公选课第四节平面及其方程

1、第四节 平面及其方程 平面和直线是空间最简单的几何图形，本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程 平面的点法式方程 ? 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。显然，平面的法向量有无穷多个，而 且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。 ? 由立体几何知道，过空间一点可以作而已只能作一个垂直于一条已知直线的平面。 下面我们利用这个结论来建立平面的方程。 ? 设平面 二 过点 MO(xO,yO,zO)，n=(A，B，C)是平面 二的法向量(图 8-17)。现在来建立平面的方程。 I ? 在平面上-： 任取一点M( x,y,z).则点M在平面上的充要条件是 M0M_n 即 M0M n = 0

2、? 因为 Mo M = X- x y oy z oz = ( x-x0,y-y0,z-z0 ) ,n=(A,B,C),所以有 A(x-x0) B(y-y0) C(z-z0)=0 ? 该方程称为平面二的点法式方程。 ? 例1 求过点(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k的平面方程。 ? 解 显然，我们可以取已知向量 i+2j+3k作为所求平面的法向量n,又因为平面过 点(2,1,1)，所以由公式即可得该平面方程为 ?( x-2)+2(y-1)+3(z-1)=0 ?即 x+2y+3z-7=0 ? 例2 求过点 M1(1,2,-1)、M2( 2,3,1 )且和平面 x-y+z+1=0垂直的平面方程

3、。 ? 解 因为点MjM?所在平面上(图 8-18)，所以向量 M1M2= ( 1，1，2)在该平 面上。又因为与平面x-y+z+1=0垂直，而已知平面的法向量n仁(1,-1,1),故可取平面 t i j k 的法向量 n= M1M2 乂 r)1=1 1 2 =3i+j-2k 1 -1 1 ?由于该平面过点 M1(1,2,-1)，因此由平面的点法式方程知道3(x-1) + (y-2)-2(z+1)=0， 即3x+y-2z-7=0为所求的平面方程 平面的一般方程 ?将方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 展开得 ? Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0, 这是x

4、、y、z的一次方程，所以平面可用x、y、z的 一次方程来表示，反之，任意的x、y、z的一次方程 ? Ax+By+Cz+D=0 ( a ) ?是否都表示平面呢(式中A、B、C不全为零)？方程是一个含有三个未知数的方程， 所以有无穷多组解，设x0、y0、z0是其中一组解，则由 ?Ax0+By0+Cz0+D=0( b ) ? a-b 得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, ?它表示过点（xO,yO,zO ），且以n= （A,B,C ）为法向量的平面。由此可知x、y、z的一 次方程都表示平面，其中A、B、C表示法向量的坐标，方程称为平面的一般方程 ? 下面讨论方程的一些特殊情况 ?（

5、 1 ）当D=0时，方程成为 Ax+By+Cz=O,显然，平面通过原点（图8-19） ?（2）当A=0时，方程成为By+Cz+D=O,法向量（0，B，C）与i=（ 1,0,0）垂直，所 以该平面平行于 x轴（图8-20（ a）;当A=D=0时，方程成为By+Cz=0.它所表示的 平面通过x轴（图8-20 （b） ?（3）当A=B=0时，方程成为 Cx+D=0.法向量（0, 0, C）与K=（0, 0，1）平行，所以 该平面平行于xy坐标平面（图8-21 ）;当A=B=D=0时，方程为z=0，它表示xy坐 标面。 ? 对于其他情况，读者可以类似地进行讨论 ? 例3 求过点M1（a,0,0）,M2

6、（0,b,0）和M（0,0,c）的平面方程（其中 abc不等于0） ? 设所求平面方程为 ? Ax By Cz D =0（A、B、C不全零） ?因为点MM2、 M3在平面上，所以它们的坐标都满足该方程，于是有 Aa D = 0 I Bd D =0 Cc D =0 ? 解此方程组，可得 A=- ,B=- ,C=- abc ? 代入所设方程，有-Dx-Dy-Cz D =0 abc x y z ? 消去D，得1 abc ? 方程称为平面的截距式方程，其中a、b、c分别称为平面在 x轴，y轴，z轴上的截 距 ? 方程称为平面的截距式方程，其中a,b,c分别称为平面在x轴y轴z轴上的截距。 ? 例4 设

7、一平面过点 M1（1,0,-2）和M2（1,2,2）且与向量a=（ 1,1,1）平行，试求此平面 的方程 ? 解设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,因为此平面过点 M1、M2，所以M1、M2 的坐标满足方程，于是又A-2C+D=0，A+2B+2C+D=0。 ?由于所求平面与向量 a=（ 1，1，1）平行，因此它的法向量与a垂直，即A+B+C=0 ? 联立以上方程得 A=C,B=-2C,D=C所以有，Cx-2Cy+Cz+C=0消去C，即得所求平面 方程为 x-2y+z+1=0 ? 例5设一平面通过x轴和点M（4,-3,-1），试求平面的方程 ? 解因为所求平面通过 x轴，所以可设它的方程

8、为 By+Cz=0,由于点M在所求平面 上，因此点M的坐标满足方程，有-3B-C=0，将C=-3B代回方程，并简化，即得所 求平面方程为y-3z=0 两平面的夹角 ? 两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角。设平面.J?的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0 和A2x+B2y+C2z+D2=0 它们的夹角为二 由于两平面的 法向量分别为n仁（A1,B1,C1）和n2= （A2 , B2 , C2）,因此由两向量夹角余弦公式可 知，两平面夹角二的余弦的计算公式为 n 1 n2A1A2 + B1B2+C1C2 cost - cos（n1?n2）222222 何| In2|（A12+B12+C

9、12 JA22+ B22+C22 ? 例6求两平面 x-y+2z+3=0与2x+y+z-5=0的夹角v . 2_1+21 ? 解 由公式（844）得COST 严（_1）2匚22 J2刁 12匚？ 2 ?所以二=；： 3 由两向量垂直、平行的充要条件，容易得到两平面垂直、平行的充要条件 设平面二1,二2的方程分别为A1x B1y C1z D仁0和A2x B2y C2z D2 = 0 则这两个平面垂直的充要条件是A1 A B1 B 2 C C 20 ；它们平行的充要条件是 jAL _B1 _C1 A2 一 B2 C2 习 题 84 41. 求过点（2，1，-1）且法向量为n=i-2j+3k的平面方

10、程 42. 求过点（1，-2，3）且平面 7x-3y+z-6=0平行的平面方程 i r 43. 已知点A（2，-1，2）和B（ 8，-7，5），求过点B且垂直于 AB的平面方程.指出44 49题中各平面位置的特点，并画出各平面。 44. y=0.45.z=1. 46.x+2y=3.47.x+2y=0. 48.3x-2y+z=0.49.x+y+z=3. 在第50 52中，写出满足所给条件的平面方程. 50. 过点（1，-2，4），垂直于x轴. 51. 过点（-3, 1，-2），通过z轴。 52. 过点（4，0，-2）和（5，1，7）平行于y轴。 53. 已知一个平面过点（0, 0, 1），平面上有向量 a= -2,1,1 和b= -1,0,0.求此平 面方程。 54. 设平面通过点（5， -7， 4）且在三坐标轴上的截距相等，求此平面方程。 55. 平面通过三点：A（ 1，-1，0） B（2，3，-1） C（-1，0，2）求此平面的方程。 56. 求平面2x-y+z=7 与x+y+2z=11 的夹角。 57. 求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角余弦。 判断5860题中各对平面的位置关系。 58 x-2y+7z+3=0.,3x+5y