完美版圆锥曲线知识点总结

1、圆锥曲线的方程与性质1. 椭圆（1 ）椭圆概念 平面内与两个定点 F,、F2的距离的和等于常数 2a （大于IF.Fzl）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有|MF, | | MF2 |=2a。22 2 2椭圆的标准方程为：笃占=1 （ a b 0）（焦点在x轴上）或 爲笃=1 （ a.b.O）（焦点在a2 b2a2 b2y轴上）。注：以上方程中a, b的大小a.b.O，其中b2二a2 - c2 ；2 2 2 2在X2 当=1和与 X2 =1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的 a2 b2a2

2、 b22 2X y分母的大小。例如椭圆1（ m 0 ,n0 ,m = n ）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当m ： nm n时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质一X2 V2 范围：由标准方程2 * 2 =1知|x|a， | y b，说明椭圆位于直线 x二a， y = b所围成的矩a b形里； 对称性：在曲线方程里，若以 -y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（x, - y）也在曲线 上，所以曲线关于x轴对称，同理，以-X代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以-x代替x，- y 代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于 x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是

3、椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称 中心叫椭圆的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x=0,得y=b，则$0 H，B2（O,b）是椭圆与y轴的两个交点。同理令y = 0得x = a，即A（妙，A2（a,0）是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA、B1$2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在Rt OB2F2中，|OB2|=b , |OF2|=c ,IB2F2I

4、二a，且 IOF2B2F2I2 -|OB2|2，即 c2 二a2 -b2 ；c 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e叫椭圆的离心率。：a c 00 ： e ： 1，且e越接近1, ca就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,从而b越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a = b时，c = 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2二a2。2. 双曲线(1) 双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(II PF| I - I PF2卜2a )。注意：式中是差的绝对值，在0 ： 2a o时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+

5、F=o叫做圆的一般方程，圆心为-）半2 2径是 D 2 E 2 -4F。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=o 化为（x+ D ） 2+（y+ ） 2=- 4F2224 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-，-)；2 22 2 . 当D+E-4F V 0时，方程不表示任何图形.(3) 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y)，则丨MC| V r= 点M在圆C内，|MC| =r=点 M在圆 C上，| MC| r=点 M在圆 C 内，其中丨 MC| = . (x 0 - a)2 (y 0 - b)2 。(4) 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相

6、离三种位置关系： 直线与圆相交= 有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=O的距离Aa + Bb +C|d._,与半径r的大小关系来判定。VA?三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e 0),贝恸点的轨迹叫做圆锥曲线。 其中定点F(c,O)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。 当Ov ev 1时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双

7、曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a|F Fl)的 点的轨迹2.与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.(0e1)1. 到两定点F1 ,F 2的距离之差的 绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的 点的轨迹轨迹条件点集：(M |=2a, | F| MF+ | MH |1F2 |v 2a.点集：M= 2a,1MF| - | MF |.F2F2 | 2a.点集 M | MF | =点M至U直线1的距离.图形Ij-X31方程标准方程2 2xy2 + 食=1( a b 0)ab2 2xy盲-勺=1 (a0,b0)aby2 = 2px参数

8、方程：x = a cos日 c y =bsi nT（参数日为离心角）x = a secQ iy = bta n 日 （参数日为离心角） 2dX-2pt (t为参数) y = 2 pt范围a空空,b四G|x| a , yRx启0中心原点0(0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴； 实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦占八、八、Fi(c,0), F2( c,0)Fi(c,0), F2( c,0)F (号 Q)准线2,a x= c准线垂直于长轴，且在椭圆外2,a x=

9、c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧x=-卫2准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等.焦距2c(c= Ja2 -b2 )2c (c= Ja2 +b2 )离心率e = c(0 1)ae=1【备注1】双曲线:等轴双曲线：双曲线 y-y2 = a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y = x，离心率e = -.2 .共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲2 2 2线刍一与二与 刍一Z二-，互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: a bab22 2 D =o. a2 b2共渐近线的双曲线系方程:时，它的双曲线方程可设为22 2 2罕一丄 （，o）的渐近线方程

10、为 二a2 b2a2 b22 2a2 b2=0如果双曲线的渐近线为xs【备注2】抛物线:（1）抛物线y2 =2px（p0）的焦点坐标是（卫，0），准线方程x=-卫，开口向右；抛物线 y2 =-2px（p0）的焦2 2点坐标是（-,0），准线方程x=卫，开口向左；抛物线x2 =2py（p0）的焦点坐标是（0,卫），准线方程y=-卫2 2 2 2开口向上； 抛物线x2 =-2py （ p0）的焦点坐标是（0,-卫），准线方程y=，开口向下2 2(2)抛物线y2 =2px(p0)上的点M(xO,yO)与焦点F的距离MFP2二x0;抛物线y =-2px(p0)上的点2M(x0,y0)与焦点F的距离MF

11、 =P_x02(3) 设抛物线的标准方程为y2 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离 ,2 2焦点到准线的距离为p.(4) 已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段 AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = X b 0)的左右焦点分别为 已F 2，点P为椭圆上任意一点NF1PF2/，则椭圆的a b焦点角形的面积为S.EPF2= b2ta n22 2Xy8. 椭圆2=1 (a b 0)的焦半径公式ab|MR |=a 飞怡，IMF?卜a-ex)( Fd-c,。)，F2(c,0) M (x,y).9. 设过椭圆

12、焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝y MFL NF.10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M, A2P和AQ交于点N,贝U MFL NF.22,211. AB是椭圆 务 =1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y)为AB的中点，贝U koM 煤 二_2，即abaKab孚a yo222212.若P)(Xo, yo)在椭圆2 与=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是-X0 y02 = -X7 埠； a ba b a b【推论】：2 2 2 21、若p0(

13、xo,y0)在椭圆5亠身=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2与=02亠。椭圆a ba b a b2 2x y +=1 (abo)的两个顶点为 A(a,0), A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P、R时ap与比戸a b2 2交点的轨迹方程是冷一爲=1.a2 b22 2 y2、过椭圆 2 =1 (a 0, b 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,a b则直线BC有定向且kBC二聖(常数).a y。x2 y23、 若P为椭圆2 =( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点，一 PRF? -，一 PF?斤二：，a bntt a -c:则tan

14、co t .a c22x2y24、 设椭圆 2 =1 (ab0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PF1F2a bsinc中，记.F1PF2 = : , PF1F2 =E, F1F2P = f，则有e.sin P +sin ； a2 25、 若椭圆xy 与=1 (a b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当0v eb0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Ua b2a-|AF2|-|PA| |PR p2a，I AR |,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立7、椭圆2(x -X0)2a2.(y- y。)b2=1与直线Ax By0有公

15、共点的充要条件是2 2 2 2 2A a B b -(Ax0 By C).2 28、已知椭圆 令+牛=1 ( a b 0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 OP丄OQ. (1) a b-1L_| OP |2 |OQ |2a2b222(2) |OP| +|OQ|的最大值为2 24a ba b2b 2(3) S opq的最小值是a 2a +b2 29、过椭圆x=1 (a b 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴a b于P,则|PF | e|MN | 一 22 2X y10、已知椭圆 2 =1 （ a b 0） ,A、B是椭圆上的两点，线段a bAB的垂直

16、平分线与x轴相交于点P(Xo,O),2 . 2 2 . 2a -ba -bXo ：aa2 211、设P点是椭圆笃爲=1a2 b2（a b 0） 上异于长轴端点的任一点尸、F2为其焦点记 F1PF J ,则(1)IPF1IIPF2H2 b21 cos V.(2)S FF1F2=b2 tan22 2x y12、设A、B是椭圆2=1 （ a b 0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点， PAB二:,a b.PBA = 1 , BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA| =22ab |cos： | 2 2 a c cos.(2)tan ： tan ： =1 -e2 .(3)S PAB22

17、2a b=22b acot .2 213、 已知椭圆X- 占=1 （ a b 0）的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于a bA、B两点，点C在右准线丨上，且BC _x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、

18、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2、 PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、 以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）2 25、 若F0（x0，y）在双曲线X? -打=1 （a0，b 0） 上,则过F0的双曲线的切线方程是 电J響二1.a ba b2 2”x y6、右P0

19、（x0，y0）在双曲线 2=1 （a0，b 0）夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切a b点弦PlP2的直线方程是驾一嚳J.a2 b2x2 y7、双曲线 2 =1 (a 0,b o)的左右焦点分别为 Fi, F 2，点P为双曲线上任意一点.F,PF2 - ，则a b2 光双曲线的焦点角形的面积为S FpF2二b2cot .2 2X y8、双曲线 2 =1 (a0,b o)的焦半径公式：(Fj-c,。)， F2(c,0)当M(Xo,y。)在右支上时,a b| MR | = ex。a , |MF2 |=ex)-a ；当 M (x0, y0)在左支上时，| MF! -ex。a, |

20、MF2_ex)-a。9、 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相 应于焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝y MFL NF.10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M A2P和AiQ交于点 N,贝U MFL NF.2X11、AB是双曲线a2M(X0,y)为AB的中点，则y2 =1 (a0,b 0)的不平行于对称轴的弦, b2Kom Kab崇，即a yKabb X0。a y2 X 12、若P0(x0, y0)在双曲线 a2补1 ( a 0，b 0)内，则被P0所平分

21、的中点弦的方程是X0Xy0ya2b22X02a2y。13、右 p0X0y0)在双曲线222y x y2 =1(a0,b 0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22ba bXXyya2b2【推论】：21、双曲线笃a2岭=1 (a0,b 0)的两个顶点为 A(a,O), A(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P、b2 2P2时ap与A2P2交点的轨迹方程是2 y -1.a2b22、过双曲线2 2笃与=1 ( a0,b o)上任一点 A(X0,y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于a bB,C两b2X点，则直线BC有定向且kBC2(常数)a y22x V3、若P为双曲线 2 =1( a 0,b 0

22、)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点，-PF|F2二,a bfy caaPcaPot-PF2F|，贝Utan cot (或tan cot ).c a22c a2224、设双曲线yFi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在牙=1 ( a 0,b 0)的两个焦点为b2sin acPF1F2中，记.RPF2 = ： , PF1F2 = ： , F1F2P =，则有e.土(si nYsi n0)a2 25、 若双曲线冷-爲=1 ( a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1 0,b 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A为双曲线内一定点，贝Ua b|

23、 AF2 | -2a 0,b 0)与直线Ax By C = 0有公共点的充要条件是A a - B b a 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP丄OQ.a b(1)1 1 1 12 2 2 2|OP| |OQ | a b(2) |OP| +|OQ|的最小值为4a2b2b2 - a2(3) S oPQ的最小值是a2bb22 -a229、过双曲线-Vy =1 ( a 0,b 0 )的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分a b线交x轴于P,则迂口 e.| MN |22 2X y10、已知双曲线 2 =1 (a 0,b 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

24、垂直平分线与x轴相交于点a bP(x0,0),a2 +b2则x。-211、设P点是双曲线笃a2牙1 (a0,b 0)上异于实轴端点的任一点F1、F2为其焦点记乙斤卩卩2二二,则(1) | PF1 |PF2 | =2b21 - cos-.(2)= b2cot .22 212、设A、B是双曲线 令-占=1 (a0,b 0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点， PAB,a bPBA , BPA =,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有|PA戶22ab |cos- |.222 V -|a -c cos | tan： tan ： =1 -e2.(3)S.pAB -2a2b2b2 a2cot2 213、

25、已知双曲线 笃爲 J （a 0,b 0）的右准线I与x轴相交于点E ,过双曲线右焦点 F的直线与双曲a b线相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC _x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项八、抛物线的常用结论： ay2 by c = x 顶点（4ac _b）.4a 2a y2=2px（p0）则焦点半径pf =x+与；x2=2py（ p式0）则焦点半径为|pf =y+? 通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.y2=2px （或x2=2py ）的参数方程为2=2pt (或:y =2 pt2pt2)( t 为