初中数学中求极值的几种常见的方法

1、初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、 消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。 同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。 这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强， 要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。一 、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性，a0 ，即 a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。

2、若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。例 1：已知 Mx1x3 ，则 M 的最小值是。【思路点拨】 用分类讨论法求出x1x3 的最小值是4,此时3x1。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1 和点3 的距离之和为最短。显然 ,若 x3 ,距离之和为 1( 3)2( 3x)4 ;若3x1,距离之和为 1( 3)4 ;若 x1 ,距离之和为 1( 3)2( x1)4 。所以 , 当3x1时 , 距离之和最短 ,最小值为 4。故 M 的最小值为 4。二、利用配方法求最值完全平方式具有非负性，即 (ab)20 。一个代数式若能配方成m(ab)2k 的形式

3、，则这个代数式的最小值就为k 。例 2：设 a, b 为实数，求a2abb2a2b 的最小值。【思路点拨】一是将原式直接配方成与a,b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设a2ab b2a2bt ，将等式整理成关于a 的二次方程， 运用配方法利用判别式求最值。解： (方法一 )配方得： a2abb2a 2ba2(b1)ab22b( ab 1)23 b23 b12424( ab 1)23 (b 1)21124b10, b 1 时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值当 a0,b 1 0, 即 a21为 1。（方法二）令 a2ab b2a 2bt ，整理得 a2(b1)a(b22

4、bt ) 0 ，由题可知此关于 a 的二次方程有实数解，(b1)24(b22bt )03b26b4t10t3 b23 b1424t3 (b1)214当b1时，上式中不等号的等式成立，故t的最小值为，即原式的最小值为。11例 3：若 x1y1z2，则 x2y2z2 的最小值为（）23A 3B.59C.9D. 6142y 1z2【思路点拨】 引入参数设 x1k ，则 x2y2z2 就可用含 k 的代数式23表示，再通过配方求最小值。解：令 xy1 z2k ，则 xk1, y2k 1, z 3k2 ，123x2y2z2( k1)2(2k 1)2(3k2)214(k5) 25959514141459

5、。当 k时，上式中不等号的等式成立。故x2y2z2 的最小值为1414三、利用对称图形求最值根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。 若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。例 4、如下图，已知边长为8cm 的正方形 ABCD ，点 E 在 AB 上，且 AE2cm。在对角线 BD 上求作一点 P ，使 APEP 最短，并求出它的最小值。【思路点拨】此题是要在 BD 上找一点 P ，使 AP EP 的和最小。根据“两点之间线段最短”，只需把 AP 和 EP 转化到一条线段上，这就需要找到 E 点关于 BD

6、 的对称点。正方形是轴对称图形，对角线 BD 所在的直线是它的对称轴，而点 E 的对称点 E 在正方形的2边BC上，连结AE交BD于点P，连结PE，所以PEPE，AEAP EP AP EP，则点 P 就是所求作的点。要想求APEP 的最小值，只要求AE 的长即可。与该图形类似的还有菱形、圆。解：如上图，作出点E 关于 BD 的对称点 E ，在连接 AE 交 BD 于点 P ，则点 P 就是所求作的点。由图可知 APPEAE826210,即 APEP 的最小值为 10。例 5、如下图，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 4), 点 B(6,3)，分别在 x 轴、 y 轴上求作点 C , D ，使

7、四边形 ABCD 的周长最短？并求出周长的最小值。【思路点拨】已知点 A,B为定点，所以 AB的长固定不变，这样只要求出ADDCCB 的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段上，分别作出点A, B 的对称点 A , B ，连接 A B，与 x 轴和 y 轴分别交于点C, D ，则A BA DDCCBADDCCB ，于是点C , D 就是所求作的点。然后分别以AB, A B 为斜边构造RtVABE和 RtVA B F ，易知点E 坐标为（ 6 ， 4 ），点 F 坐标为( 2, 3) ， AE4, BE1 ，所以 ABAE2BE217 ，同理可得，A B113 ，则四边形

8、 ABCD 的周长的最小值是17 113 。四、根据垂线段最短求最值例 6、（ 2011 年南充中考）如图，等腰梯形ABCD 中，AD/ BC, AD AB CD 2, C60, M是 BC 的中点。（ 1）求证： VMDC 是等边三角形；（ 2）将 VMDC 绕点 M 旋转，当 MD (即 MD ) 与 AB 交于一点 E ,MC （即 MC )同时与 AD 交于一点 F 时，点 E,F 和点 A构成VAEF .试探究 VAEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出 VAEF 周长的最小值。3【思路点拨】易证 VBME VAMF . 由此可推出 AE AFAB 2

9、, 同时可推出VMEF 为等边三角形， 进而得到 EFMF , 根据“垂线段最短”可得MF 的最小值为点 M到 AD 的距离 3 , 即 EF 的最小值是3 。由此可得到 VAEF 周长的最小值为 23 。解：（ 1）略(2) VAEF 的周长存在最小值 .理由如下：连接 AM , 由（ 1）可得 Y ABMD 是菱形， VMAB ,VMAD ,VMC D 是等边三角形，BMABMEAME60 ,EMFAMFAME60BMEAMF在 VBME 与 VAMF 中， BMAM ,EBMFAM60VBMEVAMF ( ASA)BEAF, MEMF ,AEAFAEBEABQEMFDMC60 , 故 V

10、EMF 是等边三角形，EFMF MF 的最小值为点M 到 AD 的距离3 ，即 EF 的最小值是3 。QV AEF 的周长AEAFEFABEFVAEF 的周长的最小值为2+3 .五、利用一次函数与二次函数的性质求最值一次函数 ykxb 的图像是一条直线。当自变量x 取一切实数时， 函数 y 不存在最值。但当自变量x 定义在某一区间内时，x 存在着最值，函数y 也就存在着最值。二次函数 yax2bxc的图像是一条抛物线。当自变量x 取一切实数时， 抛物线顶点的纵坐标就是函数y 的最值。当自变量 x 定义在某一区间的条件限制时，函数 y 的最值有以下两种情况：(1) 当抛物线的顶点在该区间内时，顶

11、点的纵坐标就是函数y 的最值。（ 2）当抛物线的顶点不在该区间内时，函数y 的最值在区间内两端点处取得。例 7：某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360 台，且冰箱至少生产60 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱111工时234产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台， 才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？4【思路点拨】根据题意，可分别令生产空调器x 台，彩电y 台，冰箱z 台，总产值M (千元），易得总产值 M (千元）与冰箱 z 台成一次函数关系。 Q

12、 z 60 ，M 存在最值。解：分别令生产空调器x 台，彩电 y 台，冰箱 z 台，总产值为 M (千元），由题可得：xy z3601 x1 y1 z1201 z1080( z 60) ，因为 k10, M 随 z234整理得： MM4x3 y2 z22z60增大而减小， 所以当 z60时， M 有最大值， 即 M 的最大值为1 60 10801050 ( 千z7203z2元).当 z 60时 , x30, y270 .22故：每周应生产空调器30 台，彩电270 台，冰箱60 台，才能使产值最高，最高产值为1050 千元。例 8 ：设 x1, x2 是方程2x24mx 2m23m20的两个实

13、根，当m 为何值时，x12x22 有最小值，并求这个最小值。【思路点拨】由韦达定理可知x12x22 是关于 m 的二次函数，从判别式入手，根据m 的取值范围可分析出x12x22的最小值。解：由题可知(4m)24 2 (2 m23m2)0 ，解得： m2.3令 yx12x22 ，则y ( x1x2 ) 22x1x2(4m) 22 2m23m 22m23m 222即 y2m23m2(m2) .由函数图像可知，当m2时， y 有最小值，最小值为2 (2)23 28332.33298故：当 m时， x12x22 有最小值，最小值为.39例 9：（ 2011 年南充中考）某工厂在生产过程中要消耗大量电能

14、，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元 /千度 ) 与电价 x(元 /千度 )的函数图象如图： （ 1）当电价为600 元 /千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元 /千度 )与每天用电量m(千度 )的函数关系为 x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60 千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少千度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？5【思路点拨】根据图像易求出每千度电产生利润y （元 / 千度）与电价 x （元 / 千度）的函数解析式为y1x300(x0)。令工厂每天消耗电产

15、生利润为W 元，易得5W mym(1 x300)m1(10m500)3002m2200m(0m60)，55根据二次函数的性质即可求出W 的最大值。解： (1) 略（2）设工厂每天消耗电产生利润为W 元，由题意得：W mym(1 x300)m1(10m500)3002m2200m(0m60)55化简配方，得： W2(m50)25000(0m60)当 m50时， W最大 =5000 。即当工厂每天消耗50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润最大为 5000 元 .六、利用均值定理求最值当 a, b 均为正实数，且ab k （定值）时，ab2 ab （定值）当且仅当ab时取等号 ，此定理称为均值定理。

16、运用均值定理求最值要同时满足“一正、二定、三相等”三个条件。多数运用均值定理求最值的问题的条件具有隐蔽性，需要适当地变形才能用均值定理求解。例 10：已知正数x, y 满足 811，求 x2 y 的最小值。xy【思路点拨】把x2 y 看作 (x2 y) 1 ， 1 用已知条件整体代换，再用均值定理可以求解。解： x 2y ( x2y) 181)10x16yx16y18，由(x 2 y)(yy102xxxy题 可 知 ， 当 且 仅 当 x16 y ， 且 811时等号成立，又Qx 0, y 0 ， 解 得yxxyx 12, y 3，x2 y的最小值为18.6例 11：已知 x51的最大值。, 求函数 y4x 244x51【思路点拨】由题可知 4x 50 ，首先需调整符号；又不是定值，Q (4 x 2)4x5需对 4x2 进行凑项才能求出定值。1(5 4x12 (5 4x)1解： y