2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市高三(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0分）1.已知集合 ?= 1,23，?= 1,3，5 ，则 ?等于 ( )， ，4A. 1,3B. 1,2， 3，4， 5C. 2,4D. 1,3， 42.函数 ?(?)= 2?2?的最小正周期是 ()A.?C. ?D.4B. 23. 已知向量 ?= (3, -1)?，则 -3? +?)，?= (1, -2)2?= (A.(7,1)B. (-7, -1)C.(-7,1)D.2?(7, -1)?3，则 ?= ()4.已知 cos (?- 2 ) =5A. -34445B.-5C. 5D. 5

2、?15.若 5=，则( )2A.0?1B.1?0C.-1 ?- 2?2?6.函数 ?(?)= 1 + 2?+2的部分图象大致可为()?1D. -2 ? -12A.B.C.D.5?11?，则7. 已知函数 ?(?)= 2?(?+ ?)(0 ? 1, |?| ?2?3 0 ， ? 0(?= 1,2，3) 时，必?(?= 1,2， 3)有 ( )B.A. ?123123 ? ? ?C. ?1= ?2 = ?3D.， ?， ?的大小不确定?133? =?-2 ?-1(?,? 2)，若?310.已知数列 ?满足：?2?-?= 1, ?2=，?-1172019=()?-23B.3C.5D.5A. 8075

3、605460584036二、填空题（本大题共7 小题，共21.0 分）第1页，共 11页11.设等差数列 ? 的前 n 项和为 ?(?) ， ?1 =3， ?5 = -11，则 ?3 = _；?5 =_；?+?_3= _a b12.；( 用数字表示 )， lg 8设 ?= ?2，?= ?3，则 10=；(用 ，表示 )13.2已知 a，b，?，若 ?|?+ ?+ ? 0 = ?|1 ? 2 ，则 a_( 填 ，= 之一 )；若记20 = ?， ?=_?|?+ ?+ ?； ( 用描述法表示集合 )?- 1 0,14. 若实数 x，y 满足 ?+ ?- 1 0 ，则 3?- 2?的最小值是 _；，

4、y的最大值是 _； ?- ?+ 1 0,15.已知单位向量 ? , ?满足：? ?，且向量与 ? + ? (?)的夹角为?3 ?13，1212- ?212则 m 的值等于 _；?16.已知 ?(0,?4，则tan (?+4 )2) ，且 ?2?=3? 的值等于 _；tan (?- 4 )17.32则 n已知函数 ?(?)= 5? + (?+ 4)? + ?+ 1(?) 有三个零点且均为有理数，的值等于 _三、解答题（本大题共5 小题，共 74.0 分）?18. 在 ?中，已知内角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，且 ?= 7，?= 8 ，?= 3(?)求 sinB 和 c；( ) 若?

5、是钝角三角形，求 ?的面积19. 已知平面向量 ?= (?2?2?,，?)，设函数?为常?= (?2?,?2?)?(?)= ?(?数且满足 -? ? 0) ，若函数 ?=?=?(- ?)4图象的一条对称轴是直线8( ) 求?的值；?( ) 求函数 ?= ?(4 - ?)在 0, 2 上的最大值和最小值；?( ) 证明：直线 5?- ?+ 3 = 0 与函数?= ?( - ?)4的图象不相切20. 已知函数 ?(?)= |2?+2| + |?- 1| + 3( ) 解不等式 ?(?) 1 ? (0 ， +)，求 k 的取值范围22. 记数列 ? 的前 n 项和为 ?=?1 + ?2 + ?3+

6、? + ?= ?，已知数列 ? 满足：?=1?202020201?,? ?， ?=1 ?= 0,?=1 | ?| =( ) 若数列 ?为等比数列，求 | 2020?| 的值；?=1?( ) 证明： | 2020 ?| 2019 ?=1?2第3页，共 11页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解： 集合 ?= 1, 2， 3，4 ， ?= 1,3， 5 ，?= 1,2， 3，4， 5 故选： B利用并集定义求解本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用2.【答案】 C【解析】 解：函数 ?(?)= 2?2?的最小正周期是2?= ?，2故选： C由题意利用余弦函数的周期

7、性，得出结论本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题3.【答案】 B【解析】 解： ?= (3, -1),?(1, -2)，=-3? = (-9,3),2? = (2, -4)，?(-7, -1) -3? + 2?= (-9 + 2,3 - 4) =故选： B利用点的坐标得到向量的坐标，再进行向量的四则运算本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目4.【答案】 D?3， sin?=3【解析】 解： cos(?- 2 ) =55，则 ?= 1- sin 2 ?= 45 故选： D由已知求得 ?，再由同角三角函数基本关系式求?本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及

8、同角三角函数基本关系式的应用，是基础题5.【答案】 B【解析】 解：函数 ?(?)= 5 ?为增函数，?(0) = 1， ?(-1)= 5-21=51，252则 -1，?02故选： B根据函数 ?(?)= 5?为增函数，结合指数幂的大小进行求解即可本题主要考查指数方程的求解， 结合指数函数的单调性以及指数不等式的解法是解决本题的关键6.【答案】 C第4页，共 11页?2?【解析】 解：设 ?(?)= 2?+2，则 ?(?)= 1 + ?(?)，?则 ?(-?) = -2? -?2?2 = -?(?)，即 ?(?)是奇函数， 关于原点对称， 则 ?(?)关于 (0,1) 对?称，排除A， B，

9、D ，故选： C?2?构造函数 ?(?)= 2?+2，判断函数 ?(?)的奇偶性和对称性，然后结合?(?)的对称性?进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断， 结合条件构造奇函数， 结合条件判断函数的对称性是解决本题的关键7.【答案】 A【解析】 解：函数 ?(?)= 2?(?+ ?)的最大值为2，5?11?若?( ) = 2,?() = 0，88则 11?- 5? = (2?+1)?， ?；884所以 ?=3?= 2?，解得 ?= 4?+2；2?+1?32又因为 0 ? 1，所以 ?= 3；由25?+ ?= 2?+?38， ?；2所以 ?= 2?+ ?，?；12?因为 |?| ? ? 0

10、，所以开口均向上123又因为二次函数开口向上时，a 越大开口越小，所以 ?1 (?)、 ?(?)2、?(?)3的开口依次变大，第5页，共 11页所以 ? ?31 2)【解析】 解：由题意数列 ?满足：?-2?-1，?2?-2-?-11121可得 ?+ ?=?，所以数列 ? 是等差数列，?-2?-1?1174?=?- ?=3 -1= 3，21所以1= 1 +4(?-1) =4?-1， ?=3=3?3320194 2019-18075?故选： A1利用数列的递推关系式，推出 ? 是等差数列， 然后求解通项公式， 即可得到所求结果?本题考查数列的递推关系式的应用， 数列通项公式的求法， 考查转化思想

11、以及计算能力，是基本知识的考查11.【答案】 -4-20【解析】 解：依题意， ? +?3-11=15=-4；322? =? +?(-4)= -201 55= 5?= 5523故答案为： -4，-20 根据等差中项的性质可得?，利用等差数列的前n 项和公式及等差中项的性质可得?的35值本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前n 项和，主要考查了推理能力和计算能力，属于基础题12.【答案】 6；?- 3?【解析】 【分析】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题第一个空直接把对数形式转化为指数形式， 利用指数的运算性质求解即可； 第二个空直接利用对数的运算性质求解即可【解答】解： ?=

12、 ?2，?= ?3，10 ?= 2， 10 ?= 3，?+?10= 10?10= 23= 63lg 8 = ?3- ?8= ?3- 3?2= ?-3?故答案为： 6； ?- 3?113.【答案】 0?|2 ? 1.第6页，共 11页22【解析】 解：由 ?|?= ?|1 ? 2 ，可得 ? 0根分别是1和 2，?0?3=-?，?2= ?= 2? 0，2由 ?+ ?+ ? 0 可得，23?+ ? 0，2? -解可得，? 1，21? ?= ?| ? 1.?2故答案为： 0 ； ?|1 ? 1.222由 ?|?，可得 ? 0 = ?|1 ? ?， ? ?，第8页，共 11页 ?为 ?中，最大的角，2

13、22当 ?= 5时，? +? -?=2? 0，与为钝角三角形矛盾，舍去；222当 ?= 3时， ?=? +? -? 0， ?为钝角三角形，所以?= 3，2?1? ?= 2 ?= 6 3【解析】 (?)由已知利用正弦定理可得sinB，由余弦定理即可解得c 的值( )由已知可得 ?为 ?中最大的角， 由?是钝角三角形， 利用余弦定理分类讨论可得 c 的值，利用三角形的面积公式即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于基础题19.【答案】 解：(?)由题意得：? = ?2?2?+ ?2?2?=cos(2?-2?)，?(?)=

14、?sin (2?+ 2?)，?(4 - ?)=cos2( 4 - ?)- 2? =又 函数 ?=?( - ?)图象的一条对称轴是直线 ?=，48?2 8 + 2?= ?+ 2 (?)，1?= 2 ?+8 (?)-? ? 2，= 0?直线 5?-?+ 3= 0与函数 ?= ?(4 -?)的图象不相切?(1)?(?)?= ?(【解析】利用向量的数量积求得函数4 - ?)的表达式，从而利用三角函、数性质求得 ?的值；(2)结合 x 的取值范围求得函数最值；?(3)利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与?= ?( - ?)4图象第9页，共 11页的关系本题考查了数量积运算性质、三角

15、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】 解： ( ) ?(?)= |2?+ 2| + |?- 1| + 3 6， |2?+ 2| + |?- 1| 3 ，? 13或-1? 1或 ? -1，2?+ 2 + ?- 1 2?+ 2- ?+ 1 3-2?- 2-?+ 1 34? 或-1 ?0或- 3?-1，4不等式的解集为 ?|-3 ? 1( )?(?)= |2?+ 2| +|?-1| + 3 = ?+ 6,-1?1，-3? + 2, ? -1?(?)?= ?(-1)=5 对 ?，不等式 ?(?) ?恒成立，? ?(?)= 5 ，?= 5；?22( )由 ?(?) ?+ 1，得

16、 ? |2?+ 2| + |?- 1| + 2?1,2 ， ? 3 + 32 恒成立，?又 ?1,2 时， (3+3)= 6，?6，?2?的取值范围为 6, +)【解析】 ( )根据 ?(?) 6 ，分 ? 1 ，-1 ? 1和 ? 01?-1，? (?)= ?- ?=? ， 当 ? 0时， ? (?)= ?-1 0，令 ? (?)= ?-1=?-1= 0，解得 ?=1，?所以当 ? 0 时， ?(?)的递增区间为 (11,+)，递减区间为 (0, )；?( )由条件得，当 ? 1 时， ?(?) 0 恒成立即 ?(?- 1) - ? 0 恒成立，当 ? 0时，由 ? 1 时，得 ?(?- 1

17、) - ? 0显然不成立，所以 ? 0，11令1?(?- )，解得 ?=? (?)= ?-?= 0，?=?当 ? 1时，所以 ?(?) 0，所以 ?(?) ?(1) = 0 ，即 ?(?- 1) -? 0 恒成立，所以，当 ? 1 时， ?(?- 1) -? 0在 (1, +)上恒成立，又当 0 ? 1， ?(?)在 (1, 1) 上为减函数，在( 1 ,+)上为增函数，?所以 ?(?) 0 ，利用导数分别讨论? 0 ， ? 0 时的区间即可；( )由条件得， 当 ? 1 时，?(?) 0恒成立即 ?(?- 1) - ? 0 恒成立，分别讨论 ? 0 ，? 1时， 0 ? 1时的情况，即可求出

18、范围本题考查导数单调区间，含参数函数恒成立问题，讨论k 的取值范围是关键，属于中档题22.【答案】 解： ( )数列 ?为公比为 q 的等比数列，由题意可得且 ?1 + ?2 + ? + ?2020=?1 (1-? 2020 )2020= 1 ，即有 ?=1-?= 0，可得 ? 0，?1，1-1 ，由2020| ?| = |?| + |?| +?+ |?| =2020|? | =1，即 |?1| =1，?=1?12202012020设?2020? = ? + 2? + 3? + ? + 2019?+ 2020?，= 2020?=1?12320192020则 ?= ?2 + 2?3 + 3?4

19、+ ?+ 2019?2020 + 2020?2021，2020上面两式相减可得(1 -?)?= ?1 + ?2 + ?3 + ? + ?2019 + ?2020- 2020?20212020=2020?- 2020?2021 =0 -2020= -2020? 1，即 ?=?=12020?2021 = -2020? 1 ?2020-1010? 1 ，故 |2020?| =|?| =1；?=1?202022020?= ?+?+? +?+?+?+?=( )证明：设 ?1,2，3， ，2019 ，由 ?=1?12?+120200 ，可得 (?1 + ?2 + ?+ ?) =-(? ?+1 + ?+ ?2020 ) ， |?1 + ?2 + ?+ ?| =|?+1 + ?+?|，2020则|?1+ ? + ?2020|= 2(|?1+ ?2+ ?+ ?| + |?+1 + ?+ ?2020 |) ，?+11(|?1| + |