2018年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷

1、2018 年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.已知 a、 b 分别表示直线， 表示平面，若b? ，则“ ab”是“ a”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.B. y=arcsin（ sinx）和 y=sin（ arcsinx）C. y=x 和 y=arccos（ cosx）D. y=x（ x0 ， 1 ）和 y=x2（ x0 ， 1 ）3.如图，点C 是半径为1 的扇形圆弧上一点，=0 ，|=|=1，若=x+y，则 2x+y

2、的最小值是（）A.B. 1C. 2D.4.已知函数f（x）=3（ x-5）3+2x-8， an 是公差不为0 的等差数列， f（ a1）+f（ a2）+f（ a2017） =4034 ，则 f（a1009）的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 5二、填空题（本大题共11 小题，共55.0 分）5. 行列式中，元素-5的代数余子式的值是_6. 函数 f （ x） =2sin4x-3cos4x 的最小正周期是 _7.已知 -1， a， x， b， -9 成等比数列，则实数x 的值是 _8. 已知集合 U=-2 ，-1，0，1，2， 3， 4 ，A= x|x2-90， xZ ，则集合 ?U A 用

3、列举法表示为 _9. 已知abc Rc为实常数，则不等式的性质“ab?a+cb+c、 ，”可以用一个函数在 R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是f（ x） =_10. 已知复数 z=（ a+1 ）+ai i（ i 是虚数单位） 是虚数，且 |z|=1，则实数 a 的值是 _11.已知向量，若，则实数 x=_ 12.ABC的三个内角A=45 B=75 C=60 ，则该三角形的外若 ，且面积接圆半径是 _13.设n N* ，其中 且 n2，若 a0+a1+a2 +an=1022 ，则 n=_第1页，共 15页14.已知函数，则满足不等式的 x 的取值范围是 _15. f x）和gx | - |

4、 1f x设 、 分别是函数（ ）的零点，若存在、 ，使得，（）和g（x）“零点相关”若函数f（ x）=10 x-1 +x-2 和 g（x） =lg （ x2-kx-k+4）“零点相关”，则实数 k 的取值范围是_三、解答题（本大题共5 小题，共75.0 分）16. 如图，圆柱的底面圆 O 在圆锥的底面上，上底面圆O的圆周将圆锥的侧面积分成相等的两部分，已知圆锥的底面半径为 2，高为 4（ 1）求圆锥的侧面展开图所对的圆心角的弧度数；（ 2）求圆锥的体积17.已知 f （ x） =asinxcosx+bcos2x+2 ，其中 a、b 是常数（ 1）若 a=3，求函数f（ x）的最大值及相应的x

5、 的值；（ 2）若 a=2b，且集合，求实数 b 的取值范围18.设 F1（ -1，0）、 F 2（ 1， 0）分别是椭圆的左、右焦点，过F1 且斜率不为零的直线l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点， ABF 2 的周长为（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）是否存在直线 l，使得 ABF 2 为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由第2页，共 15页19. 已知函数 f（ x） =2x，若点 P（ x0， y0）在 y=f （x）的图象上运动，则点Q（ y0+1，2x0+1）在 y=g（ x）的图象上运动（ 1）求 F （x） =f（ x） +f（ -x）的最小值，及相应

6、的x 值；（ 2）求函数 y=g（ x）的解析式，指出其定义域D，判断并证明 G（ x） =f（x）+g（ x）在 D 上的单调性；（ 3）在函数 y=f （ x）和 y=g（x）的图象上是否分别存在点 A、 B 关于直线 y=x-1 对称，若存在，求出点 A、 B 的坐标；若不存在，请说明理由20. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了A、 B、 C 三款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1， 2，4，8，001，再接下来的三项1，2，4，8，16， ，其中第一项是

7、 2，接下来的两项是 2 ，2是 20， 21，22，以此类推，试根据下列条件分别求三款软件的激活码（ 1） A 款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方；（ 2） B 款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和；（ 3） C 款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数N0： N0 1000；该数列的前 N0 项和为 2 的整数幂第3页，共 15页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：b? ，若 ab，则 a 与 关系不确定，即 a不成立，即充分性不成立，若 a，则则 a，b 位置关系不确定，即必要性不成立，则 “ab”是“a”的既不充分也不必要条件，故选：D根据充分

8、条件和必要条件的定 义结合空间直线和平面平行的位置关系 进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合空间直线和平面的位置关系是解决本 题的关键比较基础【答案】 D2.【解析】A y=logx义域为R，y=x ，函数的定义域为x|x 0 ，解：22 =x，函数的定两个函数的定 义域不相同，不是同一函数By=sin（arcsinx）的定义域为 -1，1，y=arcsin（sinx）的定义域是 R，两个函数的定 义域不相同，不是同一函数值， ，y=x 的值域是 R，不是相同函数Cy=arccos（cosx）的 域是 -Dy=x 对应的点为（0，0），1（，1），y=x2 对应的点为（0，

9、0），1（，1），两个函数是同一函数，故选：D分别判断两个函数的定 义域和对应法则是否一致即可本题主要考查同一函数的判断，根据同一函数的定义判断定义域，对应法则或值域是解决本 题的关键3.【答案】 B【解析】解：法一：C 是半径为 1 的扇形圆弧上一点，=0，|=|=1，|OC|=1，第4页，共 15页 =x+y，两边同时平方可得，=，1=x2+y2，令 x=cos，y=sin ，则 2x+y=2cos+sin = sin（+）其中 sin = ，cos=，即所求的最小 值是 1；法二：C 是半径为 1 的扇形圆弧上一点，=0，|=|=1，以 OQ，OB 所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标

10、则=（1，0），系，=（0，1）|OC|=1，x2 2，+y =1=x+y=（x，y），两边同时平方可得，=，1=x2+y2，令 2x+y=b 可得 y=-2x+b ，则当直线 y=-2x+b 经过（0，1）时，b 取得最小 值 1，即所求的最小 值是 1，故选：B法一由=x+y，可求得 1=x22，令x=cos，y=sin ，结+y，合三角函数的性 质可求最小 值；法二：以OQ，OB 所在的直 线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐 标系，则=（1，0），=（0，1），由|OC|=1，可知 x2+y2=1，令 2x+y=b 可得 y=-2x+b ，结合直线与圆的位置关系即可求解第5页，共 15页

11、本题主要考查了向量数量 积的运算性 质的灵活应用，解题的关键是三角函数性质的灵活应用4.【答案】 C【解析】3，可得 （）（3（），解：f（x ）=3（x-5）+2x-8f x -2=3 x-5+2 x-5令 g（x）=f（x）-2，对g（x ）关于（5，0） 称，f（a）+f（a ）+ +f （a）=4034，122017f（a）-2+f（a ）-2+ +f （a）-2=0， 122017g（a1）+g（a2）+g（a2017）=0，g（a1009）为 g（x）与x 轴的交点因为 g（x）关于（5，0）对称，所以 a1009=5，3f（a1009）=3（5-5）+25-8=2故选：C根据 f

12、（x）=3（x-533）+2x-8，可得f （x）-2=3（x-5）+2（x-5 ），构造函数g（x）=f （x）-2，从而 g（x）关于（5，0）对称，利用 f （a1）+f（a2）+f （a2017）=4034，可得g（a1）+g（a2）+g （a2017）=0，从而g（a1009）为 g（x）与x 轴的交点，然后求解 f （a1009）本题考查数列与函数的 综合，考查函数的对称性，考查数列的性 质，需要一定的基本功5.【答案】 -6【解析】解：行列式中，元素-5 的代数余子式的 值为：2+2（-1）=-6故答案为：-6利用行列式的代数余子式的定义直接求解第6页，共 15页本题考查行列式的

13、代数余子式的求法，考 查行列式展开法 则、行列式的代数余子式的定 义等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题6.【答案】【解析】解：函数f （x）=2sin4x-3cos4x=sin（4x+）=sin（4x+），其中tan =- ；f（x ）的最小正周期是 T=故答案为： 化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的 图象与性质求出它的最小正周期本题考查了三角函数的 图象与性质的应用问题，是基础题7.【答案】 -3【解析】解：-1，a，x ，b，-9成等比数列，实数 x=-=-3故答案为：-3利用等比数列的通 项公式直接求解本题考查实数值的求法，考查等比数列的性 质等基础知识，考查运算求解能力，

14、是基础题 8.【答案】 3 ， 4【解析】解：集合U=-2 ，-1，0，1，2，3，4 ，A=x|x 2-90，xZ=x|-3 x3，xZ=-2 ，-1，0，1，2 ，则集合?UA=3 ，4 故答案为：3 ，4 化简集合 A，根据补集的定义写出 ?UA本题考查了集合的化 简与运算问题，是基础题9.【答案】 x-c【解析】第7页，共 15页解：令f（x）=x-c，则 f （x ）在R 上是增函数，若 a+cb+c，则 f（a+c）f（b+c），即a+c-cb+c-，即ab故答案为：x-c利用 f （x）=x-c 的增函数性 质可得本题考查函数的单调性，属中档题10.【答案】 0【解析】解：z=

15、（a+1）+aii=-a+ （a+1）i，z 是虚数，a+1 0，即a-1，由 |z|=1，得=1，即 2a2+2a+1=1，即 a2+a=0，得a=-1（舍）或a=0，故答案为：0根据复数的运算法 则先化简 z，结合复数的模 长为 1，进行求解即可本题主要考查复数模长的应用，结合复数的运算法 则进行化简是解决本 题的关键11.【答案】 3【解析】解：；2（x2t+3）-6（2t+1）=2x?2t-6?2t=0；2t0；2x-6=0；x=3故答案为：3可求出，根据即可得出tt2x?2-6?2=0，从而得出 x 的值考查向量坐标的加法和数乘运算，以及平行向量的坐 标关系第8页，共 15页12.【

16、答案】 2【解析】解：A=45，B=75，C=60，设三角形的外接 圆半径是 R，则由正弦定理，可得：=2R，可得：b=2Rsin75，c=2Rsin60，面积，= bcsinA=2Rsin75 2Rsin60 sin45 =，解得：R=2故答案为：2设三角形的外接 圆半径是 R，则由已知及正弦定理可得b=2Rsin75，c=2Rsin60 ，根据三角形的面 积公式即可 计算得解本题主要考查了正弦定理，三角形的面 积公式在解三角形中的 应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题13.【答案】 9【解析】解：在已知等式中，取 x=1，可得 a0+a1+a2+ +an=21+22+23+ +2n

17、= =1022，2n-1=511，则 2n=512，即 n=9故答案为：9在已知等式中，取 x=1，结合等比数列的前 n 项和求解得答案本题考查二项式定理及其 应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基 础题14.【答案】 - ， - 【解析】第9页，共 15页解：函数，2 cos（-x） 2 cosx则 f（-x）=（-x）-2=x -2 =f（x），f（x ）是定义域 -， 上的偶函数，且在 0， 上是增函数；不等式可化为，解得 -x- ，x 的取值范围是-，-故答案为：-，-判断函数 f（x）是定义域内的偶函数，且为增

18、函数；把不等式转化为等价的不等式组，求出解集即可本题考查了函数的奇偶性与 单调性应用问题，是中档题15.【答案】 2， 3【解析】解：根据题意，函数 f （x）=10x-1+x-2，易得 f （1）=100+1-2=0，即函数 f （x）的零点 为 1，g（x）=lg（x2-kx-k+4 ），若g（x）=0，则 x2-kx-k+4=1 ，变形可得x2-kx-k+3=0 ，则 为方程 x2-kx-k+3=0 的根，设 h（x）=x2-kx-k+3 ，h（x）=x2-k（x+1）+3，必过点（-1，4），如图；若函数 f（x）=10x-1+x-2 与 g（x）=lg（x2-kx-k+4 ）“零点相

19、关 ”，则有函数 f（x）=10x-1 +x-2 与 h（x）=x2-kx- k+3“零点相关 ”，则 |1- | 1，第10 页，共 15页即 02，必有 h（0）h（2）0 或，解可得：2k3，即 k 的取值范围为 2，3；故答案为：2，3根据题意，由函数 f（x）的解析式分析可得 f（x）的零点为 1，对于 g（x），由对数函数的性 质分析可得 为方程 x2-kx-k+3=0 的根，设 h（x）=x2-kx-k+3 ，分析可得 h（x）必过点（-1，4），由“零点相关 ”的定 义分析可得 |1-| 1，即02，结合二次函数的性 质分析可得 h（0）h（2）0 或，解可得 k的取值范围，即

20、可得答案本题考查函数的零点，涉及新定 义题型的考查，注意将原问题转化为判断函数的图象的零点的取 值范围问题16.【答案】 解：（1）由圆锥的底面半径为24l =，高为，可得母线长圆锥的底面周长为2 2=4，即圆锥的侧面展开图所对的弧长为4，侧面展开图所对的圆心角的弧度数为；（ 2）圆锥的体积V=【解析】（1）由已知求得圆锥母线长及圆锥的侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的弧度数；（2）直接由圆锥体积公式求解 圆锥的体积本题考查弧长公式的应用，考查圆锥体积的求法，是基础题17.【答案】 解：（ 1） f（ x） =asinxcosx+bcos2x+2，其中 a、 b 是常数由于：若a=

21、3，第11 页，共 15页所以： f（ x）=，=，当 2x+ =2k（ kZ），即：（ kZ）时，函数的最大值为（ 2）由于 a=2 b，故： f（ x） =asinxcosx+bcos2x+2，=+2，当 sin（ 2x+ ）=1 时，函数f（ x）的最大值为2+集合，说明，即：，所以： b 1【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等 变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最 值（2）利用a 和 b 的关系式，进一步对函数的关系式 进行变换，再利用参数和函数的最大 值之间的关系求出参数的取 值范围本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变变换，正弦型函数的性质的应用，主

22、要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型18.， a2-b2=1 ，【答案】 解：（ 1）依题意， 4a=4a= ， b=1 ，故椭圆 C 的方程为+y2=1，（ 2）不存在理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即 |AF 2| |BF2|由题意知 F 2（ 1， 0），设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），假设 |AF 2|=|BF2 |，则（ x1-1） 2+y12=（x2 -1）2+y2 2，22=1，代入上式，消去22又 +y1 =1 ，+y2y1， y1 ，得：（ x1-x2 ）（ x1+x2-4）=0 直线 l 斜率存在，直线 l 不垂直于 x 轴， x1x

23、2，故 x1+x2=4（与 x1 ， x2， x1+x2 2 4，矛盾）联立方程，得：（ 2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0 ，第12 页，共 15页x1+x2=-=4 ，矛盾故 |AF2 | |BF2|再证明 AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰，假设 ABF 2 为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点设 |AF1 |=m，则 |AF2|=2 -m，在 AF 1F 2 中，由勾股定理得： m2+（ 2 -m）2=4 ，解得 m= ，此时显然 |AB | |AF2|，ABF 2 为不为等腰直角三角形，故不存在这样的等腰直角三角形【解析】（1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2-c

24、2=2-1=1即可求得椭圆方程；类讨论设，利用作差法，即可求得（与，（2）分，假|AF2|=|BF2|x1+x2=4x1x2x24，矛盾），将直线方程代入 椭圆方程由韦达定理：， 1+x2x+x =-=4，矛盾故|AF| |BF再证明 AB 不可能 为等腰直角三角形1222的直角腰由勾股定理得：m2+ 22m=时显-m =4，解得，但此然（）|AB| |AF故不存在这样的等腰直角三角形2本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，分类讨论思想，属于难题19.【答案】 解：（1） （ ）（）（）x-x=2x=2- x，当且仅当F x=f x+f-

25、x =2 +2即 x=0 时取等号，即 F （x）的最小值为 2，对应的 x 为 0，（ 2）设 Q（ x，y），则，又 y0= ，所以 y=2log 2（ x-1） +1，由 x-1 0，得 x 1，即 g（ x）=2log 2（x-1） +1，定义域为：（ 1， +），G（ x） =f（ x） +g（ x）=2x+2log 2（ x-1）+1，设 1 x1 x2，则 G（ x1 ）-G（ x2） =（2 -2 ） +2log 2（ x1-1） -（ log2（ x2-1） 0，即 G（ x） =f（ x） +g（ x）在 D 上为增函数，（ 3）设函数 y=f（ x）和 y=g（ x）的图

26、象上分别存在点 A、 B 关于直线 y=x-1 对称，不妨设 A（ m， n）， B（ a， b），第13 页，共 15页则有：，解得：，故存在 A（ -2， ）， B（ ， -3）关于直线y=x-1 对称【解析】（1）由重要不等式得：F（x）=f（x）+f（-x）=2x+2-x，当且仅当 x=2-x，=2即 x=0 时取等号，2）由轨迹方程的求法得：设 Q（x ，y），则，又y0=，所以y=2log2（x-1）+1，（3）由点的对称问题得：不妨设 A （m，n），B（a，b），则有：，解得：，得解本题考查了重要不等式、求轨迹方程及点的 对称问题，属综合性较强，难度较大的题型20.【答案】 解：（ 1）由题意，可以将数列排成如下形式：1，1， 2，1， 2， 4，1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16，由 2 的整数幂可知第一个三位数是27=128，又由数列的特点，可知：第二个三位数是27=128 ，第三个三位数是28=256，第四个三位数是 27=128观察排成的数