利用导数证明不等式的常见题型

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点， 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得 不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例1】已知函数f(x)=ln(x1)x，求证：当x -1时，恒有 1 1In(x 1) _x x +1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 1 g(x) = In(x 1)1,从其导数入手即可证明。 x +1

2、 1x 【绿色通道】f(X)1 = x+1x + 1 当 -1 ：x ：0 时，f(X) 0,即 f (x)在 x (-1,0)上为增函数 当x 0时，f (x) ： 0 ,即f (x)在x (0, -)上为减函数 故函数f (x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间(0, 二) 于是函数f (x)在(-1,=)上的最大值为f (x)max = f(0) =0，因此，当X -1时，f(X)乞f (0) =0 , 即 ln(x - 1) -x 空 0 ln(x 1) x (右面得证)， 1 现证左面，令g(x) = ln(x 1)1, x+1 1 则g (x)二 1 2 (x 1) x 2

3、 (x 1) 当 X (-1,0)时,g(x)：0;当X (0,：)时,g(x)0 , 即g (x)在(-1,0)上为减函数，在 x(0：)上为增函数， 故函数g(x)在(-1, ：)上的最小值为g (x) min二g(0) =0 , 1 当 xT 时，g(x)_g(0)=0,即 ln (x 1)1 - 0 x + 1 1 1 - ln(x 1) -1，综上可知，当 x -1 时,有1 f(x)恒成立，且常数 a, b满足ab，求 证:.a f (a) b f (b) 【绿色通道】由已知x f (x) + f (x) 0 A构造函数 F(x)二xf(x), 则f(x)二x f (x) + f

4、(x) 0,从而F(x)在R上为增函数。 a b a F(a) F(b)即 a f (a)b f (b) 【警示启迪】由条件移项后xf (x) f (x),容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 F(x) =xf (x), 求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf (x) . f (x)，则移项后xf (x) - f (x)，要想到 是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 【思维挑战】 2 1、 (2007年，安徽卷)设 a 一0, f(x) =x -1 - In x 2aln x 求证：当x 1时，恒有x .In 2x-2al nx, 2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函

5、数 -3a2|n a, 1 f (x) x2 2ax, g(x) = 3a2 In x b,其中 a0，且 b 求证：f (x) _ g(x) x 3、已知函数f(x) =ln(1 x)，求证：对任意的正数 1 + x 4、( 2007年，陕西卷) f (x)是定义在(0, + 8)上的非负可导函数，且满足 xf (x) - f (x) w 0，对任 意正数a、b，若a b，则必有() (A) af (b) w bf (a)(B) bf (a) af (b) (C) af (a)w f (b)(D) bf (b)w f (a) 答案咨询】 1、提示: 2 In x 2a2 In x f (x)

6、 =1，当x 1, a 一0时，不难证明1 xxx f (x)0，即f (x)在(0,七)内单调递增，故当x 1时， f (x) f (1) = 0 ,a 当 x 1 时，恒有 x In x - 2a In x 1 2、提示： 2 设 F(x) =g(x) - f (x)2ax -3a2 In x -b则 F (x) = x 2a 2x (x -a)(x 到 (X . 0). a 0 ,当 X 二 a 时，F (x)二 0 , x 故F(x)在(0,a)上为减函数，在(a,，：)上为增函数，于是函数F(x)在(0,=)上的最小值 是 F(a)二 f(a)-g(a) = 0,故当 x 0时，有 f(x)-g(x) 一 0,即 f(x)_g(x) 3、提示：函数f(x)的定义域为(-1：), f (x)22 1+x (1 + x)2(1+X)2 当 -1 ：x ：0 时，f(X)：0，即 f (x)在 x (-1,0)上为减函数 当x 0时，f(x)0，即f (x)在x(0, ：)上为增函数 因此在x = 0时，f(x)取得极小值f(0) =0，而且是最小值 x1 于是 f (x) _ f(0) =0,从而 ln(1 x)，即 In(1 x) _1 - - 1+x1+x 令1 x=a0,则1-1 - 于是In?_1-匕 bx 1 ab a K 因此In a - In b亠1