2020年上海市中考一模数学代几压轴题(教师版

1、2020 年上海市 16 区中考数学一模汇代几综合（解答题 25 题压轴题）1.（长宁、金山 25）.如图，已知在 Rt ABC中， C 90 ，AC 8，BC 6，点 P 、 Q分别在边 AC 、射线CB上，且 AP CQ，过点 P作PM AB ，垂足为点 M，联结 PQ ，以PM 、 PQ为邻边作 平行四边形 PQNM ，设 AP x ，平行四边形 PQNM 的面积为 y （ 1）当平行四边形 PQNM 为矩形时，求 PQM 的正切值；（2）当点 N 在 ABC 内，求 y关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点 P 且平行于 BC的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时

2、，直接写出 x的值5251整体分析】1）当四边形 PQMN 是矩形时， PQ AB根据tan PQMPPMQ 求解即可2）如图 1中，延长 QN交 AB于 K求出 MK，PM，根据 yPM ?MK 求解即可3）分两种情形： 如图 3-1 中，当平分 MN 时，D为 MN的中点，作NEBC交PQ于E，作NHCB1交CB的延长线于 H，EGBC于G根据 EG PC构建方程求解如图 3-2 中，当平分 NQ时，D是2NQ的中点，作 DH CB交CB的延长线于 H根据 PCGH构建方程求解即可满分解答】（1）在 RtACB 中， C 90 ， AC8，BC6，AB AC2 BC2 82 62 10，当

3、四边形 PQMN 是矩形时， PQ ABPMtanPQM PQ3PA953PA2）如图 1中，延长 QN交 AB于 K59435 C 90，AC8，BC6，AB=10sinA=cosB=BC 6AB 103AC,cosA=sinB=5AB由 APx ，得 BQ 6- x，3 BQcosB= BQ8104，5，3QN PMAPsinA= x，54AM APcosA= x，54 24 4xKQ BQsinB= BQ55BK18 3x5MKAB-AM-BK 32 x5QNQK，3 24 4x x5524 x ，7yPM?MK 3x32 x5596x 3x2250x 24 ）3）如图 3-1 中，当平

4、分MN时，D为 MN 的中点，作 NEBC交 PQ于 E，作 NHCB交 CB的延长线于 H，EGBC 于 GPDBC，ENBC，PDNE， PEDN， 四边形 PDNE 是平行四边形， PEDN， DNDM，PQMN， PEEQ，EGPC， CG GQ ， EG 1 PC，2 四边形 EGHN 是矩形， PM ABQNAB 则 ABC+NQH=NQH + QNH =90 ABC= QNH3 33 39NHEGNQcosQNH= NQcosABC = NQ PM x = x，PC8- x，555 5259x251?（ 8- x），2 解得 x 200 43 如图 3-2 中，当平分HDH PC

5、，19 8- x 1 ? 9 x，2 25400解得 x，综上所述，满足条件 x的值为 200 或 40059点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题2.(闵行区 25) .已知：如图，在 Rt ABC 和 RtACD 中， AC=BC，ACB=90， ADC=90，CD=2， (点A、B分别在直线 CD的左右两侧 )，射线 CD交边 AB于点 E，点 G是RtABC的重心，射线 CG交边 AB 于点 F，AD=x，CE=y.(1) 求证： DAB=DCF.(2

6、) 当点 E在边 CD 上时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x的取值范围 .(3) 如果CDG是以 CG为腰的等腰三角形，试求 AD的长.【整体分析】(1) 首先根据点 G是RtABC的重心，得出 CF是 RtABC的中线.，又由 AC=BC，ACB=90，得 出 CFAB，即 AFC=90，然后等量转换即可得出 DAB=DCF；(2) 首先判定 CAD BCH ，得出 BH = CD，CH = AD，又根据ADC=BHC=90，得出 ADBH， 进而得出 AD DE ，列出等式，即可得出 y关于 x 的函数关系式；BH EH(3) 分两种情况进行求解： 当 GC=GD 时，根据直角

7、三角形斜边中线定理得出 MD=MC ，进而得出 MG CD ，且直线 MG经过点 B，那么 BH与MG共线，即可得出 AD；当 CG=CD时，CG=2，点G为ABC 的重心，然后运用勾股定理即可得出 AD.【满分解答】(1) 证明： 点 G是 Rt ABC的重心， CF是 RtABC的中线 .又 在 RtABC， AC=BC，ACB=90，CF AB，即 AFC=90. DEF= ADE+DAE=EFC+ECF，且ADE=EFC=90， DAB= DCF .(2) 解：如图，过点 B作BHCD于点 H.DAC HCBAC CBDCA HBC CAD BCH (ASA).BH = CD = 2，

8、CH = AD = x，DH = 2-x. ADC = BHC =90ADBH. AD DEBH EH .x DE x 2 DE EH DH 4 2x ， ， EH2 EH 2 EH EH x 224 2x x2 4x2x2(3) 解：当 GC=GD 时，如图 1，取 AC 的中点 M，联结 MD.那么 MD=MC ，联结 MG，MGCD，且直线 MG经过点 B.那么 BH与 MG 共线.1又 CH=AD，那么 AD=CH= CD 1.当 CG=CD 时，如图 2，即 CG=2，点 G 为ABC 的重心，CF 3CG 3 ，AB=2CF=6，2ADAC 2 CD2 18 4 14y CE CH

9、 HE x (0 x 2) .15综上所述， AD=1或 14 .点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾股定理等，熟练掌握，即可解题 .3.（静安区 25）.已知：如图，在 ABC 中， AB=AC，点 D 、E分别在边 BC、DC 上，AB2 =BE DC ， DE :EC=3:1 ，F是边 AC上的一点， DF与 AE交于点 G（ 1）找出图中与 ACD 相似的三角形，并说明理由；（2）当 DF平分ADC时，求 DG:DF的值；（3）如图，当 BAC= 90，且 DFAE 时，求 DG:DF 的值整体分析】1）根据相似三角形的判定方法，即

10、可找出与 ACD 相似的三角形；2）由相似三角形的性质， 得 DDGF ADDECADD ，由 DE=3CE，先求出 AD 的长度，然后计算得到AD3）由等腰直角三角形的性质， 得到 DAG=ADF=45，然后证明 ADEDFA，得到DFDFDG ； AE ， AD ，求出 DF 的长度，即可得到 DFDG满分解答】解：（1）与ACD 相似的三角形有： ABE、ADC，理由如下： AB2 =BE DC ， BE AB AB DC AB=AC， B= C，BEABACDC ， ABE DCA AED= DAC AED= C+EAC，DAC=DAE+EAC， DAE= C ADE CDA （2）A

11、DECDA，DF 平分ADC ， DG DE AD ， DF AD CD ，设 CE=a，则 DE= 3CE=3a，CD=4a，3aADAD ，解得 AD4a2 3a （负值已舍）DF AD 2 3a 3DG CD 4a 2（3） BAC =90， AB= AC ， B= C=45， DAE= C=45， DGAE， DAG = ADF =45，AG=DG= 2 AD 2 2 3a6a ，22 EGDE2 DG2 3a ， AED= DAC ， ADE DFA， AD AEDF AD ，AD 2 DF AD（4 63）a ，AE DG 2 2 .DF 4【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质

12、，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件 .点DAD 交4.（崇明区 25）.如图，在 ABC中， AB AC 10，BC 16，点 D为BC边上的一个动点 不与点 B 、点C重合）以 D为顶点作 ADE B，射线 DE 交 AC边于点 E，过点 A作 AF射线 DE 于点 F .1）求证： AB CE BD CD ；2）当 DF 平分 ADC 时，求 AE 的长；3）当 AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长（1）根据题意证明BDA CED 即可求解；（2）根据 OF 平分ADC 得到 ADECDE ，再根据AEDF /

13、AB 得到BD得到ACBCBADC ，从而得到BDA BAC ，即可求解；（3）过点 A 作 AHBC ，垂足为 H ，根据三线合一得到1BH CH BC8，由勾股定理得出整体分析】2AF 3AH 6，再得到 tan ADF ，设 AF 3k，则 AD 4k， DF 5k，根据 BDA CED 得 AD 4到 AD AB ，再分 点 F 在线段 DE 的延长线上， 点 F 在线段 DE 上，当 AEF 是等腰三角形进行 DE CD讨论求解 .【满分解答】（ 1）证明： AB AC B CADC B BAD即 ADE CDE B BADADE BBAD CDEBDACEDAB BDCD CEAB

14、 CEBD CD（2）OF 平分ADC ，ADECDECDEBADADEBADDF /AB,AEBDACBCADEBCBADCAB AC, AH BC1BH CH BC 823 由勾股定理得出 AH 6， tanB4ADE B, AF ADtan ADFAF 3AD 4设 AF 3k ，则 AD 4k ， DF5k ，B是公共角，BDA BACBDBA BD10BDBABC 101625AE41016125AE32又2543）过点 A 作 AHBC ，垂足为 HBDA CEDAD ABDE CD 点 F 在线段 DE 的延长线上，当 AEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：1. FA FE

15、3k ，则 DE 2k10 CD4k2kCD5BD 16 5 112. EAEF ，则 ED2.5k104k252539CDBD16CD2.5k4443. AEAF3k ，则 DE7k5104k7725CDBD 16CD7k2225 点 F 在线段 DE 上，当 AEF 是等腰三角形时，AFE 90 ADFAFE 是一个钝角只存在 FAFE 3k 这种可能，则DE 8k10 4kCD 8kCD 2016 ，不符合题意，舍去综上所述，当AEF 是等腰三角形时，BD的长 11或39或 2542【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰 三角形的性质 .

16、5.（奉贤区 25）.如图，已知平行四边形 ABCD中， AD5，AB 5，tanA 2 ，点E在射线 AD上，过点 E作EF AD ，垂足为点 E，交射线 AB于点F ，交射线 CB于点G ，联结 CE,CF ，设AE m. （1）当点 E在边 AD 上时， 求 CEF 的面积；（用含 m 的代数式表示） 当 S DCE 4S BFG 时，求 AE :ED 值；2）当点 E在边 AD的延长线上时，如果AEF 与 CFG 相似，求 m的值.整体分析】(1)作 EMAB，DNAB，由 S CEFSAFCDS AEF S DCE ，即可求解；易证： ? AEF? BGF ，得：S BGFS AEF

17、(BAFF)2(5 5m2)2 ，即：( 5m)2S BGF = m22 5m 5 ，结合S DCE =5 5m ， S DCE 4S BFG ，即可得到答案；(2)由AEF=FGC=90， AEF 与 CFG相似，分两种情况讨论： 当 AEF FGC时， 当 AEF CGF 时，分别求出答案，即可 .满分解答】(1) 作EM AB，DN AB，如图 1 tan A 2EM：AM：AE=2：1：5 ，DN： AN：AD=2：1： AE m ，EM=m525m5，DN= 5 252， EFAD ， tan A= EFAE，即：EF=2m，AF= 5m ， S CEFSAFCDS AEFS DCE

18、12( 5m 5)m 2m 12255 (2 255m)，2即： S CEF m2 5m 在平行四边形 ABCD中，ADBC，?AEF?BGF，S BGF BF 2 (5 5m) ()S AEF AF ( 5m)2S BGF(5 5m2) m2= 5m2 10 5m ( 5m)2 m = 525=m22 5m 5 ，S DCE1 5 (2 2 5m)=5 5m ，253当 SDCE 4SBFG时， 5 5m=4 (m2 2 5m 5) ，解得： m1 3 5，m25(舍)4AE= 3 5 ，DE= 5 3 5 1 5，4 4 4 AE :ED =3 ： 1；(2) AEF = FGC =90

19、， AEF 与 CFG 相似，分两种情况讨论： 当 AEF FGC 时，如图 1， AFE=FCG ， AFE+GBF=90， FCG + GBF =90， BFC=90， BF：CF：BC=1：2： 5 ， BC=AD= 5 ， BF=1，AF=AB+BF=5+1=6，AE：EF：AF=1：2： 5 ， AE=6 5 = 6 5 ，即： m= 6 5 ；55 当 AEF CGF 时，如图 3， AFE=CFG ，在?BFG 和?CFG 中，AFE CFGGF GFBGF CGF?BFG? ? CFG (ASA)， BG=CG= 1CD2BG：GF：BF=1：2： 5 ， BF= 5 AF=5

20、+ 5 =152AE：EF：AF=1：2： 5 ，AE=15综上所述：m=65 5或 32 5.5= 32 5，即：图1图2图3点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，画出图形，是解题的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想6.（黄埔区 25）如图 12， ABC是边长为 2的等边三角形，点 D与点 B分别位于直线 AC的两侧，且 AD=AC, 联结 BD 、CD ，BD 交直线 AC 于点 E.1）当CAD=90 时，求线段 AE 的长.2）过点 A作 AH CD ，垂足为点 H，直线 AH交 BD于点 F，S当CAD120时，设 AE x，yBCE （其中

21、S BCE表示 BCE的面积， S AEF表示AEF的面积），S AEF求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；S当 S BCE 7时，请直接写出线段 AE 的长.S AEF评分标准：（ 1） ABC 是等边三角形， AB=BC-AC=2，BAC =ABC= ACB=60. AD=AC, AD=AB. ABD=ADB. ABD+ ADB + BAC + CAD =180， CAD =90， ABD =15. EBC= 45. （1分）过点 E作 EGBC，垂足为点 G. （1分）设 AE x ，则 EC 2 x.在 RtCGE 中， ACB=60 ，31EG EC sin AC

22、B （2 x） ，CG EC cos ACB 1 x. （1分） 221BG 2 EG 1 x.217在 RtBGE中， EBC=45 ，13 1 x (2 x). (1 分)22解得 x 4 2 3 .所以线段 AE 的长是 42 3.1 分）2） 设 ABD则 BDA ， DAC BAD BAC 120 2AD=AC, AHCD，CAF 1 DAC2601 分）又 AEF 60AFE 60 .1 分） AFE ACB . 又 AEF BEC， AEF BEC.1 分）BCE S AEFBE2AE2 .1 分）由（ 1）得在 RtCGE 中，BG1 12x ，EG 23(2 x) BE2BG

23、2 EG22x2 2x 42xx2 2x(0 x当 CAD 120时， AE当 120 CAD180 时， AE4.2)231. 2 分）2 分）2 分）437.（嘉定区 25）. 25.已知：点 P在ABC内，且满足 APB=APC（如下图 ），APB+BAC=180，1）求证： PAB PCA ： PC2）如下图，如果 APB=120 ， ABC=90 求的值；PB3）如图，当 BAC=45 ， ABC 为等腰三角形时，求 tanPBC 的值 .整体分析】1)由已知和等量代换得 PBA=PAC，再根据 APB= APC 可证明 PAB PCAPA （2）由PABPCA 可得PCACPC A

24、BC =90求出，则可得出ABPBPBPA值.3)当BAC=45 时，可以推出AB PCAABC ，通过变形得到 PPBCAC )2 ，再利用ABAPB=120，ABCBA=BC为等腰三角形，分tanBPC= PPCB （AACBCA=CB ,AB=AC 三种情况，分情况讨论即可PAPCPCPBPAPCPBPAABACPA （AC ）2PB （AB ）APB=120BAC=60ABC=90AC 2AB 2PC 4PB3) BAC=45 APB=135=APC BPC=90PC AC 2tan BPC=()2PB AB BAC=45， ABC 是等腰三角形当 BA=BC 时，由勾股定理可得 AC

25、2AB ， tan BPC= ( 2)2 2当 CA=CB 时，由勾股定理可得 AB2BC ， tan BPC= (12)2当 AB=AC 时， tanBPC=1 综上所述， tan PBC=2 或 1 或 12点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形分情况讨论等，能够找到三角形相似的条件和分情况讨论是解题的关键 评分标准：证明：( 1) ABP BAP APB180 ， APB BAC 180 ， 1 分ABPBAPAPB APB BAC. 1 分即 ABP BAP APB APB BAP CAP.ABPCAP. 1 分又 APB APC， PABPCA. 1 分（2）如图10-

26、1，APBBAC180 ，APB 120 ，BAC 60 . 1 分在 ABC 中，ABC90 ，BAC60 ，1ABAC. 2 1 分（3） BAC45 ，APB BAC180 ，APBAPC ，APB APC 135 . BPC360 APB APC 360 13513590 . 1 分 PCA PAB， PAPC AC ，PCPC PA(AC)2.PBPA ABPBPA PBAB如图10-2，当ABC是等腰三角形，且ABAC 时，tan PBCPC(AC)2 1.PBAB 1 分如图10-3，当ABC是等腰三角形，且ABBC时，ACBBAC45 , ABC 90 ，易得 AC易得2 ，

27、tan PBCPC (AC)22 2 分ABPB AB如图10-4，当ABC是等腰三角形，且ACBC 时，ABCBAC45 ， ACB 90AC 2PCAC 21. 易得 tanPBC () 1 分AB 2PBAB2.1备注：写出 tan PBC 2， tan PBC 这两个答案之中的一个，即可得到 2分；两个全部写出，得 32分.8.（浦东新区 25）.在 Rt ABC中， A 90 ,AB 4,AC 3，DAB边上一动点 （点 D 与点 A、B不重合），联结 CD ，过点 D作 DE DC 交边 BC 于点 E（1）如图，当 ED EB 时，求 AD 的长；（2）设 AD x,BE y，求

28、 y关于 x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）把 BCD沿直线 CD 翻折得 CDB ，联结 AB，当 CAB 是等腰三角形时，直接写出 AD的 长整体分析】1）过 E 作 EMAB 于 M，构建 “一线三垂直 ”，即证 ACD MDE ,利用相似三角形对应边成比例列比例式，再结合等腰三角形性质求解；（2）作 ENAB于 N，用三角函数将线段 EN，BN用y表示，再根据 ACD NDE 列出比例式，将 比例式变形求解；（3）作 BHAB,交 AB 或 AB 延长线于点 H,作 BGAC，交 CA延长线于 G，构建直角三角形，先结 合 RtAGB和 RtCGB，利用勾股定理求出 AG，GB

29、长，再结合 RtABH 和 RtDBH，利用勾股定理 列含 x 的方程，即可求解 .【满分解答】解：（1）如图，过 E 作 EM AB，垂足为 M,3在 Rt CAB 中， AC=3， AB=4， tanB = ,4ED=EB,DM=BM,4x设 AD=x,则 DM=BM=,23 4 x 12 3xEM=,4 2 8 CDE=A=EMD=90, EDM+ADC=90, ACD+ADC=90, ACD=EDM , ACD MDE ,ACADDMEM ,3x4x12 3x28 x19，4x2 4 （不符合题意，舍去）即 AD9.4.（ 2）如图，过 E 作 ENAB ，垂足为 N, 在 RtCAB

30、 中， AC=3， AB=4，由勾股定理得 BC=5,343sinB=,cosB=,tanB =554EN= 3y4y ,BN= ,55DN=4x 4y5 CDE=A=END=90, EDN + ADC =90 ACD + ADC=90, ACD =EDN , ACD NDE , AC ADDN EN , 3x 4 3x4 x y5520x 5x29 4xx 4)3）如图，过 B作 BHAB,交 AB 或 AB 延长线于点 H,作 BG AC，交 CA 延长线于 G，由折叠可得 CB=CB=5， BD=BD=x， CAB 是等腰三角形 ,AC=AB=3，设 AG=m， BG=n,由勾股定理得，

31、 m2+n2=32，(m+3) 2+n2=52，7 5 11解得， m=， n=,66BH= 7 ，AH=5 11 ,66第一种情况：在 RtBHD 中，由勾股定理得，72 15 解得， x= 1143 4372 15 即 AD=11 ；43 43第二种情况：在 RtBHD 中，由勾股定理得，解得， x=72 15 1143 4372 即 AD=15 11434372 AD=15 11.4343构建 “一线三垂直 ”得相似三角形和构点睛】本题考查三角形相似的综合应用及勾股定理的综合应用，建直角三角形得勾股定理是解答此题的突破口9.（普陀区 25）如图 13，在梯形 ABCD中， AD BC，

32、C 90 ， AD 2，BC 5， DC 3， 点 E在边 BC上， tan AEC 3，点 M 是射线 DC 上一个动点（不与点 D 、 C重合），联结 BM交射线 AE于点 N，设 DM x， AN y.1）求 BE 的长； 2）当动点 M 在线段 DC 上时，试求 y与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；3）当动点 M 运动时，直线 BM 与直线 AE的夹角等于 45 ，请直接写出这时线段 DM 的长.满分解答】1）作高，构建直角三角形，利用三角比来求解，BE 2 ；2）延长 BM ， AD 交于点 G ，DG DM DGCB CM 5DG5x3 x ，AG5x3x6 3x3x6

33、 3xAN AG ， y 3 x EN BE ， 10 y 2解得：y 3 10xx 162 10(0 x 3)x 12【总结】添加辅助线，构造 X 型，利用比例线段求解；(3) 当 BNE 45 时， ENBEBA，EB2 EN EA ，2 10(3 x)1则有 4 10 ，解得： x12 x2当 ANB 45 时， BNAEBA ， AB2 AN EA，则有 (3 2)2 10 10 2 10(x 3) ，12 x解得 x 13 1综上所述：线段 DM 的长为 或 13.2总结】分类讨论，等角转换找到子母型相似10.（青浦区 25）.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=BD= 10

34、，CD= 4，AD= 6点 P是线段 BD上 的动点，点 E、Q 分别是线段 DA 、BD 上的点，且 DE=DQ=BP ，联结 EP、EQ1）求证： EQ DC；2）如果 EPQ是以 EQ 为腰的等腰三角形，求线段 BP的长；3）当 BP=m （ 0m 5）时，求 PEQ 的正切值（用含 m 的式子表示）【整体分析】（1）利用两边成比例且夹角相等可判定 DEQ BCD ，从而证得结论；25x分（2）设 BP 的长为 x，则 DQ=x，QP=2x-10，利用（ 1）的结论 DEQ BCD，求得 EQ 类讨论：当 EQ=EP、 QE=QP 时，分别求得答案即可；PHQ（3）过点 P作 PHEQ，

35、交 EQ的延长线于点 H；过点 B作 BG DC ，垂足为点 G，易证得 BGD，利用对应边成比例通过计算得到PH、 EH 的值，从而求得答案 .满分解答】（ 1） AD/BC ， EDQ=DBCDE BD DE BD 1， 1， DQ ， BC ， DQ BC DEQ BCD DQE= BDC，EQ/CD （2）设 BP 的长为 x，则 DQ=x，QP=2x-10 DEQ BCD ，EQQDDCCBEQ2x5（ i）当 EQ=EP 时， EQP = EPQ， DE =DQ ， EQP =QED ， EPQ =QED， EQP DEQ ，EQDEQPEQ ，222x52x 10 x ，125解

36、得 x ，或 x 0 （舍去）23（ ii）当 QE=QP 时，225x5 2542x 10 ，解得 x ，46 ， 此种情况不存在 BP12523延长线于点 H；过点 B作 BGDC，垂足为点 G3）过点 P 作 PHEQ，交 EQBD=BC，BGDC，DG=2，BG 4 6 ， BP= DQ=m， PQ=10-2m EQ DC PQH =BDG 又 PHQ = BGD= 90 ， PHQ BGD PHPQHQPH102mBGBDGD4610HQ102m ，PH26102m55EH102m2m2，55 tan PEQPHEH2 6 10 2m51 2 6 2 6 m25(2)点睛】本题考查了

37、相似三角形的判定和性质的应用，等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答第小题的关键，作出辅助线构建两个相似的直角三角形是正确解答第（3）小题的关键11.（松江区25）.已知 tan MON =2，矩形 ABCD 的边 AB 在射线 OM 上， AD=2，AB=m，CFON，垂足为点 F.（ 1）如图（ 1），作 AE ON，垂足为点 E. 当 m=2 时，求线段 EF 的长度；图（1）当 m=2，且 CD 平分 FCO 时，求 COF 的正弦值；图（2）3）如图（ 3），当AFD与CDF 相似时，求 m的值.图（3）整体分析】1）如图 1，延长 FC 交OM 于点 G，证BCG=MON，在RtAO

38、E 中，设OE=a，可求得 OA，OG，OF 的长，则 EF OFOE65（2）如图 2，延长 FC 交 OM 于点 G，由（ 1）得 CG 2 5，推出 CO CG 2 5，在 Rt COB 中， 由勾股定理求出 a 的值，得出 OF 的长，可求出 cosCOF 的值，进一步推出 sin COF 的值；（ 3）需分情况讨论： 当 D 在MON 内部时， FDA FDC 时，此时 CD=AD=2，m=2；当FDACDF 时，延长 CD 交 ON于点 Q，过 F 作 FPCQ 于 P，可利用三角函数求出 m的值；当 D 在MON 外部时， 可利用相似的性质等求出 m 的值满分解答】解：（1）如图

39、 1，延长 FC 交OM 于点 G ，BCG CGB 90 ， MON CGB 90 ，BCG MON ，则 tan BCG tan MON 2 ，BG 2BC 4， CG 5BC 2 5，在 Rt AOE 中， 设 OE a，由 tan MON 2 ，1 6 5可得 OA 5a，则 OG 5a 6， OF5OG a 5 ，EF OF OE 6 5 ；52）如图 2，2 5 ，CD 平分 FCO ，FCD DCO ，CD/OM ，FCD CGO， DCOCOG ，CGO COG ，CO CG 2 5 ，在 Rt COB 中，由 BC2 BO2 OC2 ，得 22 ( 5a 2)2(2 5)2

40、，6525解得 a1 6 5 (舍去）， a2 2 555658 5 ，OF a55OF4，cos COFOC53sin COF3）当 D 在 MON 内部时， 如图 3 1 ，FDA FDC 时，此时 CD AD 2 ， m 2 ； 当 FDA CDF 时，CQ 于 P，则 FDC FDA 135 ，DP，FDP 45 ，PC FP tan PFC FP tan MON 2FP 2DP CDFP PD CD m ，FD 2m ，FDA CDF ，FD CD ，DA FD ，FD AD CD 2m ，m 1 ；当 D 在 MON 外部时， ADF 90 ， DFC 90 ，ADF DFC ，D

41、FI FDI ， ID IF ，CF AD 2 ，DAF FCD FHD ，A、 O重合， 延长 BC 交ON于 R，FR 2CF 4 ， CR 2 5 ， BR 2m CD AB 1BR 1 5 ；2如图 3 4 ，0) ，延长 BC交ON于R ，过 F作 FS CD于S，DFC FDH ，DH FC ，ID IF 1CF 5t ，2 5t ，2IS t， FS 2t，CS 4t，DS ( 5 1)t ，DH FCFDA CFD ，AD DFDF FC ，DF2 AD FC 2DH 4 5t，DF 2 DS2 FS2 ，4 5t 4t 2 ( 5 1)2 t2 ，51解得， t15 1， t

42、2 0(舍去)，12DH 2 5t 5 5 2 AD ，矛盾，综上所述：m 1 或 m 2 ，或 m 1 5点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用12.（徐汇区 25）.如图，在 ABC中， AB AC 5， BC 6，点 D 是边 AB上的动点（点 D不与 点A,B重合），点G在边 AB的延长线上， CDE A， GBE ABC ， DE与边BC交于点 F.（1）求 cos A的值；（2）当 A 2 ACD 时，求 AD 的长；（3）点D在边 AB上运动的过程中， AD : BE的值是否会发生变化？如果不变化， 请求 AD

43、: BE的值； 如果变化，请说明理由 .【整体分析】1）作 AHBC于 H，BMAC于 M解直角三角形求出 BM，AM 即可解决问题2）设 AH 交 CD 于 K首先证明 AK =CK ，设 AK=CK=x，在 RtCHK 中，理由勾股定理求出 x，再证明 ADK CDA ，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题3）结论：AD：BE=5：6 值不变证明 ACD BCE，可得ADBEACBC满分解答】1）作 AHBC于 H，BMAC于 MAB=AC，AHBC，BH=CH=3， AHAB2 BH 252 32 4，S ABC 12 BCAHBM=BC AH24AC5，AMAB2BM 21 AC

44、 BM ，2 cosA AM 7AB 252）设 AH 交 CD 于 K BAC=2ACD ，BAH=CAH ， CAK= ACK，CK=AK，设 CK=AK=x，在 RtCKH 中，则有 x2=（4-x） 2+32，25解得 x= ，825AK=CK= ，8 ADK=ADC，DAK =ACD，ADAKDK25 5 CDACAD8 8 ，设 AD=m，DK=n，5m5258n125625则有8，解得 m,n22539312 ADK CDA ，m n nAD=125393）结论： AD： BE=5： 6 值不变理由： GBE=ABC， BAC+2ABC=180 ，GBE+EBC+ABC=180 ， EBC= BAC， EDC= BAC， EBC= EDC ，D ，B， E，C 四点共圆， EDB= ECB， EDB+EDC=ACD+DAC，EDC=DAC， EDB= ACD， ECB= ACD ， ACD BCE， AD AC 5 BE BC 6 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题13.（杨浦区 25）.已知在菱形 ABCD 中， AB=4，BAD=120，点 P 是直线 AB 上任意一点，联结 PC， 在 PCD内部作射线 CQ与对