导数概念、几何意义、计算(同步讲义)

1、样，当X变化时，X便是X的一个函数，我们称它为f x的导函数(简称导数).y = f x的导导数的概念及计算本节内容一、变化率与导数(1) 函数的平均变化率如果x1, f xh x, f x是函数y = f x定义域内不同的两点，那么我们把式子 f-X2f % 称为函数 y = f x 从 x 到X?的平均变化率.x2 - X|习惯上用二X表示x?，即二X=x2-石,可以把lx看作是相对于x1的一个增量”，可用X厂lx代替x2 ;类似地，厶y = f x2 - f x, 所以平均变化率可以表示为即xy f x2 - f x-!f xlx - f x1xx2 -x1x注：这里：x y可为正值，也

2、可为负值但.x=0, y可以为0 .(2) 函数的瞬时变化率与导数一般地，函数 y = f x j在x = x0处的瞬时变化率是 l.im。一y = l.im。；，我们称它为函数y = f (x )在x =xo处的导数，记作f (怡)或y x0，即当X=X0时，X。是一个确定的数.这f X0呷十叽5 一 fX0从求函数y = f x在x =x()处的导数的过程可以看到,函数有时也记作 y ，即f x =y = Lim.0f XX- f x(3 )导数的几何意义函数y = f x的图象如下图所示，AB为过点A X), f X)与B xx, f xx的一条割线由此割线的斜率是 =f X。 X -

3、f冷，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化ZAx率当点B沿曲线趋近于点 A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线 AD，这条直线AD 叫做此曲线过点 A的切线，即lim f X X - f Xo二切线ad的斜率.0二 x由导数意义可知，曲线 y = f x过点x0, f x0的切线的斜率等于 0,a 工1)y = ax In aXy =efXy =ey = loga x(a 0,a 右), 1y = x In ay =1 n x,1 y =一Xy = s in xy = cosxy = cosxy = 一 sin x（2 ）导数的运算法则 两个函数和差的导数：| f x _ g x 二x_

4、gx. 两个函数积的导数：| f x g x 二xgx f x g x .所以 |cf x =cf x-cf x =cf x ( c为常数).两个函数商的导数:f X g X - f X g X g(x)2所以（c为常数）.I cl = cg(x )_cg(x )_ _cg(x ) Lg(xLg(xf 卫(xf(3 )复合函数及其求导法则(理)一般地，对于两个函数 y = f u和u=g x，如果通过变量u , y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数 y=f u和u=g x的复合函数，记作 y二f g x .复合函数y=f g x的导数和函数y = f u , u=g x的导数间的关系为

5、：y y ux， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.题型一导数概念及几何意义【例1】(1)求函数f xi； = -x2在x - -1附近的平均变化率以及在 x- -1处的瞬时变化率；(2)求y = ax2 bx c ( a, b为常数)的导数;(3 )求y = . x在x =1处的导数.【例2】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s =3t -12.(1) 求此物体在t =2附近的平均速度和瞬时速度；(2) 求此物体的初始速度.【例3】(1)已知f冷=-2，则(2)已知f 3 =2,f 3 =-2，则 lim 23 X【例4】如图，函数f x的图象是折线段 ABC，其

6、中A, B,C的坐标分别为 0,4 , 2,0 , 6,4，则f f 0门=；f x在x=1处的导数14AC/3o/21/B-.,O23456 x【例5】函数f X的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A f 2 ：f 3 ： f 3 -f 2B 0 ： f 3 ： f 3 - f 2 ： f 2C. 0 ： f 3 :： f 2 : f 3 -f 2D. 0 ： f 3 一 f 2 ： f 2 ： f 3【例6】(1)若直线y = kx 1与曲线y = x3 ax b相切与点P 1,3，则b =(2)已知直线I :y = 4x a和曲线C: y =x3 -2x2 3相切，求切点坐标.题型导

7、数的计算【例7】求下列函数的导数:(1)2h2x 3 x -1 :yx4我4:3x【例8】【例9】(3)(5)(7)(3)(4)(5)(6)(7)(8)In x1 -cosxh3x2 一1 $ :(4)(6)(8)2 .右 f X = 2x a , f 2 =20，则 a -若 f x 二 x ex，则 f 0 二ex 1.x r c 2 x y = -sin 1-2cos214丿y 二 cos 2x -1 iTn 2x 1 :函数f X.在X = 2处的导数为1 - Vx1 + vxx - x3 x2 I n x 函数f X2在x =1处的导数为若对于任意实数x，有x=4x3, f 11，则

8、此函数的解析式为已知函数f x满足f x =3x2 2x r 2，则f 5二2 1曲线y =x 在点1,2处的切线方程为x已知函数f x二x-a xb x-c （a,b,c为互不相等的实数），则f x =g x ”是“Xi； = g，x ”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例10】ex若函数y 在处的导数值与函数值互为相反数，求x0的值.x题型三综合应用【例111设函数f x ,g x在0,5内导数存在，且有以下数据:x1234f(x)2341f (x)3421g(x)3142g(x)2413(1) 则曲线在点 1, f 1 处的切线方程是 ；(

9、2) 函数f g x在x = 2处的导数值是.【例121( 1)函数f x =x4，x-2图象上的点到直线 y=x-4的距离的最小值是 ；(2) 在曲线y -3x 1的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为 ；(3) 已知直线y = kx与曲线y =1 nx有公共点，则k的最大值为 ；1 2(4) 若函数g x=f x x的图象在P点处的切线方程为y-x，8，且P点的横坐标5为 5，则 f(5)+f(5)=.【例131( 1)曲线y =x3 -2x2 -4x 2在点1, -3处的切线方程是 ；(2)曲线y =x3 -2x2 -4x 2过点1, -3的切线方程是 .b【例14】设函数f x；=

10、ax- ，曲线y = f x在点2, f 21处的切线方程为7x-4y-12 = 0.x(1 )求f x的解析式；(2)求证：曲线y二f x上任意一点处的切线与直线 x = 0和直线y = x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值.【练1】(1)(2)【练2】(1)(2)【练3】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)课后练习函数f x =2x 1在闭区间1,1宀八x内的平均变化率为（）A. 1 2 xB. 2 ： -xC. 3 2 xD. 4 2 x曲线y =x3 -2x 4在点1,3处的切线的倾斜角为（）A. 30B . 45：C. 60D . 120下列函数求导运算中，正确

11、的序号为 ;，1（ 1 X 3x =3x log3e : log2 x: ex = ex :In 2ln x求下列函数的导数：2x y = x2 cosx: y 2 :1 -x y=x1 x 2 x 3 :sin 2x1y = e若 f x =ax3 x2 3, f 1 i；=8，则 a =；已知y二f x是二次函数，若方程f x二0有两个相等的实根，且x = 2x 2，则f x的表达式是；f（1f （1 _2Ax f x存在导函数，且满足|jm1,则y = f x上点1,f 1处的切线斜率为；已知函数f x = f cosx sinx，则f 14丿14丿已知等比数列：an匚中，a2,a =4，函数f x二x x - a x - a2 x - a8，则f 0 =；求曲线v = x 丄过点A 2,的切线方程：；xI 2丿1 2曲线y 和y =x在它们的交点处的两条切线与x轴围成的三角形的面积为 ;x函数f x=x2 In -x在点P -1,1处的切线方程是 ；已知曲线s:y=3x-x3及点P 2,-2，则过点P可向s引切线的条数为导数及其应用(1)【练4】已知函数f x=：x亠i.1 -a x? _a a 2 x b