2020届高考数学一轮复习第八篇8.7双曲线及其几何性质练习(含解析

1、专题 8.7 双曲线及其几何性质考试要求】 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 ( 范围、对称性、顶点、离心率、渐近 线).【知识梳理】1. 双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2(| F1F2| 2c0)的距离差的绝对值等于常数 (小于| F1F2|且大于零 )的点的轨迹叫双 曲线 .这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距 .其数学表达式：集合 P M| MF1| MF2| 2a ，| F1F2| 2c，其中 a， c 为常数且 a0， c0：(1) 若 ac 时，则集合 P为空集 .2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程22xya2 b2 1（ a0，

2、b0）22yxa2 b2 1（ a0， b0）图形性质范围xa或 xa，yRx R， y a 或 y a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1（ a， 0） ， A2（a， 0）A1（0 ， a） ， A2（0 ， a）渐近线b y xaa ybx离心率ce ，e（1 ，） a实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度 | A1A2| 2a；线段 B1B2叫做双 曲线的虚轴，它的长度 | B1B2| 2b； a叫做双曲线的实半轴长， b叫 做双曲线的虚半轴长a，b，c 的关系222 c a b微点提醒】1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a2. 离心率 eca ba1

3、ba22.3. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.疑误辨析】1. 判断下列结论正误 （在括号内打“”或“”）(1)平面内到点 F1（0 ， 4） ， F2（0 ， 4）距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线 .（ ）(2)(3)(4)(5)平面内到点 F1（0 ， 4） ， F2（0 ， 4）距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线 .（22xy方程 1（ mn0） 表示焦点在 x 轴上的双曲线 .（ ） mn22x y x y 双曲线 m2 n2 （m0，n0，0） 的渐近线方程是 m n 0.（22xy22xy2 2若双曲线 a2b21（a0，b0）与b2a21（a0，b0）的离心

4、率分别是 e1，e2，则 e12 e12 1（此条件中两条双曲线称为共轭双曲线 ）.（ ）答案】 (1) (2) (3) (4) (5) 解析】 （1） 因为| MF1| MF2| 8 | F1F2| ，表示的轨迹为两条射线 .（2） 由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 （3） 当 m0， n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0) 的一条渐近线方程为 y 3x，则 a5答案】解析】6.（201833由题意可得 ，所以a522北京卷 ) 若双曲线 a2 4a 5.1( a0) 的离心率为 25，则 a答案】解析】由题意可得， aa2 4a2，即 a2 16，又 a

5、0，所以a4.考点聚焦】考点一 双曲线的定义及应用例 1】 (1) 已知 F1， F2为双曲线C：x2 y2 2 的左、右焦点，点P在C上， | PF1| 2| PF2| ，则 cos F1PF21A.43B.53C.44D.5(2)(2019 济南调研 ) 已知圆 C1：( x3)2y21 和圆 C2： ( x 3) 2 y2 9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为 .2 【答案】 (1)C (2) x2y 1(x 1)8【解析】 (1) 由 x2y22，知 ab 2，c2.由双曲线定义知， |PF1|PF2|2a2 2，又 | PF1| 2| PF2| ，|

6、PF1| 4 2， | PF2| 2 2， 在 PF1F2中， | F1F2| 2c4，由余弦定理，得cos F1PF2| PF1| 2| PF2| 2| F1F2|22| PF1| |PF2|(2) 如图所示，设动圆 M与圆 C1及圆 C2 分别外切于 A和 B.根据两圆外切的条件，得| MC1| | AC1| |MA|，| MC2| | BC2| | MB| ，因为| MA| |MB|，所以| MC1| | AC1| |MC2|BC2|，即| MC2| | MC1| | BC2| | AC1| 2，所以点 M到两定点 C1， C2的距离的差是常数且小于 | C1C2| 6. 又根据双曲线的

7、定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支 (点 M与 C2的距离大，与 C1的距离小 ) ，2其中 a 1， c 3，则 b2 8.2故点 M的轨迹方程为 x2y 1( x 1).8【规律方法】 1. 利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方 程；2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合| PF1| | PF2| 2a，运用平方的方法，建立与 |PF1|，|PF2|的联系 .22xy【训练 1】 (1) 已知双曲线 C：a2b21(a0，b0)的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在双曲 线 C上，若 AF1F2 的周长为 10a，

8、则 AF1F2的面积为 ( )A.2 15a2B. 15a222C.30 a2D.15 a2(2)(2019 杭州质检 )双曲线 C的渐近线方程为 y 2 3 3x，一个焦点为 F(0， 7)，点 A( 2， 0) ，点 P 3为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时， PAF周长的最小值为 ( )A. 8 B.10C.43 7D.3 3 17【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1) 由双曲线的对称性不妨设 A 在双曲线的右支上，由 ec2，得 c2a， AF1F2的周长为 a| AF1| | AF2| | F1F2| | AF1| | AF2| 4a，又 AF1F2的周长为 10

9、a，|AF1| |AF2| 6a，又|AF1| | AF2|AF1| 4a， | AF2| 2a，在 AF1F2中， | F1F2| 4a，2 2 2| AF1| 2| AF2| 2| F1F2| 2 cos F1AF21 22| AF1| |AF2|222( 4a) 2( 2a)2(4a)2 1.24a2a4.又 0 F1AF0，b0） 的一条渐近线方程为 y 25x，且与椭22圆1x2y31 有公共焦点，则 C的方程为 （22 xyA. 18 1022 xyC. 5 4 15422xyB. 14522xyD. 14322xy（2）（2018 天津卷 ）已知双曲线 2 21（a0，b0） 的

10、离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 ab交于A，B两点. 设 A， B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为(2xA. 42x)2y21122C. y 13922xyB. 112 422D.x2y2193答案】解析】(1)B (2)C(1) 由题设知 b 25， a2又由椭圆221x2y31 与双曲线有公共焦点，12 3易知 a b c 9，22由解得 a2，b 5，则双曲线 C的方程为 x4 y5 1.22(2) 由 d1 d2 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b3. 因为双曲线 xa2yb21(a0，b0)的离心率为

11、 2，所以ca2，所以 a a2 b 4，所以 aa29a a a22 xy 4，解得 a23，所以双曲线的方程为 3 91.39【规律方法】 1. 利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条 件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c的值.2 2 2 22. 与双曲线 a2b21 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为a2 b2 ( 0).22【训练 2】 (1)(2019 海南二模 )已知双曲线 C：xa2yb21( a0， b0)过点( 2， 3) ，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是 (x2A. 1y 1

12、2xB.92C.x2y213D.132(2) 已知双曲线的渐近线方程为 2x3y0，且双曲线经过点 P( 6，2) ，则双曲线的方程为答案】22yx(1)C (2) 143322解析】 (1) 由双曲线 C：xa2yb21(a0，b0)过点 ( 2， 3) ，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得23a2b21，ba 3，解得a1，b 3，2双曲线 C的标准方程是 x2y3 1.3(2) 由双曲线的渐近线方程为 y 32x，22 可设双曲线方程为 x9 y4 ( 0).6 41因为双曲线过点 P( 6， 2) ，所以 94， 3，9 4322故所求双曲线方程为 y x 1.4

13、33考点三 双曲线的性质 角度 1 求双曲线的渐近线22xyA.y 2xC.y 22x【答案】 A【解析】 法【例 31】 （ 一题多解）（2018 全国卷 ）双曲线 a2b21（a0，b0）的离心率为 3，则其渐近线方程为B. y 3xD.y 23xcb 由题意知， e a 3，所以 c 3a，所以 b c2 a2 2a，即 a 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y bax 2x.法二 由 e ca1 ab 3，得 ab 2，所以该双曲线的渐近线方程为y bax 2x.角度 2 求双曲线的离心率22xy【例 3 2】（1）（2018 全国卷 ） 设 F1， F2是双曲线 C： 2 21（a0，

14、b0）的左、右焦点， O是坐标原点 ab过 F2作 C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若| PF1| 6| OP|，则 C的离心率为 （ ）A. 5 B.2 C. 3 D. 2 x2 y23（2）（2018 泰安联考 ）已知双曲线 C1：a2b21（a0，b0），圆 C2：x2y22ax4a20，若双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，则双曲线23A. 1， 3C.(1 ， 2)C1 的离心率的取值范围是 （ ）B. 233，D.(2 ，)答案】(1)C (2)A解析】（1） 不妨设一条渐近线的方程为yabx，则 F2到 y bax的距离 d |ab2c|b2b，在 Rt F2P

15、O中，| F2O| c，根据余弦定理得所以 | PO| a，所以 | PF1| 6a，又 | F1O| c，所以在 F1PO与 Rt F2PO中， cos POF1 a c 2（ 6a） cos POF2 a，则 3a2c2（ 6a） 20，得 3a2 c2，所以 ec 3.2acc ab 2 2 3 2 2（2） 由双曲线方程可得其渐近线方程为y x，即 bxay0，圆 C2： x2 y2 2ax a20 可化为 （xa）2a42 1 2 1 y2 4a2，圆心 C2的坐标为 （ a， 0） ，半径 r2a，由双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，得| a2b| 22b，即 c

16、24b2，又知 b2c2a2，所以 c24（c2a2），即 c24a2，所以 ec1，所以双曲线 C1 的离心率的取值范围为 1，233 .3角度 3 与双曲线有关的范围 （ 最值）问题2【例 33】 已知 M（ x0，y0）是双曲线 C：x2y21上的一点， F1， F2是 C的两个焦点，若 MF1MF20，则 y0的取值范围是 （ ）A. 3， 333C. 2 2， 2 2C. 3 ， 3B.3， 36，6D. 2 3， 2 3 3，3答案】 A2解析】 因为 F1（ 3，0） ， F2（ 3， 0） ， x2 y20 1，所以 MF1 MF2 （ 3x0，y0）（ 3 x0， y0）【规

17、律方法】1. 求双曲线离心率或其取值范围的方法（1） 求 a，b，2 2 2 2 c a bbc 的值，由 2 2 1 2直接求 e. aaa（2） 列出含有a，b，c 的齐次方程 （或不等式 ），借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e的方程 （或不等x02 y20 30，即 3y2010，b0） 的一条渐近线与圆 （x2） 2（y1）21相切，则 C的离心率为 （ ）A.43B.54C.196D.215616（2） 已知焦点在 x 轴上的双曲线228x m 4y m1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是答案】 (1)B (2)(0 ， 2)解析】 （1） 双曲线 C的渐近线方程为

18、byax 0，结合图形易知与圆相切的只可能是byax 0，又圆心坐标为 （2 ，1），则 | ba22ab|21，得 3a4b， ab所以 9a2 16b2 16( c2a2) ，则 e21265，5又 e1，故 e 4.2 x （2） 对于焦点在 x 轴上的双曲线2 y a2b21（ a0，b0） ，它的一个焦点 （c，0）到渐近线bxay 0 的距离为2 2 2 2b2a2b.本题中，双曲线 8m4m1 即8mm41，其焦点在22 xyx 轴上，则8 m0，解得m 40，4m0， b0）有公共渐近线的双曲线的方程可设为2. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程

19、中“1”为“ 0”就得到两渐2 2 2 2近线方程，即方程 xa2 yb2 0 就是双曲线 xa2 yb2 1 （ a0， b0） 的两条渐近线方程 .易错防范】 1. 双曲线方程中 c2a2b2，说明双曲线方程中 c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭 圆中的知识相混淆 .2. 求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是（1 ，） 这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错 .2 2 2 2 x y b y x a3. 双曲线 a2b21 （ a0， b0） 的渐近线方程是 y ax， a2 b21 （ a0，b0）的渐近线方程是 y

20、bx.分层训练】基础巩固题组】 （建议用时： 40 分钟） 一、选择题221.（2019 郑州模拟 ）设双曲线 xa2yb21（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程A.y12xC.y 2xB.y 22xD. y2x答案】【解析】 因为 2b2，所以 b1，因为 2c 2 3，所以 c 3，所以 a c2b2 2，所以双曲线的渐 近线方程为 y abx 22x.222. 双曲线 C：xya2b21(a0，b0） 的一个焦点为F，过点 F 作双曲线 C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且D. 26交 y 轴于 B，若 A 为 BF的中点，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2

21、B. 3 C.2【答案】 A1 解析】 由题易知双曲线 C的一条渐近线与 x轴的夹角为 4 ，故双曲线 C的离心率 e cos 4 2.223.（2018 全国卷 ） 已知双曲线C： xa2 yb2 1（ a0，b0）的离心率为 2，则点（4 ，0）到 C的渐近线的距离为 （）A. 2 B.2 C.322 D.2 2 【答案】 D【解析】 法一 由离心率 e c 2，得 c 2a，又 b2c2a2，得 ba，所以双曲线 C的渐近线方程为 a4y x.由点到直线的距离公式，得点 （4，0）到 C的渐近线的距离为2 2.11法二 离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y x，点（4 ，

22、0）到 C的渐近线的距离为112 2.4. （2019 天津和平区一模 ）已知双曲线 xa2yb21（a0，b0）的离心率为 23，过右焦点 F作渐近线的垂线，垂22x2 2y2B. x2 25y 122xyD. 116 20足为 M. 若 FOM的面积为 5，其中 O为坐标原点，则双曲线的方程为 （ 2 4y2A.x2 1522 xyC. 4 5 145 【答案】 C【解析】 由题意可知 ec 3，可得 b 5， a 2 a 2 取一条渐近线为 ybax，可得 F到渐近线 ybax 的距离 dabca2b2b，在 Rt FOM中，由勾股定理可得 | OM| |OF|2| MF| 2 c2b2

23、a，由题意可得 21ab 5，联立b 5，a 2 ，解得2ab 5，a2，b 5，22所以双曲线的方程为 x4 y5 1.22yx5. 已知 F2， F1是双曲线 a2 b2 1( a0， b0)的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点 B， A，若 ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )A.y 2xB.yxx22 6C.y 6xD.y【答案】 D【解析】 根据双曲线的定义，可得 |BF1| BF2| 2a， ABF2 为等边三角形，| BF2| | AB| ，|BF1| |AB| | AF1| 2a，又|AF2| | AF1| 2a，|AF2| | AF1| 2

24、a 4a，在 AF1F2 中， | AF1| 2a，| AF2| 4a， F1AF2120，| F1F2| 2| AF1| 2| AF2|2 2 2 2 1 2 2 2 2 22| AF1| |AF2|cos 120 ，即 4c24a216a222a4a 2 28a2，亦即 c27a2，则 b c2 a2 6a2 6a，由此可得双曲线 C 的渐近线方程为 y 66x.二、填空题226. 直线 l ：y2x10 过双曲线 xa2yb21(a0，b0) 一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为22【答案】 x y 15 20 b【解析】 由题意得一个焦点为 F( 5，0)，c5， 2， a又

25、a2 b2 c2，所以 a2 5， b2 20，2 x 所以双曲线方程为5220227. 设双曲线 x91y61的右顶点为 A，右焦点为 F. 过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 AFB的面积为 答案】32152 2 4解析】 a29，b216，故 c5. A（3 ， 0） ， F（5 ， 0） ，不妨设直线 BF的方程为 y3（ x5） ，代入双曲线方程解得173215 .1 S AFB 2| AF|1 32 32 |yB| 221515.8.(201922xy梅州质检 ） 已知双曲线 C：a2b21（ a0，b0） 的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点 .

26、P是双曲线在第一象限上的点，直线PO， PF2分别交双曲线 C 左、右支于 M， N.若| PF1| 2| PF2| ，且 MF2N60，则双曲线 C 的离心率为 .【答案】 3【解析】 由题意， | PF1| 2| PF2| ，由双曲线的定义可得， | PF1| | PF2| 2a，可得 |PF1|4a，|PF2| 2a，又|F1O|F2O|，| PO| | MO| ，得四边形 PF1MF2为平行四边形，又 MF2N60，可得 F1PF260， 在 PF1F2中，由余弦定理可得， 4c216a24a224a2acos 60 ，即 4c2 20a2 8a2， c2 3a2，可得 c 3a，所以

27、 e a 3.三、解答题9.（2019 安徽江南十校联考 ）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2 在坐标轴上，离心率为2，且过点P（4 ， 10）.（1） 求双曲线的方程；（2）（ 一题多解 ） 若点 M（3 ，m）在双曲线上，求证： MF1MF20.答案】见解析【解析】 （1） 解 e 2， 可设双曲线的方程为 x2 y2（ 0）.双曲线过点 （4， 10） ， 16 10，即 6. 22双曲线的方程为 x2y26，即x y 1.66（2） 证明 法一 由（1） 可知， a b 6，c2 3， F1（2 3，0） ，F2（2 3，0） ， kMF1， kMF21 3 2 3 2m3 2 3

28、，kMF12mkMF MF2 9 12m3.22点 M（3 ，m） 在双曲线上， 9 m2 6，m2 3，故 kMF1 kMF2 1， MF1 MF2. MF1 MF2 0.法二 由 （1） 可知， a b 6， c2 3，F1（ 2 3，0），F2（2 3，0），MF1（ 2 33， m） ， MF2 （2 33， m），MF1MF2（32 3）（32 3） m2 3m2，22点 M（3 ，m） 在双曲线上， 9 m26，即 m230，MF1 MF2 0.2210. 设 A，B 分别为双曲线xya2b21（ a0，b0） 的左、右顶点，双曲线的实轴长为4 3，焦点到渐近线的距离为 3.（1）

29、 求双曲线的方程；（2） 已知直线 y 33x2 与双曲线的右支交于 M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使 OMONtOD，3求 t 的值及点 D的坐标 .答案】见解析 【解析】 （1） 由题意知 a 2 3，b一条渐近线为 y x，即 bx ay 0.3，得 bb2c a2 3.a由焦点到渐近线的距离为2 2 2 2 又 c a b ，b 3，22双曲线的方程为 1x2 y3 1.（2） 设 M（ x1， y1） ， N（ x2，y2） ，D（x0，y0） ，其中 x02 3.又OM ONtOD，即（ x1， y1） （ x2， y2） t （x0，y0）， 则 x1x2tx 0，y1

30、y2ty 0.将直线方程 y 33x2代入双曲线方程 1x2 y31得 x216 3x840，其中 （16 3）24840，3 12 3则 x1 x2 16 3，y1y2 33（ x1x2）412.3x0 4 3，x0 4 3， y0 3.y0 3 ，2 2 解得 x20 y20 1.123 t 4，点 D的坐标为 （4 3， 3）.【能力提升题组】 （建议用时： 20 分钟）2211.（ 2019河南适应测试 ） 已知 F1，F2 分别是双曲线 xa2yb21（a0，b0）的左、右焦点， P 是双曲线上一 点，若 | PF1| | PF2| 6a，且 PF1F2的最小内角为 6 ，则双曲线的

31、渐近线方程为 （ ） 1A. y2xB.y 2xC.y 22xD.y 2x答案】 D解析】不妨设 P 为双曲线右支上一点，则| PF1| PF2| ，由双曲线的定义得| PF1| | PF2| 2a，又| PF1|2c2a，|PF2|6a，所以 | PF1| 4a， | PF2| 2a.又因为所以 PF1F2为最小内角，故 PF1F2 .4a2a，6由余弦定理，可得4a2c2a3，即 （3ac） 2 0，所以c3a，则b2a，所以双24a2c2曲线的渐近线方程为 y 2x.22 xy12. 已知点 F 为双曲线 E： a2 b2 1（ a0， b0）的右焦点，直线 ykx（ k0）与 E交于不

32、同象限内的 M，N两点，若 MFNF，设 MNF，且 12， 6 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）B.2 ， 3 1D. 2， 3 1A. 2， 2 6C.2 ， 2 6【答案】 D解析】 如图，设左焦点为 F，连接 MF， NF，令| MF| r 1， | MF| r 2，则| NF| | MF| r 2，由双曲线定义可知 r2r12a，点 M与点 N关于原点对称，且 MFNF，|OM| | ON| | OF| c， r 21 r 22 4c2，22由得 r 1r 22（c a ） ，又知 SMNF 2SMOF，1 1 2 2 2 2 2r 1r 22 2c sin 2 ， cacsin 22 1 e2，又 ， ， sin 21 sin 2 12 61e21sin1 2 2， （ 31）2.， 1213.（2018 北京卷22xy）已知椭圆 M：a2b21（ab0），双曲线 N：2 x2m2y21. 若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M n的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一