概率论与数理统计公式集锦

1、。概率论与数理统计公式集锦公式名称德摩根公式古典概型几何概型求逆公式加法公式减法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）两件事件相互独立一、随机事件与概率公式表达式ABAB，ABABm A包含的基本事件数P(A)n基本事件总数P( A)( A) ，其中为几何度量 （长度、 面积、 体积）()P(A)1P(A)P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)， BA 时 P(A-B)=P(A)-P(B)P( AB)P(B A)P( A)P(AB)P( A)P( B A) P(B)P( A B

2、)P( ABC )P(A)P( B A) P(C AB)nP(B)P( Ai )P(B Ai )i1P( Aj B)P( Aj )P( B Aj )P( Aj )P(B Ai )i 1P( AB)P( A)P( B) ； P(B A)P(B) ； P(B A) P(B A)二、随机变量及其分布1、分布函数性质P ( Xxk )xkxF ( x)P ( Xx)x,P (aXb )F (b)F ( a)f (t )dt精选资料，欢迎下载。2、离散型随机变量及其分布分布名称01 分布 XB(1, p)二项分布X B (n , p)泊松分布XP()3、连续型随机变量及其分布分布名称分布律P ( Xk

3、)p k (1p )1 k ,k0,1P( X k )Cnk p k (1p) n k ,k 0,1, , nkP( Xk ) e, k0,1,2,k!密度函数分布函数1axb0, xa均匀分布,xa , axbf ( x)b aF (x)XU ( a, b)0,其他bab1, x指数分布ex,x01ex,x0XE( )f ( x)F ( x)0,x00,x01( x) 2正态分布e22f ( x )1XN( ,2)2F ( x )2x( t) 222ed tx标准正态1x 21 t2分布( x)21xe( x)e2 dtXN ( 0,1)22x4、随机变量函数Y=g(X) 的分布离散型： P

4、(Yyi )pj ,i1,2, ，g ( x j ) yi连续型：分布函数法，公式法fY ( y) f X (h( y) h ( y) ( x h( y)单调 )三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律： P( Xxi, Yy j)pij , i , j1, 2,分布函数 F(X,Y)pijxix yi y边缘分布律：piP( Xxi)pij p jP(Yyj )pijji条件分布律：P( XxYy)pij,i1,2,，pij(y j X xi),j1,2,ijp jP Ypi2、连续型二维随机变量及其分布精选资料，欢迎下载。分布函数及性质分布函数： F ( x, y)xy

5、f (u , v) dudv性质： F(,) 1,2F (x , y )f ( x , y ), P ( x, y )G )f ( x, y) dxdyxyG边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： F X ( x )xf ( u, v) dvdu 密度函数：f X ( x )f ( x , v )dvyFY ( y)f ( u, v) dudvf Y ( y)f (u , y )du条件概率密度f ( x, y)yf (x, y)xfY X ( y x),， f X Y (x y),f X ( x)fY ( y)3、随机变量的独立性随机变量 X、 Y 相互独立F (x, y)FX (x)FY (

6、 y) ，离散型： p ijp i . p . j，连续型： f ( x, y)fX (x) fY (y)4、二维随机变量和函数的分布离散型： P(Zzk )P( X xi,Y y j)xiy jzk连续型： f Z ( z)f (x , zx ) dxf ( z y , y ) dy四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型E(X)x k pk，连续型 E(X)xf ( x) dxk 1性质： E(C)C, EE(X )E( X) ， E(CX )CE( X) ， E(X Y)E( X ) E(Y)E(aX b) aE( X ) b ，当 X、 Y 相互独立时：E( XY)E( X )

7、E(Y)2、方差定义： D(X )E(X E(X )2 E(X 2) E2(X )性质： D(C)0 ， D(aXb) a2D(X ) ， D(X Y)D( X ) D(Y)2Cov( X ,Y )当 X、Y 相互独立时： D(X Y) D(X ) D(Y)3、协方差与相关系数协方差： Cov (X , Y) E (XY )E (X )E (Y ) ，当 X、 Y 相互独立时： Cov(X ,Y) 0相关系数：Cov(X ,Y)，当 X、 Y 相互独立时： XY0 (X,Y 不相关 )XYD(Y)D(X )协方差和相关系数的性质：Cov( X, X ) D( X) ， Cov( X ,Y )C

8、ov(Y, X )Cov( X1X2,Y)Cov(X1, Y)Cov( X 2 ,Y)Cov(aXc, bYd ) abCov( X ,Y)4、随机变量分布的期望和方差精选资料，欢迎下载。分布数学期望方差0-1 分布 b(1, p)pp(1-p)二项分布 b( n, p)npnp(1-p)泊松分布 P()均匀分布 U (a,b)a b(b a)2212正态分布 N( ,2 )2指数分布 e()112五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若(),(X)2,对于任意0有 PXE(X)D(X)2E XD2、大数定律：切比雪夫大数定律：若X1X n 相互独立，n1nE( Xi )i , D( X

9、 i )2且2C ，则：1X iPE (X i ), ( n)iin i 1n i 1伯努利大数定律： 设 nA 是 n 次独立试验中事件A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则0 ，有： lim PnAp1nn辛钦大数定律：若X1, Xn 独立同分布，且E ( X i )，则 1 nX iPn i 1n3、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20的独立同分布时，nX k n当 n 充分大时有：nk1N(0,1)Yn拉普拉斯定理：随机变量X B( n, p) 则对任意 x 有：Xnpx1 et2lim Px2 dt( x)xnp(1p)2近似计算：nnb)

10、P( a nX knb n )(b n )( a n )P( aX kk 1k1nnnnn精选资料，欢迎下载。六、数理统计的基本概念1、总体和样本总体 X 的分布函数 F (x) 样本 (X 1, X 2X n ) 的联合分布为nF ( x1 , x2xn )kF (xk )12、统计量nnn2(1) 样本均值： X1X(2) 样本方差： S2 1(XiX)21(Xi2nX )n i 1in 1 i 1n 1 i 1(3) 样本标准差： S1n(XiX )2(4) 样本 k 阶距： Ak1 nX ik , k1,2n 1 i 1n i 1(5) 样本 k 阶中心距： BkM k1n(X iX

11、) k , k2,3n i 13、三大抽样分布(1)2 分布：设随机变量 X1, X2X n 相互独立， 且都服从标准正态分布N (0,1) ，则随机变量2X 12X22X n2 所服从的分布称为自由度为n 的2 分布，记为22 (n)性质： E2 (n)n, D2 (n)2n设X2 (m),Y 2 (n) 且 相 互 独 立 ， 则XY 2 (m n)(2)t分布：设随机变量XN(0,1),2( )独立，则随机变量： TX所服Yn ，且 X 与 YY n从的分布称为自由度的n 的 t 分布，记为 T t (n)n1x 2性质： E (T ) 0 (n 1), D (T )(n2) limfn

12、 ( x)(x)e 2n22n(3)F 分布：设随机变量 U2 (n1),V 2 (n2 ) ，且 U 与 V 独立，则随机变量 F (n ,n)U n112V n2所服从的分布称为自由度( n1, n2 ) 的 F 分布，记为 F F (n1,n2 ) ，性质：设 X F ( n1, n2 ) ，则 1 F (n2, n1)X七、参数估计1. 参数估计(1)定义：用( X 1, X 2 ,X n ) 估计总体参数，称( X 1, X 2 ,X n ) 为的估计量，相应的( x1 , x2 , xn ) 为总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.

13、 点估计中的矩估计法： （总体矩 =样本矩）精选资料，欢迎下载。n样本均值： XE( X)1X i或 X E(X)xf (x, )dxn i1求法步骤：设总体 X 的分布中包含有未知参数 1, 2, k ， 它 的 前 k 阶 原 点 矩iE( X i )(i1,2, k)中包 含 了未知 参数1 , 2, , k ，即igi (1, 2, k )(i1,2, k ) 。又设 x1 , x2 , xn 为总体 X 的 n 个样本值，用样本矩Ai1 nX ij (i1,2, k ) 代替i ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数n j 11,2 , ,k 的矩估计量1,2 ,k3. 点

14、估计中的极大似然估计极大似然估计法：X1,X 2,X n 取自 X 的样本，设X f ( x,) 或 X P( x,) ，求法步骤：nn似然函数： L ()f (xi,)或Pi ( )i 1i1nn取对数： ln L()lnf ( xi , )或 ln L ( )ln pi ()i1i 1解方程：ln L0,ln L11 ( x1 , x2 , x n )0 ，解得：1kkk ( x1 , x 2 , xn )4. 估计量的评价标准设( x , x2,x) 为未知参数的估计量。 若 E( ）= ，1n无偏性估则称为的无偏估计量。计设11 (x1 , x, 2 , xn ) 和 22 (x1 ,

15、 x,2 , xn ) 是 未量的有效性知 参 数的两个无偏估计量。若 D( 1)D(2)，则称评价1 比 2有效。标准设n 是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有一致性lim P(|n|)0, 则称 n 为的一致估计量 （或相合估n计量）。精选资料，欢迎下载。5. 单正态总体参数的置信区间估计枢轴量置信水平为 1条件枢轴量分布的置信区间参数八 、已知x假N(0,1)x z, x z2Znn/ n22设验未知2检xt (n 1)x t (n 1) S , x t (n 1) ST2n2nS /n1.已知设验基概未知2n2n2假nX i( X i)( X i)222i1(n)i 1,i 1检2

16、( n)2(n)21的2本222(n 1)(n2(n1)S2念2(n 1)S1)S,222(n1)2(n 1)12基假设检验的统计思想是小概率原理。本这里所说的小概率事件就是事件 KR ，其概率就是显著性水平，思想通常我们取 =0.05 ，有时也取 0.01或 0.10 。基 1. 提出原假设 H0；2. 选择统计量 K；3. 对于查表找分位数；本4. 由样本值 x1 , x2 , xn 计算统计量之值 K；将 K 与 进行比较，作出步骤判断：当 |K |(或 K) 时拒绝 H0，否则认为接受H0。当 H0 为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，第一类我们把客观上 H0成立判为

17、H0 为不成立（即否定了真实的假设） ，错误称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即： P 拒绝 H0| H0 为真 = ；当 H1 为真时， 而样本值却落入了接受域， 按照我们规定的检验法则，应当接受0。这时，我们把客观上0 不成立判为0 成两HHH立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或类第二类错错误第二类错误，记为犯此类错误的概率，即：误P 接受 H0| H1 为真 =。人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容两类错量 n 一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变误的关系大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。2. 单正态总体均值和方差的假设检验精选资料，欢迎下载。统计量条件已知2未知2未知已知（少见）原假设H 0 :0H 0 :0