos a +ny0sin a ) t+( mx20+ny20-1 ) =0,贝 EA?EB=|t1t2|=mx20+ny20-1mcos2 a +nsin2a , 同理得 EC?ED=mx20+ny20-1mcos2 B +nsin2B .因为 A,B,C,D 四点共圆的充要条件是 EA?EB=EC?ED ,所以 mcos2a +nsin2a =mcos2B +nsin2B ,即 m+(n-m) sin2a =m+(n-m) sin2B .因为 mz n,所以 sin2 a =sin2 B,又 a, B 0, n),所以 sina

3、=sinB .而直线AB与CD相交，所以aB,由 sin a =sin B a + B = n .综上所述， A， B， C， D 四点共圆的充要条件是 a +B = n,即AB与CD斜率互为相反数.二、圆锥曲线上四点共圆定理的应用例 1（2011年全国高考卷 2 理科第 21 题）已知 O 为坐 标原点, F 为椭圆 C：x2+y22=1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 -2 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, P-22, -1 关于 O的对称点为Q,求证：A , P, B, Q四点共圆.证明由P点坐标可知点P在椭 圆C 上，则点Q也在 椭圆C上.因为P,O,Q三点共线，

4、故得PQ的方程为y=2x , 又 AB 的方程为 y=-2x+1 ,两直线斜率互为相反数,即两直 线倾斜角互补,根据定理可知 A, P, B, Q 四点共圆 .例 2（2016 年高考四川卷文科第 20 题）已知椭圆 x24+y2=1 ,过原点 O 且斜率为 12 的直线 l 交椭圆于不同两 点A , B，线段AB中点为M,直线OM与椭圆交于C, D.求证： MA?MB=MC?MD.证明设直线 l 的方程为 y=12x+m ,代入椭圆方程整理得 x2+2mx+ （2m2-2）=0, ?txA+xB=-2m ,因为 M 为线段 AB 的中点,所以 xM=xA+xB2=-m ,故 yM=12m ,

5、所以 M-m, 12m，故直线OM的方程为y=-12x，故直线AB与CD的斜 率互为相反数 .根据共圆定理得 A，B，C，D 四点共圆，根据相交弦定 理得 MA?MB=MC?MD.三、利用曲线系解决圆锥曲线四点共圆问题 我们利用曲线系解决例 1 中的问题( 2011 年全国高考卷 2 理科第 21 题)已知 O 为坐标原 点，F为椭圆C: x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过 F且 斜率为 -2 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， P-22， -1 关于 O 的 对称点为Q,求证：A, P, B, Q四点共圆.证明首先易得直线 PQ的方程为y=2x，又直线AB的方 程为y=-2x+1，所以直线AB与PQ可合并为(2x+y-1 )(2x-y) =0，又椭圆方程为 2x2+y2-2=0 ，故过 A， P， B， Q 的二次曲线系方程为(2x+y-1 )( 2x-y)+ 入(2x2+y2-2 ) =0,整理得(2 入 +2) x2+ (入-1) y2-2x+y-2 入=0, (*)方程(* )若表示圆，则必有 2入+2=入-1入=-3,此