三角函数知识点归纳

1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角正角: 按逆时针方向旋转形成的角 任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 ,k第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 ,k第三象限角的集合为k 360 180k 360 270 ,k第四象限角的集合为k 360 2

2、70k 360 360 ,k终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 ,k(2)终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)终边与角 相同的角的集合为 k 360 ,k(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角弧度与角度的换算： 3602弧度； 180 弧度半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 lr若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为l ，周长为C ，面积为 S，则l r ，C 2r l ，1 1 2 S lrr2 222 任

3、意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x， y)，它与原点的距离为 r rx2 y2 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别是： sin ry， cos rx，tan yx(三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三r r x正切、四余弦)3特殊角的三角函数值学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除角度 函数030456090120135150180270360角 a 的弧度0/6/4/3 /22/33/45/63/22sina01/2 2/23/213/22/21/20-10cosa13/2 2/21/20-1/2-2/2-3/2-1

4、01tana03/313-3-1-3/300、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2 1；( 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号)(2)商数关系：csoins tan . （3）倒数关系： tan cot 12诱导公式公式一： sin（ 2k）sin ， cos（ 2k）cos_， tan（2k ） tan其中 kZ .公式二： sin（ ） sin_， cos（ ） cos_， tan（ ） tan .公式三： sin（ ） sin ， cos（ ） cos_， tantan 公式四： sin（ ） s

5、in_， cos（ ） cos_， tantan .诱导公式可概括为 k2 的各三角函数值的化简公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 其中的奇、偶是指 2的奇数学习资料( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；若是偶数倍，倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角时，根据 k在哪个象限判断原 三角函数值的符号，最后作为结果符号B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法 在求值与化简时，常用方法有：(1) 弦切互化法：主要利用公式 tan csoins 化成正、余弦(2) 和积转换法：利用 (sin co

6、s )212sin cos 的关系进行变形、转化sin cos 、sin cos 、 sin cos 三个式子知一可求二)（3）巧用“1”的变换： 1sin2 cos2= sin tan4244）齐次式化切法：已知tan k ，则asin bcos msin ncosatanb ak bmtann mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如 y sinx与 y cosx 的周期是 ）。3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道 y Asin（ x ）， y Aco

7、s（ x ）， y Atan（ x ） 的简单性质（一） 知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别3为 0 ， , , ,2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。222、正弦函数 y sin x（x R） 、余弦函数 y cosx（x R）的性质 ：（ 1）定义域 ：都是 R。（ 2）值域 ：都是 1,1 ，3对 y sin x ，当 x 2k k Z 时， y 取最大值 1 ；当 x 2k k Z 时， y 取最小值 1 ； 22对 y cosx ，当

8、 x 2k k Z 时， y取最大值 1，当 x 2k k Z 时， y取最小值 1。（ 3）周期性 ： y sin x ， y cos x的最小正周期都是 2 ；（4） 奇偶性与对称性 ：正弦函数 y sinx（x R） 是奇函数，对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ；2余弦函数 y cos x（ x R）是偶函数，对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ；（正（ 余）2 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交点）。（ 5）单调性 ：y sin x在2k , 2k k Z 上单调递增，在2k , 3

9、 2k k Z 单调递减；y cosx在2k ,2k k Z 上单调递增 ,在 2k ,2k k Z 上单调递减。 特别提醒 ，别忘了 k Z ！3、正切函数 y tanx 的图象和性质（ 1）定义域： x | xk ,k Z 。2（ 2）值域是 R，无最大值也无最小值； （3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 类是图象与 x 轴的交点，另一类是渐近线与k2 ,0 k Z特别提醒 ：正 （余）切型函数的对称中心有两类：x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。性质函数y sin xy cos xy tan x图象定义域RRxxk,k2值域1,11,1R当x2 k k 时，当x

10、2k k 时，最值ymax1 ；当 x 2kymax1 ；当 x 2k既无最大值也无最小值2k 时， ymin 1 k时， ymin1 周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数在2k , 2k22在 2k ,2k k 上 是k 上是增函数；在在 k , k单调性增函数；在 2k ,2 k222k3,2k22k 上是减函数k 上是增函数k 上是减函数k , k k Z 内都是增函数。 但 要注意在整个定义域上不具有单调性4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质4）单调性：正切函数在开区间对称性对称中心 k ,0 k 对称轴 x k k对称中心 k ,0 k2对称轴 x k k对称中心 k ,0 k无对称轴

11、5、研究函数 y Asin( x ) 性质的方法：类比于研究 y sinx 的性质 ，只需将 y Asin( x ) 中的 x 看 成 y sin x 中的 x 。函数 y Asin( x )(A0， 0)的性质。( 1)定义域： R(2)值域： -A, A( 3)周期性： T 2|2 f(x) Asin( x ) 和 f (x) Acos( x ) 的最小正周期都是 T 。| f (x) Atan( x) 的最小正周期都是 T 。|( 4)单调性：函数 yAsin ( x )( A 0， 0)的单调增区间可由 2k x 2k ， kz 解得； 223单调减区间可由 2k x 2k ， k z

12、 解得。 22在求 y Asin( x ) 的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如 函数 y sin( 2x ) 的递减区间是 3(答：解析：y=所以求 y 的递减区 间即是求的递增区间，由，所以 y 的递减区间是四、函数 y Asin x 的图像和三角函数模型的简单应用 一、 知识要点1、 几个物理量 ： 振幅： ；周期：； 频率： f2、 函数 y Asin( x )表达式的确定 ：A 由最值确定； 由周期确定； 函 数 y sin x ， 当 x x1 时 ， 取 得 最 小 值 为 ymin ； 112 ymax y m in 2 ymax ymin2 x

13、2 x1 x1 x23、函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：“五点法”设 X x ，1； 相位： x ； 初相：2 由图象上的特殊点确定 .当 x x2 时 ， 取 得 最 大 值 为 ymax，则3,3令X0，2, , 2 ,2 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数 y sinx 的图象经变换可得到 y Asin x0 的图象y=sin x y=sinx横坐标1y 伸（缩） 1 倍sin x左（右）平移伸（缩） A 倍y sin x伸（纵缩坐）标 A 倍左（右） 平移 横坐标 y sin x 纵坐标 伸（缩） 1 倍伸（缩

14、） A 倍y sin x 纵坐标 平移 伸（缩） A 倍 y Asinxy Asin x左（右）y Asin x横坐标伸（缩） 倍左（右）纵坐标 y Asinx 伸（缩） Ay倍=sinx横坐标 y Asin x 伸（缩） 1 倍 平移左（右）y Asin x 横坐标 平移 伸（缩） 1 倍5、函数 y Asin（ x ） b的图象与 y sin x图象间的关系 ：函数 y sin x的图象向左（ 0）或向右（ 0）1 平移 | | 个单位得 y sin x 的图象；函数 y sin x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到函 数 y sin x 的图象；函数 y sin x 图象的

15、横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数y Asin（ x ） 的图象；函数 y Asin（ x）图象向上（ b 0 ）或向下（ b 0）平移 |b|个单位，得到y Asin x b 的图象。要特别注意 ，若由 y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移 | | 个单位， 如要得到函数 ysin（2x3 ） 的图象，只需将函数 ysin2x的图象 （）3（A） 向左平移 3个单位（B） 向右平移 3 个单位33（C） 向左平移 6 个单位（D） 向右平移 6 个单位6、函数 y Acos（ x ）和 y=Atan （ x ）的性质和图象的变换与 y Asin （

16、x ）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscos cos sin sin ； coscos cos sin sin ； sinsin cos cos sin ； sinsin cos cos sin ； tan tan tan ( tan tan tan 1 tan tan )；1 tan tan tan tan tan1 tan tantan tan tan 1 tan tan )答案： 3 )如 tan 20o tan 40o3 tan 20o tan 40o2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：2 2 2 sin2 2sin cos 1 sin 2 sin2cos

17、22sin cos (sin cos ) 225 2 5 如 cos 12 cos 12 cos12 cos12的值等于5答案： 54 )2 cos2 cos2 2 2sin 2cos 1 1 2sin升幂公式221 cos2 2cos ,1 cos2 2sin降幂公式2cos1 cos2 2 1 cos2 ， sin2 tan2 2 tan21 tan 23、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asin bcosa2 b2 sin，其中 tan4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：( 1)角的变换：在三角化简，求值，

18、证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如： 2 是 的二倍； 4 是 2 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；2 2 4 sin ； cos12 12 ( ) ； 2 ( ) ( ) (4415o 45o 30o 60o 45o ；问： ( ) ；42) ( ) ；等等 .42如1 tan,tan54441,则 tan43 答案： 3224 4 2 若 cos( ) 5 ，cos()5 ，且 2 3 ， 2 2，则 cos2， cos2答案：7275 ， 1)答案：sin cos23 已知 1,tan , 则 tan 2 1 cos23(2)函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦， 变异名为同名(二弦归一) 。如 sin50o(1 3 tan10o