2019-2020学年北京市顺义区高三(上)期末数学试卷

1、2019-2020 学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1. 设集合 ? = ?|(?-3)(?+ 1) 0 ，?= ?|0 ? 4 ，则 ? ?= ( )A. (0,3)B. (-1,4)C. (0,1)D. (-1,3)2. 设复数 ?= 1+2?，则 z在复平面内对应的点在 ( )1-?A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.3.若 ?=log 3 0.2 ， ?= 20.2 ， ?= 0.22 ，则 ()A. ? ? ?B. ? ? ?C. ? ? 1，则下列不等式一定正确的是( )第四象限? ? 2B. ?+ ? 2C. ? 25

2、.20) 的焦点是双曲线22抛物线 ? = 2?(? -? = ?的一个焦点，则 ?= ( )A. 22B. 8C. 4D. 16.如图，一个简单空间几何体的三视图与侧视图都是边长为2 的正三角形， 俯视图是正方形，则此几何体的侧面积是( )A.4+43B. 8C.4 3D. 127.设非零向量 ?， ?满足 (?-2?，则“?”是“ ?与? 的夹角为”的( )?)?|?| = |?|?3A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件1) 2的图象与 ?(?)= |?+?8.当 ?0,1时，若函数 ?(?)= (?-2 |的图象有且只有一个交点，则正实

3、数m 的取值范围是 ()A. 2, +)55D. (0,1B. (0,2 2 ,+) C. 2 , +)2, +)二、填空题（本大题共6小题，共30.0 分）?9.sin (- 6) 的值是 _ 10.为公比 ? 1的等比数列 ?的前 n 项和，且3?， 2? ， ?成等差数列，则设 ?3?12?= _， ?4 = _2?11.? ,? 0，则函数 ?= ?(?)-1 的零点是 _若函数 ?(?)= 21, ? -012.在 ?中，若 ?=8， ?+ ?= 7，?=?= _，则313.22直线 l ：?= ?+ 1 与圆 O：? + ? = 1相交于 A，B 两点，当 ?的面积达到最大时， ?

4、=_第1页，共 12页14.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 y，观影人数记为x，其函数图象如图 (1) 所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图 (2) 、图 (3) 中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象给出下列四种说法： 图 (2) 对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图 (2) 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图 (3) 对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图 (3) 对应的方案是：提高票价，并降低成本其中，正确的说法是_. (填写所有正确说法的编号 )三、解答题（本大题共6 小题，共80.0 分）15.函数 ?(?)

5、= ?-3sin 2?+ 3 (? 0) 的部分图象如图所示2( ) 求?的值；? ?( ) 求?(?)在区间 -3 , 3 的最大值与最小值及对应的x 的值16. 已知四棱锥 ?- ?中，底面 ABCD 是正方形， ?平面 ABCD ， ?= ?，E是 PB 的中点( ) 求证：平面 ?平面 PCD ；( ) 求二面角 ?- ?- ?的大小；( ) 试判断 AE 所在直线与平面PCD 是否平行，并说明理由第2页，共 12页17.某学校高三年级有 400 名学生参加某项体育测试， 根据男女学生人数比例， 使用分层抽样的方法从中抽取了 100 名学生，记录他们的分数， 将数据分成 7 组：30,

6、40) ，40,50) ，90,100 ，整理得到如图频率分布直方图：( ?)若该样本中男生有55 人，试估计该学校高三年级女生总人数；( ) 若规定小于60 分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；( ) 若规定分数在 80,90) 为“良好”， 90,100 为“优秀” .用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X 的分布列和数学期望第3页，共 12页218.已知函数 ?(?)= ? -2?，其中 ?( ) 当?= 2 时，求曲线 ?= ?(?)在点 ?(1,?(1)处的切线方程；( ) 若函数 ?(?

7、)存在最小值Q，求证： ? 12 219. 已知椭圆 C： 3? + 4? = 12 ( ) 求椭圆 C 的离心率；( ) 设 A，B 分别为椭圆 C 的左右顶点，点 P 在椭圆 C 上，直线 AP， BP 分别与直线 ?= 4 相交于点 M， ?当.点 P 运动时，以 M，N 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点？试证明你的结论20. 若无穷数列 ? 满足：只要? = ?(?,?)，必有?= ?，则称 ?具有性?+1?+1?质 P( ) 若?具有性质 P，且 ?1= 1，?2 =3， ?4= 1，?6 + ?7 + ?8 = 19，求 ?3；( ) 若无穷数列 ? 是等差数列， 无穷数列 ?

8、是等比数列， ? = ? = 1，?= ?=?144164， ? = ?+ ?.判断 ?是否具有性质P，并说明理由；?，?( ) 设? 是无穷数列， 已知 ?= ?+(? ? ). 求证：“对任意?都?+1?1?具有性质 P”的充要条件为“?是常数列”第4页，共 12页答案和解析1.【答案】 A【解析】 解： ? = ?|-1 ? 3 ， ?= ?|0 ? 4 ，? ?= (0,3) 故选： A可以求出集合M，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】 B【解析】 解： ?=1+2?(1+2?)(1+?)131-

9、? =(1-?)(1+?) = -2+ 2?，13?在复平面内对应的点的坐标为(-2 , 2 )，在第二象限故选： B利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.【答案】 A【解析】 解： ?= log 30.2 1，?= 0.22 (0,1) ，? ? ?故选： A利用指数函数、对数函数的单调性即可得出本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】 D【解析】 解：当 ?= 63， ?=5时， ?=154= 248 2，故 B错；而1= 4 1= 2，故 C错；?5?

10、3因为： ? 0 ， ? 0 ， ?D+ 2+ 2对?，而 ? ?，所以 ? ?，故故选： DA， B， C 均可取反例排除，对于D ，利用基本不等式说明即可本题主要考查基本不等式的应用以及排除法在解选择题中的应用，属于基础题目5.【答案】 B【解析】 解：抛物线222?的一个焦点，? = 2?(?0) 的焦点是双曲线 ? -? =?可得 2 = 2?，解得 ?= 8故选： B求出双曲线的焦点坐标，与抛物线的焦点坐标，得到方程求解即可本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题第5页，共 12页6.【答案】 B【解析】 解：由已知中几何体的三视图中，正视图与侧视图都是边长为

11、 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形可得这个几何体是一个正四棱椎，且底面的棱长为2，棱锥的高为 3 ，其侧高为21则棱锥的侧面积?= 4 2 2 2 = 8故选 B根据已知中一个简单空间几何体的三视图中， 其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，我们可以判断出该几何体为一个正四棱锥，进而求出其底面棱长及侧高，代入棱棱侧面积公式，即可得到答案本题考查的知识点是由三视图求侧面积， 其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键7.【答案】 C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题由平面向量的数量积运算结合充

12、分必要条件的判定方法得答案【解答】(?- 2?，解：因为)?所以 (?- 2?) ?= |?2?，- 2|?|?|cos= 0即|? =2|?cos ，由? ，得 cos = 1 ，则 ?与 ? 的夹角为|?|=| ?|2?反之，由 ?与 ?的夹角为 3 ，得 |? = |?.?；3非零向量 ?， ? 满足 (?- 2?，则“?”是“ ?与 ? 的夹角为”的充分必要?)?|?| = |?|?3条件故选： C8.【答案】 B【解析】 解：因为由于m 为正数，所以?(?)= (?-1) 2 为二次函数，在区间 (0,11?) 为减函数， ( ? ,+)为增函数，函数 ?(?)= |?+?|为增函数

13、， ?(?)?,1 +?222 1 当 0 1 时，有 ? 1，所以 ?5或1 ?2，22第6页，共 12页综上， m 的取值范围是(0,2 5 ,+)2故选： B根据条件求出?(?)和 ?(?)的值域，在由 ?(?)与 ?(?)的图象有且只有一个交点分0 1两种情况得到关于m 的不等式，然后求出m 的取值范围本题考查函数图象的交点问题， 涉及函数单调性的应用， 关键是确定实数 m 的分类讨论，属难题19.【答案】 - 2?1【解析】 解： sin (- 6 ) = - sin 6 = -21故答案为： -2根据诱导公式 sin (-?)= -?，我们可将找到 sin (-?6) 与sin6

14、的关系， 进而根据特殊角三角函数值，得到答案本题考查的知识点是诱导公式的作用，其中根据诱导公式sin (-?) = -?，将求?sin (-6 )的值转化为求特殊角的三角函数问题，是解答本题的关键10.【答案】 3 10【解析】 解：?为公比 ? 1的等比数列 ? 的前 n 项和， 且3?，2? ，?成等差数列，?123可得 4?2= 3?1 + ?3，2即有 4?= 3? + ?，111即 2? - 4?+ 3 = 0，解得 ?= 3(1 舍去 ) ，? (1-3 4 )?4=1= 40?1， ? = 4?，1-321?440?1则? =4?= 10，21故答案为：3， 10由等差数列的中项

15、性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题11.【答案】 0，2【解析】 解：当 ? 0时，令? = 1 ，解得 ?= 0；当 ?21 = 1，解得 ?= 2或?= - 2( 舍)0时，令 ? -则函数 ?=?(?)-1的零点是0，2故答案为：0， 2由零点定义直接计算即可本题考查函数的零点求解，属于基础题12.【答案】 5?【解析】 解： ?= 8 ， ?+ ?= 7， ?= 3，2222?，可得22222-由余弦定理 ? = ? + ? -? = ?+

16、?-?= (?+ ?) - 3?= 7第7页，共 12页38= 25，?= 5 故答案为： 5由已知利用余弦定理即可求解本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题13.【答案】 1221 的圆心坐标为 (0,0) ，半径 ?= 1，【解析】 解：圆 O： ? + ? =把直线 l 的方程为 ?= ?+ 1 化为一般式方程得： ?-?+1= 0，圆心 ?(0,0)到直线 AB 的距离 ?=1，2弦 AB 的长度 |?|= 2?- 1+? =21- ?，222121-? 2 +?21，? ?=2 |?|?= ? 1-?2=221取得最大值，最大值为1，当且仅当 ?=时取等

17、号， ?2 ?221 ，即 ?= 1，此时?=故答案为： 11求出圆心 ?(0,0)到直线 AB 的距离 ?=2 ，和 |?|，根据面积最大，求出k 的值 1+?考查直线和圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，面积的最值，中档题14.【答案】 【解析】解：由图可知， 点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2) 降低了成本，但票价保持不变，即 对；图 (3) 成本保持不变，但提高了票价，即 对；故选： 解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题15.【答案】 解： ( )因为 ?(?)= ?-3sin 2 ?+ 32

18、11 - ?2?3=?2?-3?2+2213+33=?2?-?2?+222213?2?=?2?+22?= sin (2?+ 3) ；2?5?(?)的最小正周期 ?= |2?| = 2( 6 -3 ) (? 0)?= 1? ?(?)?-,3 3?2?+ 3 -3 , ?3sin (2?+ 3) -2 ,1 ；第8页，共 12页?3当 2?+3 = -3 即?= -3 时，函数取最小值-2；?=?2?+ 3= 2 即12 时，函数取最大值 1-? ?3?(?)在区间,的最大值为13 32，最小值为 -【解析】 ( )化简函数 ?(?)，求出 ?(?)的解析式，结合图象求出T，进而得到 ?；? ?(

19、 )利用正弦函数的图象与性质，求出?-3 , 3 时函数 ?(?)的取值范围本题考查了函数 ?= ?(?+?)的图象与性质的应用问题， 也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目16【.答案】( ) 证明：?是正方形，?平面 ABCD ，? 平面 ABCD ，?= ?， PD ， ? 平面 PCD ，?平面 PCD 又 ? 平面 PBC，平面 ?平面 PCD ；( )解： ?平面 ABCD ， AD ， ? 平面ABCD ，?， ?，又 ?是正方形， ?， DC， DP 两两垂直以 D 为原点如图建系，设?= ?= 1 111则 ?(0,0， 0) ， ?(1,0， 0) ， ?(0,1， 0

20、) ， ?(1,1， 0) ， ?(0,0，1) ，?( , ).222?= (1,0,0), ?= ( 1 , 1 , 1) ，222又 ?平面 ABCD ， 平面 ADB 的法向量为设平面 ADE 的法向量 ?= (?,?,?)，?= ?= 0则 ? ?， ? ?， ?11?= 2 ?+ 2 ?+?=? (0,0,1) 1 ，2 ?= 0令 ?= 1，得 ?=-1 ，?=0 ，?=(0, -1,1) ?=?1?22|?|?|?|二面角 ?-?-?的大小为 45 ；( )解： ?，?， ?= ?，又 PD， ? 平面 PCD ，?平面 PCD ，平面 PCD 的法向量为 ?= (1,0,0)

21、 又 ?1 1 1? ?1 0= (-2 ,2 ,2 )， ?=- 2?AE 与平面PCD 不平行与不垂直，即?【解析】 ( ) 由 ABCD 是正方形， 得 ?再.由 ?平面 ABCD ，得 ?利.用线面垂直的判定可得 ?平面 ?则.有平面 ?平面 PCD ；第9页，共 12页( )证明 DA ，DC ，DP 两两垂直 以 D 为原点建系， 设 ?= ?= 1.分别求出平面ADB与平面 ADE 的一个法向量， 由两法向量所成角的余弦值可得二面角?- ?-?的大小；( )证明 ?平面 PCD ，求得平面 PCD 的法向量为 ?= (1,0,0)?111，再由 ?= (-,2, )，22?1与不

22、?垂直，即 AE 与平面 PCD 不平行?= -2 0.可得 ?本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题17.人，则女生45 人【答案】 解： ( ?)样本中男生有 55估计总体中女生人数45人400 = 180100-(?)设“不及格”为事件A，则“及格”为事件，?-?(?)= 1 - ?(?) = 1 - (0.2 + 0.4 + 0.2 + 0.1) = 0.1( ?)设“样本中“良好”或“优秀”为事件B，则 ?(?)= 0.2 + 0.1 = 0.3 ，依题意可知： ?(3,0.3)，?(?=0)= 0.73，?(?= 1)1

23、10.72，= ? 0.33?(?= 2)220.71，= ? 0.33?(?=3)= 0.33，所以， X 的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027?(?)= ?= 3 0.3 = 0.9【解析】 ( ?)样本中男生有55 人，则女生45 人，由此能估计总体中女生人数-(?)设“不及格”为事件A，则“及格”为事件，由此能估计该学生不及格的概率?( ?)设“样本中“良好”或“优秀”为事件B，则 ?(?)= 0.2 + 0.1 = 0.3，依题意可知： ? ?(3,0.3)，由此能求出X 的分布列及数学期望本题考查概率、 离散型随机变量的分布列、 数学期望的求法， 考查二项

24、分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题218.【答案】 解： ( ) ?= 2时， ?(?)= ? - 4?，?(1) = 1，? (?)= 2?-4 ，?切线斜率 ?= ?(1)= 2- 4 =-2 ，曲线 ?= ?(?)在点 ?(1,?(1)处的切线方程为：?- 1 = -2(? - 1) 即： 2?+ ?-3= 0，2?2( ) ? (?)=2(? -?)2?- ? =?(? 0) ， 当 ? 0时， ? (?)0 恒成立 ?(?)在 (0, +)单调递增， ?(?)无最小值， 当 ? 0时，由 ? (?)= 0得 ?= ?或 ?= - ?(舍 )，?(0, ?)时，? (?) 0，

25、?(?)在( ?,+)单调递增所以 ?(?)存在最小值， ?= ?(?)= ?- ?，下面证明 ? 1设函数 ?(?)= ?- ?(? 0) ，?(?)= 1 - (?+ 1) = -?第10 页，共 12页由 ?(?)= 0得 ?= 1，易知 ?(?)在 (0,1) 单调递增，在 (1, +)单调递减所以 ?(?)的最大值为 ?(1) = 1，所以 ?(?) 1恒成立， ? 1 得证【解析】 (?)根据导数的几何意义可先求出切线的斜率，进而可求切线方程，(?)先对函数求导，结合 a 的范围可判断导数的正负，进而可判断函数的单调性，结合单调性可求 Q 的范围本题考查了函数的导数的几何意义应用，

26、同时考查了函数在闭区间上最值，属于中档题222219.【答案】 解： ( )由?4 +3=1得4+3=1，22那么?= 4，?=3，222所以 ?= ? -?= 1，?1；解得 ?= 2， ?= 1所以离心率 ?= =2?( )解法一： ?(-2,0) ，?(2,0)，设 ?(?22，,?) ，则?：3? + 4? = 120 000?直线 AP 的方程： ?= ?+20 (?+ 2) ，06?06?0令 ?= 4，得 ? =?+2，从而 M 点坐标为 (4, ? +2 ) ，00直线 BP 的方程： ?=?0(?- 2) ，?0-2令 ?= 4，得 ? =2?，从而 N 点坐标为 (4,2?

27、00 ) ，?0 -2?0 -2设以MN为直径的圆经过x轴上的定点?(?1,0) ，则 ?，212?2由 ?0得 (?1 - 4)+ (? +2)(?-2)= 0，? ?= 0002222由 式得 12?=36 -9?0= 9(4- ?)0，代入 得 (?1 - 4)= 9 ，0解得 ? = 1或? = 7，11所以以 MN 为直径的圆是否经过x 轴上的定点 (1,0)和(7,0)解法二： ?(-2,0) ， ?(2,0)设 ?(?22,?)，则 ?：3?0 + 4?0 =0 0212-3?2?03?4，?=0?00= -? +2? -2= 224?-4? -40000，12 ，设直线 AP

28、的方程： ?= ?(?+ 2) ，令 ?= 4，得 ? = 6?，从而 M 点坐标为 (4,6?)，?则直线 BP 的方程： ?= -3 (?- 2) ，4?= 4?3N(4, -3令，得，从而点坐标为) ，?= -2?2?设以 MN 为直径的圆经过x 轴上的定点 ?(?1,0) ，则 ?，由 ?得 (?1 - 4) 2 + (0 - 6?)(0 +3)= 0，?= 02?可得 (?- 4)2 = 9，解得 ? = 1或? =7，111所以以 MN 为直径的圆经过x 轴上的定点 (1,0) 和 (7,0) 【解析】 ( )将方程化成标准方程，可得ab c进而求出离心率；， ，( )分两种方法解题，由题意求出AB的坐标，设直线APBP与?= 4联立求出M，N 的坐标，设 x 轴一点 Q，使得?0 ，求出 Q 的坐标，即为定点?=第11 页，共 12页考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题(?)? = ? = 1，所以 ? = ? = 3，? = ?，? = ? = 1，?