分别是_正弦_余弦_正切_余切_正割_余割

1、分别是 正弦余弦正切余切正割 余割 角9的所有三角函数 （见：函数图形曲线） 在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线0P,设旋转角为9,设OP=r，P 点的坐标为（x, y ）有 正弦函数sin9=y/r 余弦函数cos9=x/r 正切函数tan9=y/x 余切函数cot9=x/y 正割函数sec9=r/x 余割函数csc9=r/y （斜边为r，对边为y，邻边为X。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢 函 数 ve rsin 9 =1 - cos 9 余矢 函 数 co vers 9 =1 - sin 9 正弦 ( sin ) :角 a 的对边比上斜边 余弦 ( cos ) :

2、角 a 的邻边比上斜边 正切 ( tan ) :角 a 的对边比上邻边 余切 ( cot ) :角 a 的邻边比上对边 正割 ( sec ) :角 a 的斜边比上邻边 余割 ( csc ) :角 a 的斜边比上对边 编辑本段 同角三角函数间的基本关系式: 平方关系： sinA2 a+ cosA2 a= 1 1 + tanA2 a= secA2 a 1 + cotA2 a= cscA2 a 积的关系： sin a =tan aX cos a COS a =cot aX sin a tan a =sin a X sec a COt a =COS aX CSC a sec a =tan a X Cs

3、C a CsC a =sec aX COt -倒数关系: tan a cot a = Sin a CsC a = COs a sec a = 商的关系: sin a /cos a= tan a= sec a /csc a COs a /sin a= COt a= csc a /sec a 直角三角形 ABC中， 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边， 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边， 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos( a + 3 )=cos a cos 3- sin a sin 3 cos( a - 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3 s

4、in( a3 )=sin a cos 3 土 cos a sin 3 tan( a + 3 )=(tan a +tan 3 )/(1- tan a tan 3) tan( a - 3 )=(tan a - tan 3 )/(1+tan a tan 3) 三角和的三角函数： sin( a + 3 + y )=sin a cos 3，cos 丫 +cos a sin 3，cos 丫 +cos a cos 3，si n 丫 - sin a sin 3 sin 丫 cos( a + 3 + y )=cos a cos 3，cos 丫 - cos a sin 3，sin 丫 - sin a cos 3，

5、si n 丫 - sin a sin 3 cos 丫 tan( a + 3 + y )=(tan a +tan 3 +tan 丫- tan a tan 3，tan 丫)/(1- tan a tan 3 - tan 3，tan 丫 -tan 丫 tan a) 辅助角公式： Asin a +Bcosa =(A+B+B)A(1/2) cost=A/(A+B)A(1/2) ta nt=B/A Asin a - Bcosa =(A+B)A(1/2)cos(a -t) , tant=A/B 倍角公式： sin(2 a )=2s in a cos a =2/(ta n a +cot a) cos(2 a )

6、=cos( a)- sin( a )=2cos( a)-1=1-2s in -tan( a ) (a) tan(2 a )=2tan a /1 三倍角公式： -a) -a ) sin(3 a )=3sin a - 4sin( a )=4sin a sin(60+ a )sin(60 cos(3 a )=4cos ( a )=(1 -cos(2 a )/2=versin(2 a )/2 cos( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2 tan( a )=(1 -cos(2 a )/(1+cos(2 a ) 万能公式: -cos a )/sin a sin a =2ta

7、n( a /2)/1+tan(a /2) cos a =1 - tan( a /2)/1+ta n( a /2) tan a =2tan( a /2)/1 -tan( a /2) 积化和差公式： sin a cos 3 = =(1/2)sin( a + 3 )+sin( a -3) cos a sin 3 = =(1/2)sin( a + 3)- sin( a -3) cos a cos 3 = =(1/2)cos( a + 3 )+cos( a -3) sin a sin 3= - (1/2)cos( a + 3)- cos( a - 3 ) -和差化积公式: -3 )/2 -3 )/2 -

8、3 )/2 -3 )/2 sin a +sin 3 =2sin( a + 3 )/2cos( a sin a -sin 3 =2cos( a + 3 )/2sin(a cos a +cos 3 =2cos( a + 3 )/2COS( a cos a - cos 3= - 2sin( a + 3 )/2sin( a 推导公式 tan a +cot a =2/sin2 a tan a -cot a= -2cot2 a 1+cos2 a =2cos a 1+sin a =(sin a /2+cos a /2) -其他: sin a +sin( a +2 n /n)+sin( a +2n *2/n)

9、+sin(a +2 n *3/n)+ +sin a +2 n* (n-1)/n=0 COS a +cos( a +2 n /n)+COS( a +2 n *2/n)+COS( a +2 n *3/n)+ +COS a +2 n* (n-1)/n=0 以及 sin( a )+sin( a-2 n +sin( a +2n /3)=3/2 ta nAta nBta n(A+B)+ta nA+ta nB-ta n(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cos nx= sin(n +1)x+s inn x-s in x/2s inx 证明： 左边=2s in x(cosx+cos2x+.+cos nx

10、)/2s inx =s in 2x-0+s in 3x-s in x+s in4 x-s in 2x+.+ sinn x-s in(n-2)x+s in(n+1)x-s in(n -1)x/2si nx (积化和差) =si n(n +1)x+si nn x-si nx/2si nx=右边 等式得证 sin x+s in 2x+.+s innx= - cos( n+1)x+cos nx-cosx-1/2s inx 证明： 左边 =-2s in xs in x+si n2x+.+si nn x/(-2s inx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cos nx-cos (n-2)

11、x+cos (n+1)x-cos (n-1)x/(-2s inx) =-cos (n+1)x+cos nx-cosx-1/2s inx=右边 等式得证 三倍角公式推导 sin 3a =sin( 2a+a) =sin 2acosa+cos2as ina =2s in a(1-s ina)+(1-2s ina)s ina =3s in a-4s ina cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-s in 2as ina =(2cosa-1)cosa-2(1-s ina)cosa =4cosa-3cosa sin 3a=3s in a-4s ina =4si na(3/4-si na)

12、 =4sina( V3/2)-sina =4sina(sin60 -sina) -a)/2cos(60 +a)/2 =4sina(sin60 +sina)(sin60 -sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60- a)/2*2sin(60 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a=4cosa-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa- =4cosa(cosa- =4cosa(cosa+cos30 )(cosa -cos30) /2 =4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a -30 )/2*- 2sin(a+30

13、)/2sin(a -30) (V 3/2) cos30 ) =-4cosasin(a+30 )sin(a- 30) =-4cosasin90 -(60 -a)sin卜 90 +(60 +a) =-4cosacos(60 -a)- cos(60 +a) =4cosacos(60 - -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得 tan 3a=ta nata n(60 - a)tan(60 +a) 编辑本段 三角函数的诱导公式 公式一： 设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: 1. 対划紅的柬积为I 冨空自三為谢的匕两个 芋方爭等十F唤点制平方 人六追晦枸邻的三牛顶点孔b 辛有关系:*

14、5* sin (2k n + a)= sin a cos (2k n + a)= cos a tan (2k n + a)= t an a cot (2k n + a)= cot a 公式二： 设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系: sin (n + a)= sin a cos (n + a)= cos a tan (n + a)= tan a cot (n + a)= cot a 公式三： 任意角a与-a的三角函数值之间的关系： sin ( a)= sin a cos (a) =COs a tan (a) =tan a COt (a) =COt a 公式四： 利用公

15、式二和公式三可以得到 n - a与a的三角函数值之间的关系: sin (n a)= sin a COS (n a)= COS a tan (n a)= tan a COt (n a)= COt a 公式五： 2 n - a与a的三角函数值之间的关系: 利用公式一和公式三可以得到 sin (2 n a)= sin a COS (2 n a)= cos a tan (2 n a)= tan a COt (2 n a)= COt a 公式六： n /2 a 及： 3n /2 a 与a sin (n /2 +a 久） = :COs a cos (n /2 + a ) = sin a tan (n /2

16、 + a ) = COt a COt (n /2 + a ) = tan a sin (n /2 a ) = COs a cos (n /2 a ) = sin a tan (n /2 a ) = COt a cot (n /2 a ) = tan a sin (3 n /2 + a) = =cos a cos (3 n /2 + a) = =sin a tan (3 n /2 + a) = =cot a cot (3 n /2 + a) = =tan a sin (3 n /2 a) = =cos a cos (3 n /2 a) = =sin a tan (3 n /2 a) = =COt

17、 a cot (3 n /2 a) = =tan a (以上k Z) 的三角函数值之间的关系: 补充：6X 9= 54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） f( 3) t f( 3)= sin 3 cos 3 tan 3 cot 3 sec 3 csc 3 360k+ a sin a COs a tan a COt a sec a CsC a 90 - a COs a sin a COt a tan a CsC a sec a 90 +a COs a -sin a -COt a -ta n a -CsC a sec a 180 - a sin a -COs a -tan a -C

18、Ot a -sec a CsC a 180 +a -sin a -COs a tan a COt a -sec a -CsC a 270 - a -COs a -sin a COt a tan a -CsC a -sec a 270 +a -COs a sin a -COt a -tan a CsC a -sec a 360 - a -sin a COs a -tan a -COt a sec a -CsC a _a -sin a COs a -tan a -COt a sec a -CsC a 定名法则 90的奇数倍+a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。9 0的偶数倍+a

19、的三角函数与a的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变 偶不变” 定号法则 将a看做锐角(注意是“看做”)，按所得的角的象限，取三角函数的符号。 也就是“象限定号，符号看象限” 比如：90 +a。定名：90是 90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看 做锐角，那么 90 +a是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以sin (90 + a )=COS a , COS(90 + a ) =- Sin a 这个非常神奇，屡试不爽 编辑本段 三角形与三角函数 1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/si nA=b/s inB=c/sinC=2R .(其中 R为外

20、接圆的半径 ) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积 的和，即 a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA 4、正切定理(napier 比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和 的正切比值， 即(a-b)/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 对于任意非直角三角形中，如三角形 ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtan

21、BtanC 证明： 已知(A+B)=( n -C) 所以 tan(A+B)=tan( n -C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan n - tanC)/(1+tan n tanC) 整理可得 ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC 类似地，我们同样也可以求证：当a + 3 + y =nn (n Z)时，总有tan a +tan 3 +tan y =tan a tan 3 tan 丫 编辑本段 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i) cosx=eA(ix)+eA(-

22、ix)/2 ta nx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix) 泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)= 1 + z/1 ! +乙人2/2 ! +乙人3/3 ! +乙人4/4 !+ + zAn/n !+ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组y=-y”;y=y”，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很 多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 角度 a 0 30 45 60 90 180 1.sina 0 1/2

23、V2/2 V3/2 1 0 2.cosa 1 V 3/2 V 2/2 1/2 0 -1 3.ta na 0 V 3/3 1 V 3 / 0 4.cota / V 3 1 V 3/3 0 / (注： “V”为根号) 编辑本段 三角函数的计算 幕级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn +.=刀cnxn (n=0. g) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n +.= 刀cn(x - a)n (n=0. g) 它们的各项都是正整数幕的幕函数，其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数，这 种级数称为幕级数. 泰勒展开式(幕级数展开法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*

24、(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f( n)(a)/n!*(x-a )n+. 实用幕级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. In(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-g xg) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-g xg) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1) arccos x = n - ( x +

25、 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (|x|1) arctan x = x - xA3/3 + xA5/5 -. (x 1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-g xg) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-g xg) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1) arctanh x = x + xA3/3 + xA5/5 + . (|x|1) 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答

26、，在竞赛中，往往会用到与图 像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+ 刀(n=0. g) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/ n/ ( n . an=1/ n/ ( n . bn=1/ n/ ( n . -n ) (f(x)dx -n ) (f(x)cosnx)dx -n ) (f(x)sinnx)dx 三角函数的数值符号 第三，四象限为负 第二，三象限为负 第二，四象限为负 正弦 第一，二象限为正, 余弦第一，四象限为正 正切第一，三象限为正 编辑本段 三角函数定义域和值域 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1 tan(x)的定义域为x不等于 n /2+k n ,值域为 R cot(x)的定义域为x不等于k n ,值域为 R 编辑本段 初等三角函数