实验解线性方程组的基本迭代法实验

1、数值分析实验报告姓名忘川学号1205025106系别数学系班级12 级主讲教师指导教师实验日期2014/6/25专业信息与计算科学专 业课程名称数值分析同组实验者无一、实验名称：实验八、解线性方程组的基本迭代法实验二、实验目的：1深入理解 Jacobi 迭代法、 Gauss-Seidel 迭代法和 SOR 迭代法；2通过对 Jacobi 迭代法、 Gauss-Seidel迭代法和 SOR 迭代法的程序设计，提高程序设计的能力； 3应用编写的程序解决具体问题，掌握三种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的 特点。三、实验内容及要求：1根据 Matlab 语言特点，描述 Jacobi

2、迭代法、 Gauss-Seidel迭代法和 SOR 迭代法。2编写 Jacobi迭代法、 Gauss-Seidel迭代法和 SOR迭代法的 M 文件。20 203给定 A R20 20 为五对角矩阵11324111322411113422411113422411134221 1 342(1) 选取不同的初始向量 x(0) 及右端面项向量 b，给定迭代误差要求，分别用编写的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。(2)用编写的 SOR 迭代法程序，对于 (1)所选取的初始向量 x(0) 及右端面项向量

3、 b 进行求解，松驰系数 取 12的不同值，在 x(k) x(k 1) 10 5 时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。四、实验步骤(或记录)一、算法描述5 / 22a11a12 La1na11Aa21a22 La2na22MMMMOan1an2 Lanna11得到Da22Oann由0a210MMOan 1,1an 1,2L0annan1an2Lan,n0a210LMMOan 1,1an 1,2Lan1an2L0an,n 100a12Ka1,n 1a1n0Ka2,n 1a2nOMM0an 1,n1000 a12Ka1,n 10Ka2,n 1UOM0则有：第一步： Jacobi 迭

4、代法a1na2nM , 则有： A D L Uan 1,n0Ax bAAx Db L U (D L U)x b Dx (L U)x b x D (L U)x D b令 J D (L U) 则称 J 为雅克比迭代矩阵 f D b由此可得雅克比迭代的迭代格式如下：x(0) , 初始向量x(k 1) Jx(k) f ,k 0,1,2,L第二步Gauss-Seidel 迭代法Ax b(D L U )x b (D L)x Ux b x (D L) Ux (D L) b A D L U令 G (D L) U ，则称G为Gauss-Seidel 迭代矩阵 f (D L) b由此可得 Gauss-Seidel

5、 迭代的迭代格式如下：x(0) ,初始向量x(k 1) Gx(k) f ,k0,1,2,L第三步SOR 迭代法w0ADLU 1 (D1wL (1 w)D wU )(D1 wL)(1 w)D wU )www令Mw1 (DwL),N1(1 w)D wU )则有：AMNwwAx bAMLWNM(MN)x b Mx Nx b x MNx MbNM,令W fMb带入N 的值可有LW (1 w)D wU) (D wL) 1(1 w)D wU) (D wL)f 1 bw 1(D wL) 1b1 (D wL)w称 LW 为 SOR 迭代矩阵，由此可得 SOR 迭代的迭代格式如下：x(0) ,初始向量(k 1)

6、f,k 0,1,2,L二、算法程序Jacobi 迭代法的 M 文件： function y,n=Jacobi(A,b,x0,eps)%*%函数名称Jacobi雅克比迭代函数%参数解释A系数矩阵%b常数项%x0估计解向量%eps误差范围%返回值%y解向量%n迭代次数%函数功能实现线性方程组的 Jacobi 迭代求解%*n=length(A);if nargin=1disp( 谱半径大于等于 1，迭代不收敛，无法进行 ); return;endn=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)=n)=nerror( 输入的 A 矩阵的对角线元素不能为 0); return;endendy=B

7、*x0+f;while norm(y-x0)=eps&n100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endGauss-Seidel 迭代法的 M 文件和 function y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) %*%函数名称GaussSeidel高斯赛德尔迭代函数%参数解释A系数矩阵%b常数项%x0估计解向量%eps误差范围%返回值%y解向量%n迭代次数%函数功能实现线性方程组的 Jacobi 迭代求解%*n=length(A);if nargin=1disp( 谱半径大于等于 1，迭代不收敛，无法进行 );return;n=1;for i=1:1:nif sum(A(i,

8、i)=n)=n0);error( 输入的 A 矩阵的对角线元素不能为 return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)=eps&n100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endSOR 迭代法的 M 文件function y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)%*%函数名称SOR松弛迭代函数%参数解释A系数矩阵%w松弛因子%b常数项%x0估计解向量%eps误差范围%返回值%y解向量迭代次数%函数功能 实现线性方程组的 Jacobi 迭代求解%*n=length(A);if nargin=eps&n b=ones(20,1); x0=zeros(20,1);

9、eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps) y =0.48130.57290.63210.65130.66000.66320.66460.66510.66530.66530.66530.66530.66510.66460.66320.66000.65130.63210.57290.4813n =9在 Command Window 中输入： Gauss-Seidel 迭代法求解： 在 Command Window 中输入： A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=

10、1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=2A(i,j)=-1/4;endendend13 / 22 b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps)y =0.48140.57320.63250.65180.66060.66400.66540.66600.66620.66630.66630.66630.66610.66560.66420.66090.65210.632813 / 220.57340.4816 n =7第二次给定初始向量

11、 为 20 行一列的 0 右端面项向量 b=20 行一列的 1.001 迭代误差要求 0.005Jacobi 迭代法求解：在 Command Window 中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=1A(i,j)=-1/2;endendend b=1.001*ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps)y =0.41460.48560.49780.49990.50020.50030.50030.50030

12、.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50020.49990.49780.48560.41467Gauss-Seidel 迭代法求解： 在 Command Window 中输入 A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=1A(i,j)=-1/2;endendend b=1.001*ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps)y =0.41450.4856

13、0.49780.49990.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50000.49800.48580.4146n =5在较少的迭代次数下即可的到满足误差要求的解。观察计算结果得到的序列可以看出其是收敛，2）第一次给定初始向量 为 20 行一列的 0，右端面项向量 b=20 行一列的 1 迭代误差要求 0.00005 松弛因子为 1.5 在 Command Window 中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1

14、:1:20if abs(i-j)=1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=2A(i,j)=-1/4;endendend b=ones(20,1);19 / 22 x0=zeros(20,1); w=1.5; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)y =1.0e+012 *-0.5082-0.9690-1.5400-2.1738-2.8767-3.6356-4.4375-5.2635-6.0901-6.8885-7.6243-8.2578-8.7437-9.0319-9.0675-8.7940-7

15、.0831-5.4598-3.5651n =100列的 0，第二次给定初始向量 为 20 行一 右端面项向量 b=20 行一列的 1 迭代误差要求 0.00005 松弛因子为 1.2在 Command Window 中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)=1A(i,j)=-1/2;endendend b=ones(20,1);23 / 22 x0=zeros(20,1); w=1.2; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps)y =0.27920.32460.33190.33310.33330.33330.33330.33330.333