内蒙古科技大学线性代数答案!第三章习题册矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组 一.计算题 1.解： 2 3 4 3. 0 1 05. 0 1 1 j 0 0 0_ 0 0 0_ 0 1 0 5 （行最简） 0 1 0 0 .0 0 1 _3. 0 0 1 0. （标准型） 2.解: 2 1 1 0 1 0 1 1 1 1 -1 2 2 -1 31 1 1 1 2 2 -1 05 2 2 -1 0 5 1 一3 0 5 一3 3 -2 1 f 1 -2 -3 3* 1 -2 3 3 1 -2 -3 3 1 -2 一3 3 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 -2 一3 3. .3 -2 1

2、1. 0 4 10 _8. 0 2 5 -4. _0 0 3 _5. 0 1 0 10-14 10-14 0 11- 0 11- 2 2 0 0 1 - 0 0 1 - L3J L3 0 0 -14 2 1 3-5 0 1 0 7 3 13 石 （行最简） （标准型） 3解: j 2 -1 1 0 o 1 2 -1 1 0 o _1 2 -1 1 0 0 A = 3 4 -2 0 1 0 0 -2 1 -3 1 0 0 -2 1 -3 1 0 5 -4 1 0 0 1_ 0 -14 6-5 0 1_ 0 0 -1 16 -7 1_ 1 0 0 -2 1 0 1 0 0 -2 1 o 0 -2

3、0 13 -6 1 0 1 0 13 3 1 2 0 0 -1 16 -7 1 0 0 1 -16 7 -1 4解：(1) 3 -1 -5 3 1 1 o 1 0 5 3 1 1 0 1 7 2 0 1 0 -1 21 7 2 5 5 5 5 J 1 1 -151 1 -5 0 -20 -5 2172 1 3 i o 4 r p = 2 5 PA = 0 1 7 -52 Ar= 3-1 1 1 (AyE) = -1 _-5 2 1 0 o -5 0 -5 -10 0_ 1 0 1 2 o 0 1 3 5 0 0 1 3 5 0 0 1 3 5 0 0 0 -20 -35 5. .0 0 20

4、35 5. 0 0 4 7 -1 1 1 o 0 1 0 4 = 0 0 L 5.解: l2 +22 1 1 o % 1 1 o 坷2+你 J 0 1 0 a2 “22 “23 0 1 0 = 22 +Ct2 a 23 0 0 1. 6 “33 _ 0 0 L a32+a31 。33_ 2 1 2 0 1 o- Q = 3 50 QA1 = 0 1 4 7-1 0 0 0 0 k 0 o 11 肋】2 0 1 0 A = 0 1 0 如 。23 = 勺2 。23 .0 0 1 0 0 1 4 佝2 “33 _ _31 “32 6.解: k 0 o 如 如如 k 0 o kg an A 0 1

5、0 = 21 “22“23 0 1 0 = ka2i a22 “23 0 0 1_ 4 32偽3 0 0 1 如2 7.解: A = 0 0 r 2 0 0 r ai3 ai2 aU A 0 1 0 = 21 “23 0 1 0 = 23 如 Ct2 1 0 0 /Z3I 2 1 0 0 33 Ci32 8.解: 0 0 2 0 1 3 2 2 3 2 -1 7 1 A = 0 1 0 1 1 1 0 0 .4 1 2 2 2 0 0 1 0 1 0 1 3 1 L2 2 2 J _7 1 4 24 2 = 1 1 1 3 2 2 2 一3 9.解: l 2 -l l 0 0 1 2 -1 1

6、 0 0 1 2 一 1 1 0 0 3 4 -2 0 l 0 0 -2 1 -3 1 0 0 -2 1 -3 1 0 5 -4 l 0 0 l 0 -14 6 -5 0 1 0 0 一1 16 -7 1 10 0-210 1 0 0-210 0-2013 -61 0 l 0 3 2 2 00-116 -7 1 0 0 l -16 7 -l -2 1 12-1 .逆矩阵是一空3 2 -16 7 1A 10.解：（方法同8,过程略） 13 13 13 13 4 7 4 1 _13 T3 13 _T3 5 1 2 13 T3 _13 _T3 2 3 2 6 13 H 13 13 ) 4 1 -2

7、-i j -3 10 X = 2 2 1 2 2 = -15 .3 1 -1 .3 _1. 一12 11.解: 12.解: 2 -3 4 (A-3E)X ：.X=(A-3E)_1 A = (A - 3E)_, |A| = |/l|(A(A-3E)-,=|A|(A2-3A)r， 26 _3_ 26 2_ 26 =26 3 26 9 26 1 26 9 26 1 26 3 一3 -1 -9 -9 -3 -1 -1-9-3 13解： 3-20 -1 -32 41-2 1-7 04 1 -11 H _6 H 0 2_29 TT 17 丄_丄 H TT o o 3 -1 是最高阶非零子式 乜 0 0_

8、_1 0 0 1 0 0 14解：A-2E= 1 4 0 -2 0 1 0 = 1 2 0 0 0 3_ 0 0 1 0 0 1 j 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0_ (A-2E, E)= 1 2 0 0 1 0 0 2 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 .0 0 1 0 0 1 01 0-1 2 10 0 2 0 = (Z(A 2E)“) 故（A 2E尸 1 _2 0 0 2 0 1 1 1 1 0 o j 1 1 1 0 o 1 2 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 0 1 1 3 0 0 1 0 0 2 -1 0 1_ 15解：(AE) = 1 0 1 2 -1

9、0 1 0 0 5 2 -1 r 2 0 1 0 一1 1 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 I 1 2 0 1 2_ 0 0 1 1 2 0 1 2 . = (EA) 5 2 -1 2 -1 丄 2 0 丄 2 5 2 -1 2 -1 2 0 2 A 因此心诃2 5 2 一 1 _丄 72 丄 _2 0 2 . 5 -2 -1 -2 2 0 -1 0 1 注：若已知A， 求小 则需利用 E) 经过初等变换（E A 求A,则需利用（A二 经过初等变换（E A ） 16解： V1 C 0 -3A Er 瓦L A 0_|_0 A Er 0 E 0C J 0 Er A 0 17解：1 -12 2

10、4 24 0 0 0 通解 13-4 是最高阶非零子式 18. 解： ./? = 3 k 11 1 k =疋-3比 + 2 =伙-1)2 伙+ 2)工0 11k :.k H 2Jc H 1 19. 解： 1 2 4 -3 1 0 -8 7 A = 3 5 6 -4 0 1 6 -5 4 5 -2 3 0 0 0 0 20.解： 1 -1 -1 1 1 -1 0 -f A = 1 -1 1 -3 0 0 1 -2 1 -1 -2 3 0 0 0 0 21解： 1 -2 (Ab) = 3 -1 2 1 3 -1 5 -3 2 -2 -1 0 0 0 0 无解 1 22. 解: 2 0 1 -1 1

11、 0 1 0 0 -1 r 2 1 -3 1 0 1 0 0 0 -2 3 1 0 0 1 -2 1 2. 2. 1 -1 (Ab) = 1 -1 1 -1 23.解： 11k |A|= 1-12=疋一3-4=伙-4)伙+1) -1 k 1 (1)比工4且工一1时，解唯一。 a2 申丿 4(2 + 1) 4伙一 1) k2(k + 2) 3k-k2+4 k4 3k-k2+4 12 4伙 一1) /伙-2) 3k-k2+4 k_4 3k-k2+4 44 伙-1) Ik2 =Ab = 1*一4 伙+ 1)伙 一4)伙+ 1)伙 一4)丿 1 1 4 (Ab) = 1 -1 2 4 1 z 、 r-

12、3 x2 4 + c -1 11 (2沐=40寸, 4、 10 3(/ -4 0 114 16丿 0 0 0 0 1114、 _1 0 3 o )= 1-12-4 0 114 1 1 1 丿 0 0 0 0. 24.解: (A + l)x + y + z = A* + 3 几 x + (2 + l)y + z =+ 3A2 x+y + (2 + l)z = 24 +323 A + l1 I |A|=12 + 11=A2(2 + 3) 112 + 1 (1)2 H 0且几H3H寸，有唯一解。 0 才+才才+T 宀 2一一；+ 2 22+32 加+3兄 (兄+ 2)(几3+兄2)/+丸彳 -F+3

13、2一，+3 兄一 =、一i 22+3AF+32 (2)2 = 0 时， 1 0 0 (Ab) (2 + 2)(A4+23) 23 + 22 / 、 X J r-r y =q 1 ，丿 + c2 0 -2 1 1 o j 0 -1 o 1 -2 1 0 0 1 -1 0 1 1 -2 0_ 0 0 0 0. (Ab) / X y =c 1 丄 二、证明题 1. 证明: 只需要证明AX =0与屮AX =0同解即可。 显然，AX=o的解是AUx=o的解， Aax = 0,贝XrCAAX) = (AX)AX = 0,AX=0 因此ASX =0的解是AX =0的解 /. AX = 0与A1 AX =0同

14、解 RiA1 A) = R(A) 2证明：对分块矩阵作初等变换，得 A O A B A + B B 0 B .0 B B B 注意到4 + 3是分块矩阵的子块, 而子块的秩不会大于该矩阵的秩, 所以: r(A + B) r(C)-(5-r) = r(c) + r-s = r(B) + r(A)-5 即，r(AB)r(B) + r(A)-s 4. 证明：由上题可知，r(AB)r(A) + r(B)-n,而=贝b(AB) = O,故有: 0 r(A) + r(B)-n ,即 r(A) + r(B) n 5分析:注意到 r(A + E) = r(E+A). r(A-E) = r(E一A), 故要证 r(