【学案】11.1.1平方根

1、11.1 . 1平方根 学习目标 1. 从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、 具体到抽象这样一个一般 的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点； 2. 从求二次幕的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3. 使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 4. 掌握用平方运算求某些数的平方根的方法. 学习过程 一、创设情境 问题1要剪出一块面积为 25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2已知圆的面积是16 n cm2,求圆的半径长. （学生探索，回答问题） 二、探究归纳 问题1解 设正方形纸片的边长为 xcm,依题意有：x2

2、= 25, 求出满足x2= 25的x值，就可得正方形纸片的边长. 因52= 25, （-5） 2= 25,故满足x2= 25的x的值可以是5,也可以是5，但正方形边长只 能取正值所以x= 5. 答正方形纸片的边长为 5cm. 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25. 问题2解设圆的半径为 Rem,依题意有： n R2=16n，即 R2=16, 求出满足R2= 16的R的值即可求出圆的半径. 因42 = 16, （ 4）2= 16,故满足R2= 16的R的值为4或一4，但圆的半径只能取正值所 以数R= 4. 答 圆的半径为 4cm 这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于16

3、刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方， 要 求这个数用式子来表示就是如果x2 = a,求x的值. 概括 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a的平方根（square root）（也叫a的二次 方根）. 在上述例1问题中，因为52= 25,所以5是25的一个平方根又因为（一5）2= 52= 25,所以 5也是25的一个平方根.这就是说，25的平方根有两个：5与5.在上述例2问题 中，因为4乞16,所以4是16的一个平方根又因为（一4）2 = 42 = 16,所以一4也是16的 一个平方根.这就是说，16的平方根有两个：4与4.所以，根据平方根的意义，

4、我 们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根. 三、实践应用 例1求100的平方根. 解 因为102= 100, (-10) 2= 100,除了 10和一10以外，任何数的平方都不等于100,所以 100的平方根是10和一10,也可以说，100的平方根是土 10. 学生试一试： 4 (1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？ (3)丄 的平方根是什么？ (4) 4有没有 25 平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答.与同学交流，你发现了什 么？ 1平方根的性质： 问正数的平方根是什么？ 答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数.

5、 问0的平方根是什么？ 答0的平方根是0，这是因为02 = 0由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平 方根只有一个，它就是零本身. 问 负数有平方根吗？为什么？ 答 负数没有平方根由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 请同学概括数的平方根的性质. 答一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0本身；负数没有平 方根. 2. 一个非负数a的平方根的表示法. 当a 0时，a的正的平方根用符号“ 2 a ”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负的平方根用符号“-匂a”表示，这两个平方根合起来可以记作“2订”.这里，符号 “ 2厂”，读作“二次根

6、号” ，“ Va ”读作“二次根号a”.当根指数是2时，通常将这个2 省略不写，如 2 a 记作pa ,读作“根号a； 2a记作土，读作“正负根号 a”. 一般地，如果x 2 = a(a0)，那么a的平方根可以表示为 x= _ a .例如，9的平方根记作 - 9，读作正负根号9. 3. 开平方. 求一个数a(a0)的平方根的运算，叫做 开平方.开平方运算是已知指数和幕求底数.平方 与开平方互为逆运算.一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负 数的平方都是正数，0的平方是0 .但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0 的平方根是0 .负数没有平方根.因为平方与开平方

7、互为逆运算，因此我们可以通过平方运 算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根. 例2将下列各数开平方：(1)49 ,(2)1.69. 分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决. 解(1)因为(7)2=49，所以49的平方根是7,即土 J46=7 . 因为（_1.3）2 =1.69，所以1.69的平方根是_1.3，即一 J.69二1.3 . 例3下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由. (1) - 64; (2)0 ; (3)( 4)2. 分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0. 解（1）

8、因为一64是负数，所以一64没有平方根； （2）0有一个平方根，它是 0; 因为（_4）2 =160，所以（_4）2有两个平方根，且一 ；（-4）2二_.、16. 四、交流反思 1. 一般地，如果x 2 = a,那么叫x做a的平方根.（也叫a的二次方根）用_ a表示当 a 0时a有两个平方根，即a , , a表示a的正的平方根，-.a表示a的负的平方根, 它们互为相反数；当 a= 0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根. 2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系.区别在于, 平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幕；而在开平方运算中，已知的是指数和幕，求 的是底数.在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被 开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的. 3. 平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算. 4. 求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决. 五、检测反馈 1. 说出下列各数的平方根 (1)64 ；0.25 ； 49 64 2.求下列各数的平方根 (1) 16 81 0.36 324 3. 平方根等于本身的数是_ xx 4. 已知（2x）2 =16 , y是（-5）2的正的平方根，求代数式的值. x + y x - y 答案： 1. (1) 8 ； (2) 0.5 ； (3) 7 8 2. (1