2019年广东省汕头市高考数学二模试卷(理科)(B卷)

1、2019 年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）（B 卷）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.设集合 A=-1 ， 0， 1，2 ，集合 B= y|y=2x， xR ，则 AB=（）A. 0，1B. 1，2C. 0 ，1，2D.（ 0，+）2.已知复数=3+4 i， z =t+i ，且 z是实数，则实数t 等于（）z121A.B.C. -D. -3.记Sn为等差数列n1342，则 a8） a 的前 n 项和，若a =1，2S =2a +S=（A.8B.9C.16D.154.已知向量 ， 的夹角为 ，且 =（ 2， -1）， |=2，则 | +2|=（）A

2、. 2B. 3C.D.5.ABC的周长为12A-20B 20C的轨迹方程为 （）已知 ，且 （， ）， （ ， ），则顶点A.+=1（ y0）B.-=1（y0）C.+=1（）D.-=1（）y0y06.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（）A.B.C.D.成绩在 70， 80分的考生人数最多不及格的考生人数为1000 人考生竞赛成绩的平均分约70.5 分考生竞赛成绩的中位数为75 分7.某学校校运会有4 个项目（包括立定跳远），小珊、大头、笔笔、阿莹4 位同学各自选定一个项目报名参加（互不干扰

3、），则立定跳远这个项目恰有两人报名的方案有（）A.36种B. 54种C. 72种D. 108 种8. 如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）第1页，共 20页A.B.C.D.9.命题 p： ?x0-1 ，1 ，x02-ax0-20为假命题的一个充分不必要条件为（）A.a（-1， ）B.（， ）C. （-1，）D.，11a-1a2a -110.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A. y=xlnx+ x-1B. y=xlnx- x+1C. y= -x+1D. y=+x-111. 已知直线 x= 是函数 f（x）=sinx+acos

4、x 的一条对称轴， 若 x1，x2 满足 f（ x1）?f（ x2）=2，则 |x1+x2 |的最小值为（）A.B.C.D.12.若 0x1 x2 a 都有 x2lnx1-x1lnx2 x1-x2 成立，则a 的最大值为（）A.B. 1C. eD. 2e二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.设变量 x、 y 满足约束条件，则目标函数z=3x-2y 的最大值为 _14.已知双曲线C：-=1（a 0，b 0）的左、右焦点为F 1、 F2，过 F1 且斜率为的直线 l 与 C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若 AF2AF1，则该双曲线的离心率为 _15. 记Sn为数列 a 的前

5、n 项和，若 S2=3，a+1=S +1（nN* ），则通项公式 a =_nnnn16. 长方体 ABCD -A1B1C1D1 中， AB=1，AD =2，AA1=3，P 是棱 DD 1 上的动点， 则PA1C的面积最小时，=_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）第2页，共 20页17. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2 b=3（ c-acosB）（ 1）求 cosA；（ 2 过点 A 作 ADAB 交 BC 的延长线于 D，若 CD=3，2AD=3AC，求 ACD 的面积18.如图，等边三角形PAC 所在平面与梯形ABCD 所在平面互相垂直，且

6、有AD BC ，AB=AD=DC =2， BC=4 （ 1）证明：平面 PAB平面 PAC；（ 2）求二面角 B-PC-D 的余弦值19.已知抛物线D：x2=4 y，过 x 轴上一点 E（不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），与 y 轴交于 C 点（ 1）若=，=，求乘积?的值；1212（ 2）若 E（4， 0），过 A，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M，证明：点 M 在定直线上，求出此定直线方程20. 某工厂 A，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知， A， B 生产线生产的产品为合格品的概率分

7、别为P 和 2p -1（0.5 p1）（ 1）从 A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求 p 的最小值 p0 第3页，共 20页（ 2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0 作为 p的值已知 A，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5 元和 3 元，若从两条生产线上各随机抽检 1000 件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10 元、 8 元、 6 元，现从A， B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检

8、测，结果统计如图：用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求 X 的分布列并估计该厂产量2000 件时利润的期望值21. 已知函数 f（ x） =ex-ax-a（ aR）（ 1）讨论函数 f （x）的极值；（ 2）设 x1， x2 是 f（ x）的两个零点，证明：x1+x2 022. 在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为a 0）以（ 为参数， 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 cos（）=2 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（ 2）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点P 到直线 l 的距离的最大

9、值为3，求 a的值第4页，共 20页23. 已知函数 f（ x） =|2x+2|+|x-1|（ 1）在如图的坐标系中画出 y=f（ x）的图象；（ 2）若 y=f（ x）的最小值为m，当正数a， b 满足=m 时，求 a+2 b 的最小值第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 A=-1 ，0，1，2 ，xA B=1，2 故选：B先分别求出集合 A ，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 A【解析】解：复数 z，（）（）（）1=3+4i z2=t+i= 3+4it-i =3t

10、+4+4t-3i，4t-3=0，t=，故选：A利用两个复数代数形式的乘法，化简题4t-3=0，根据 意可得它的虚部解出实数 t本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位 i 的幂运算性质，化简是解题的难点3.【答案】 D【解析】解：设等差数列 a n 的公差为 d，则由 a1=1，2S3=2a4+S2，得6+6d=4+7d，解得 d=2，所以 a8=a1+7d=1+23=15故选：D设数列 a n 的公差为 d，若a1=1，2S3=2a4+S2，即6+6d=4+7d，得d=2，即可得到 a8本题考查了等差数列的通 项公式、前 n 项和公式，属于基础题 第6页，共 20页4.【答案

11、】 C【解析】题则|=，解：根据 意，=（2，-1）， |又由 |=2 且向量， 的夹角为则+2222， |=+4+4?=21则 |+2|=；故选：C根据题意，由向量的坐标可得 |=进积的计算公式， 而由数量可得|+2|2=2+42+4?，代入数据计算可得答案本题考查向量数量积的计键积的计算公式，属于基础算，关 是掌握向量数量题【答案】 C5.【解析】解：ABC 周长为12，A（-2，0），B（2，0），|AB|=4，|AC|+|BC|=12-4=8，顶点 C 的轨迹是以 A （-2，0），B（2，0）为焦点，以 2a=8为长轴的椭圆，（不含x 轴上的顶点），顶点 C 的轨迹方程为：+=1（y

12、 0）故选：C推导出顶点 C 的轨迹是以 A （-2，0），B（2，0）为焦点，以 2a=8 为长轴的椭圆，（不含x 轴上的顶点），由此能求出顶点 C 的轨迹方程本题考查动点的轨迹方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题6.【答案】 D【解析】解：根据频率分布直方 图得，成绩出现在70，80的频率最大，故 A 正确；不及格考生数 为 10（0.010+0.015）4000=1000，故B 正确；根据频率分布直方 图估计考试的平均分 为450.1+55 0.15+65 0.2+75 0.3+85 0.15+95 0.1=70.5，故C 正确；第7页，共 20页考生竞

13、赛成绩的中位数 为 70+71.67，故D 错误 故选：D因为成绩出现在 70，80的频率最大，故 A 正确；不及格考生数为 10（0.010+0.015）4000=1000，故B 正确；根据频率分布直方 图估计考试的平均分为 70.5，C 正确；估计中位数为 71.67，D 错误 本题考查了频率分布直方 图，以及用频率分布直方 图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力属于基础题7.【答案】 B【解析】解：从四人选 2 人报名立定跳 远，另外 2 人可以 报其他 3 项，则共有33=69=54 种，故选：B先从四人种 选 2 人报名立定跳 远，其他两人从其他三 项进行报名进行计算即可本题主要

14、考查排列组合的应用，先满足报名立定跳 远的两人是解决本 题的关键8.【答案】 C【解析】解：由三视图还 原原几何体，可知原几何体 为组合体，是半径为 2 的球的与半径为的球，其体积 V=故选：C由三视图还原原几何体，可知原几何体 为组合体，是半径为 2 的球的与半径第8页，共 20页为的球，再由球的体积公式求解本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档 题9.【答案】 B【解析】解：若命题 p 为假命题，则：?x-1，1，x2-ax-2 0 成立，即 x2-2 ax，当 x=0 时，不等式等价为-2 0 成立，当 0x1时，ax- ，则 f（x ）=x- 在（0，1上为增

15、函数，则最大值 f （1）=1-2=-1 ，此时 a-1，当 -1x0时，ax-则f （x）=x-为则最小值f（-1），在-1 ，0）上增函数，=-1+2=1，此时 a1，综上-1a1，即命题 p 的等价条件 为-1 a 1，则对应的充分不必要条件 为（-1，1）的真子集，则 a（- ，1）满足，故选：B先求命题 p 的等价条件，结合充分不必要条件的定 义转化为集合真子集关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的 应用，求出 p 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定 义转化为集合真子集关系是解决本题的关键10.【答案】 B【解析】解：当x=2 时，y=xlnx+x-1=2ln2+2-1

16、=2ln2+1 1，与图象不对应，不满足条件故A 错误，y=-2+1=ln-1 0，故C 不合适，第9页，共 20页当 x=时，函数 y=+x-1=-+-1=3e3+-1 1，故D 不合适，故选：B结合函数图象，利用排除法验证当 x=2 时，A ，C 不合适，当 x=时，D 不合适，利用排除法 进行排除即可本题主要考查函数图象和解析式的判断，利用函数 值的对应性，以及利用排除法是解决本 题的关键【答案】 B11.【解析】线是函数 f（x）=sin x+acosx 的一条对称轴，解：已知直x=则：为函数的最 值，故：，解得：a=1，故：f（x）=sinx+cosx=所以：当x1=时，函数取得最大

17、值，当 x2=时，函数也取得最大值|x|的最小值为故： 1+x2故选：B首先根据函数的 对称轴求出 a 的值，进一步利用 赋值法求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和 转换能力，属于基础题型12.【答案】 B【解析】解：根据题意，若 0x1 x2a，x2lnx 1-x1lnx 2x1-x2?-?-0，设 f（x）=，（x0），第10 页，共 20页则在（0，a），函数f为（x） 增函数，对于 f （x）=导）=-，其 数 f （x若 f （x）0，解可得 0 x 1，即函数 f（x）的递增区间为（0，1）；若 0x1x2a 都有

18、 x2lnx1-x1lnx2x1-x2 成立，即在（0，a），函数f（x）为增函数，则 a 的最大值为 1；故选：B根据题意，分析可得xlnx -x lnxx-x2?-设（）21 ，2 1 10f x =，（x0），则在（0，a），函数f（x）为增函数；求出函数 f（x）的导数，分析可得函数 f（x）的递增区间，分析可得答案本题考查函数的单调性的应用，关键是构造新函数，并分析函数的 单调性，属于基础题13.【答案】 6【解析】解：变量 x、y 满足约束条件的可行区域如下 图阴影所示；目标函数 z=3x-2y，由解得D（2，0）zA=3-4=-1zD =6故目标函数 z=3x-2y 的最大 值为

19、 6故答案为：6根据已知中的 约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐 标，代入目标函数求出目 标函数的 值，比较后可得目 标函数的最大 值第11 页，共 20页本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知 约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟 练掌握14.【答案】 3【解析】解：AF2AF 1，OA=c，即A 位于半径 为 c的圆 x2+y2=c2，又 y=x， ，联立方程 得，即 A （a，b），又 F1（-c，0），AF1 的斜率 k=，=，平方得=即= ，得 c=3a，即离心率 e= =3，故答案为：3根据 AF AF ，建立方程组求出 A的坐标 结的

20、斜率 k=，建立方程， 合AF211求出 a，c 的关系即可得到 结论 本题主要考查双曲线离心率的 计算，结合直线垂直的性 质，建立方程组求出A 的坐标，利用离心率公式以及斜率公式建立方程是解决本 题的关键n-115.【答案】 2解：由an+1=Sn+1，得Sn+1-Sn=Sn+1，Sn+1=2Sn+1，则 Sn+1+1=2（Sn+1），又 S2=3，an+1=Sn+1，得a1+a2=3，a2=a1+1，解得 S1=a1=1Sn+1 是以 2 为首项，以2 为公比的等比数列，则，即第12 页，共 20页时，当 n2 ，a1=1 成立，故答案为：2n-1由已知数列 递推式可得 S n+1 是以

21、2 为首项，以2 为公比的等比数列，求得Sn，再由an=Sn-Sn-1（n2）求解本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是中档题16.【答案】【解析】解：连接 AC，过 D 作 AC 的垂线 DM ，垂足为 M，过 M 作 MN AA 1交 A1C 于 N，在DD1取点 Q，使得 DQ=MN ，连接 NQAA 1平面 ABCD ，故 AA 1DM ，又 DM AC ，AA 1 AC=A，DM 平面 A 1AC，DM A 1C，MN AA 1，DQAA 1，MN=DQ ，四边形 DMNQ 为平行四边形，NQ=DM ，NQDM ，NQA 1C，又 DD

22、1平面 ABCD ，DD1DM ，DD1NQ，NQ 为异面直线 A1C 与 DD1 的公垂线，当 P 与 Q 重合时，P到 A1C 的距离最小，即PA1C 的面积取得最小 值AB=1 ，AD=2 ，AC=，CM=，第13 页，共 20页 =，故 MN= ，DQ= ，=故答案为： 作异面直 线 A1C 与 DD1 的公垂线段，根据比例式求出 PA1C 的面积最小时 P 点的位置即可得出答案本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题17.【答案】 （本题满分为12 分）解：（ 1）由正弦定理可得：2sinB=3（ s

23、inC-sinAcosB）=3sin （A+B） -sinAcosB=3 （ sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB）=3cosAsinB， 4 分A（ 0， ）， sinA0，cosA=6 分（ 2）如图， sinBAC= ， 7 分cosCAD=sinBAC= ， 8 分设 AD=3 x，则 AC=2x，在 ACD 中，由余弦定理， 可得：9=4x2+9 x2-2 2x3xcosCAD， 9分解得： x=1，即 AD =3，AC=2 ，可得： SACD=212 分【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化 简已知等式可得：2sinB=3cosAsinB，结合 sinA

24、0，可求 cosA 的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinBAC 的值，可求cosCAD=sin BAC=，设 AD=3x ，则 AC=2x ，由余弦定理可解得 AD=3 ，AC=2 ，利用三角形的面积公式即可 计算得解本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系第14 页，共 20页式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的 综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题18.【答案】证明：（ 1）取 BC 中点 M，连结 AM，则四边形AMCD 为菱形，即有AM =MC =，ABAC，AB? 平面 ABCD ，平面 ABCD 平面 PAC，平面 ABCD 平面

25、 PAC =AC，AB平面 PAC，又 AB? 平面 PAB， 平面 PAB平面 PAC解：（ 2）由（ 1）得 AC=2 ，取 AC 中点 O，连结 PO，则 POAC， PO=3，PO? 平面 PAC，平面 PAC平面 ABCD ，平面 PAC平面 ABCD =AC，PO 平面 ABCD ，以 A 为原点建系，如图，则 B（2， 0， 0）P（ 0， 3）， C（ 0，2 ，0）， D（-1， ， 0），=（ -2，2，0），=（ 0，），=（-1， -， 0），设平面 BPC 的法向量 =（ x， y， z），则，取 z=1，得 =（ 3，1），设平面 PCD 的法向量 =（ x， y，

26、z），则，取 z=1，得=（-3，），cos =-，由图得二面角B- PC-D 的平面角是钝角，二面角 B-PC-D 的余弦值为【解析】（1）取BC 中点 M ，连结 AM ，推导出 AB AC ，从而AB 平面 PAC，由此能证明平面 PAB平面 PAC（2）求出AC=2，取AC 中点 O，连结 PO，则 POAC，PO=3，推导出 PO平面 ABCD ，以A 为原点建系，求出平面 BPC 的法向量和平面PCD 的法向量，第15 页，共 20页利用向量法能求出二面角B-PC-D 的余弦值本题考查线面垂直的证查二面角的余弦植的求法，考查空间中线线、明，考线间的位置关系等基础知识查查数形结合思面

27、、面面，考 运算求解能力，考想，是中档题19.【答案】 解：（ 1）设 E（ t， 0） t0， C（0， m），=1，= ，2解得，设直线 l 的斜率为k，方程为y=k（ x-t），由得 x2-4kx+4kt=0，当 =16k2-16kt 0 时，设 A（ x1， y1）， B（ x2 ，y2），则 x1+x2=4k， x1x2=4kt，12=1（ 2）设 M（x， y），由 x2=4y 可得 y= ，故 y= ，抛物线在A（ x1，）处的切线方程为y-= （ x-x1），即 y=x-，同理可得抛物线在B（ x2，）处的切线方程为y=x-，联立方程组，得，E（ 4， 0），即 t=4，由（

28、1）可得 x1+x2=4 k， x1x2=16k，即 y=2x点 M（ x， y）在直线y=2x 上【解析】（1）设 E（t，0）t0，C（0，m），用t，m 表示出 ，设直线 l 斜率为 k，联立方12程组，根据根与系数的关系即可得出 的值；1 2（2）利用导数求出抛物 线在 A ，B 处的切线方程，联立方程组得出 M 的交点坐第16 页，共 20页标，再根据根与系数的关系消去参数即可得出定直线方程本题考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档 题20.【答案】 解：（ 1） P=1- （ 1-p）（ 1-（2p-1） =1-2（ 1-p） 2令 1-2（ 1-p） 2 0.9

29、95，解得 p 0.95故 p 的最小值 p0=0.95 （ 2）由（ 1）可知 A，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9即 A，B 生产线的不合格产品率分别为0.05 和 0.1故从 A 生产线抽检的1000 件产品中不合格产品大约为10000.05=50 件，故挽回损失505=250 元，从 B 生产线上抽检1000 件产品不合格产品大约为10000.1=100，可挽回损失100 3=300 元，从 B 生产线挽回的损失较多 X 的可能取值为10， 8，6，于是 P（ X=10）=，P（ X=8） = ， P（X=6）=，X 的分布列为：X1086PEX=10 +8 +6 =8.

30、1 元该厂生产 2000 件产品的利润的期望值为2000 8.1=16200 元【解析】（1）根据对立事件的性 质得出至少有一件合格品的概率，列出不等式求出p 的最小值即可；（2） 根据 A ，B 生产线的产品合格率，估计不合格产品的数量，再计算挽回的损失数得出答案； 根据频率分别直方图计算 X 的三种取 值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望本题考查了离散型随机 变量的分布列与数学期望 计算，属于中档题21.【答案】 解：函数 f（ x） =ex-ax-a（ aR）（ 1） f（ x） =ex-a，对 a 分类讨论：当 a0时， f（ x） 0 恒成立，函数f（ x）在 R 上单调递增，函

31、数f（ x）没有极值当 a 0 时，由 f（x）=0 可得 x=ln a，在区间（ -， lna）上， f （ x） 0， f（ x）单调递减，在区间（ ln a， +）上， f （ x） 0， f（ x）单调递增，lna函数的极小值为f（ lna） =e-alna-a=-alna第17 页，共 20页（ 2）由（1）当 a0时， f（ x） 0恒成立，函数f（ x）在 R 上单调递增，函数 f（ x）没有极值不存在两个零点；故 a 0；当 a 0 时，函数 f（ x）有两个零点，不妨设两零点有：x1 x2将零点代入函数；则： ex1=a（x1+1）； ex2=a（ x2+1）；可得： x1=lna（ x1+1）； x2=ln a（ x2+1）；x1-x2=ln=ln t；令=t，由可得：（ x1+1 ） = ；（ x2+1） = ；所以： x1+x2+2=lnt；要证明： x1 +x2 0即证明：lnt 2；即证明：（ t+1 ） l