小学六年级奥数教案(完整30讲

1、小学六年级奥数教案 01 比较分数的大小同学们从一开始接触数学， 就有比较数的大小问题。 比较整数、 小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数， 有分母相同， 分子相同以及分子、 分母都不相同三种情况， 其 中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况， 即分子、分母都不同的两个分数， 通常是采用通分的方法， 使它们的分 母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别， 所以通分的方法不一定是最简捷的。 下面我们介绍另外 几种方法。

2、1. “通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大， 而分子的最小公倍数比较小时， 可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”2. 化为小数。这种方法对任意的分数都适用， 因此也叫万能方法。 但在比较大小时是否简便， 就要 看具体情况了。3. 先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4. 根据倒数比较大小5. 若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母 （子）大的分数较大； 若两个假分数 的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，7 / 1166. 借助第三个数进

3、行比较。有以下几种情况：1）对于分数 m和 n，若 m k， k n，则 mn。（ 2）对于分数 m和 n，若 m-kn-k ，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。3）对于分数 m和 n，若 k-mn。注意，（ 2）与（ 3）的差别在于，（ 2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m和n； 3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两 个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点， 当两个已知分数不容易比较大小， 新分数与其中一个已知分数容易比较 大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方

4、法还有很多，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；同学们可以在学习中不断发现总结， 但无论哪种方法，分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习 11. 比较下列各组分数的大小：答案与提示 练习 1小学六年级奥数教案 02 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、 分母发生变化的题目， 例如分子或分母加、 减某数， 或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、 减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、 减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分

5、母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析与解： 因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解： 如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出么会怎样呢？数 a 。 分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变， 等于 29+43=72。 约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是

6、 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解： 分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变， 分母也应增加相同的倍数，所以分母应加82=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数 =分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数 =分子所加（减）的数原分数。分析与解： 这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的， 我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习 2是多少？答案

7、与提示 练习 26.13 。解：（ 67-22）（16-7）=5，75-22=13。小学六年级奥数教案 03 分数运算技巧 对于分数的混合运算， 除了掌握常规的四则运算法则外， 还应该掌握一些特殊的运算 技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1. 凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中， 充分利用四则运算法则和运算律 （如 交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到 简化。2. 约分法9 / 1163. 裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差， 并且使中间的分数相互抵消， 则能大大简化 运算。例 7 在自然数 1100中找出 10个不同的数，

8、使这 10 个数的倒数的和等于 1分析与解： 这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的 就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成：所求的 10 个数是 2， 6， 12，20，30， 42，56， 72，90，10的 10 和 30，仍是符合题意的解4. 代数法5. 分组法分析与解： 利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 和为n 的分数之原式中分母为 220 的分数之和依次为练习 38.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1答案与提示 练习 31.3。8.2 ，6， 8， 12， 20， 30，

9、 42， 56。9.5680 。解：从前向后，分子与分母之和等于 2的有 1个，等于 3的有 2个，等于 4的有 3 个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有 （n-1） 个。分子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671（个），5671+9=5680（个）。小学六年级奥数教案 05 工程问题一顾名思义， 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。 其实，这类题目的内容已不 仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率工作时间，工作时间 =工作量工作效率，工作效率 =工作量工作时间。工作量指的是工作

10、的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢， 其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时间的选取， 根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 /天”，或“工作量 /时”等。但在 不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解： 以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效18 天，后面的工作甲、乙两队合干例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45

11、 天完成。如果开工时甲、乙 两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多 少天？分析： 将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天， 干，因工作需要甲队中途撤走了， 结果一共用了乙队需 15天，丙队需 20 天。开始三个队一起6 天完成这一工程。 问：甲队实际工作了几天？分析与解： 乙、丙两队自始至终工作了的是甲队干的，所以甲队实际工作了6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下# / 116例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30

12、时完成。如果两人同时做， 那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解： 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排 水管 7时可将满池水排完。 如果一开始是空池， 打开放水管 1时后又打开排水管， 那么再过多 长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟 出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点， 取东西又耽误了 5分钟。甲再出发后多长时间两 人相遇？分析： 这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度

13、，所以不能用时间、 路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的 解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 51. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15天完成，他们合干多少天才可完成工程的 一半？2. 某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干， 后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队

14、在中间单独工作的天数。3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需 30天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖 了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5. 修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24天。现在两队同时从两端开工， 结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6. 蓄水池有甲、乙两个进水管， 单开甲管需 18时注满，单开乙管需 24时注满。如果 要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从40千米。求甲、乙两地的距离。答

15、案与提示 练习 52.14 天。3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 时。提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。35 / 116小学六年级奥数教案 06 工程问题二上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。 在较复杂的工程问题中， 工 作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果甲先做 20 天， 那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解： 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从

16、上图可直观地看出： 甲 15天的工作量和乙 12天的工作量相等， 即甲 5 天的工作量 等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过 此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天，然后么还要几天才能完成？分析与解： 题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天 才能完成

17、。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。 问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解： 乙单独做要超过 3天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1 ， 2 ， 3 号阀门，则 20 分钟可以完成；若同时 打开 2，3，4号阀门，则 21分钟可以完成； 若同时打开 1，3，4号阀门，则28分钟可以完成； 若同时打开 1，2，4号阀门，则 30分钟可以完成。问：如果同时打开 1，2，3，4 号阀门，那 么

18、多少分钟可以完成？分析与解： 同时打开 1，2，3号阀门 1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟， 再同时打开 1，3，4号阀门 1分钟，再同时打开 1，2，4号阀门 1分钟，这时， 1，2，3，4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四小队合干，需要10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、 的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解： 与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的

19、顺序每人一天轮流去做， 恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解： 把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完 成的总工作量都相同。 所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同 （见下图虚线 左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习 61. 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做 6时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先做 8 时李师傅 再做 9 时也可完成。现在王师傅

20、先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5. 蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲 管在何时被关闭？6. 单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺 序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？7. 一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流 干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮 流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天

21、？答案与提示 练习 61.360 个。2.甲18天，乙 12天。3.7.2 时。解：由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时，所以单独干李需 12+623=21（时）， 王需 2132=14（时）。所求为5.上午 9时。6.10 时 15 分。7.8.5 天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数， 那么不论甲先还是乙先， 两种轮流做的方式完 成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲现在乙先比甲先要多用半天， 所以甲先时，完成的天数一定是奇数， 于是得到右上图， 其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做 17 天等于甲做 8.5 天。小学

22、六年级奥数教案 07 巧用单位“ 1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“ 1”。在许多分数应用题中，都会遇到 单位“ 1”的问题，根据题目条件正确使用单位“ 1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位答：这本故事书共有 240 页。分析与解： 本题条件中单位“ 1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看 后余下的页数”、 “第二天看后余下的页数”，出现了 3 个不同的单位“ 1”。按照常规思路， 需要统一单位“ 1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“ 1”反而更方便。我们先把全书看 成“1”，看成“ 1”，就可以求出第

23、三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？分析与解： 故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这给计算带来很多不便， 需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓 “不变量” 为单位“ 1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以图书室原来共有图书分析与解： 与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数， 所以以甲、乙组的总人数为单位“ 1”。例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻， 货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车 追上了客车，再过

24、多少分钟，货车追上客车？分析与解： 根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“ 1”。由“走了 10 分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿可知小轿车 (10+5) 分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？乙班有 84-48=36(人)。练习 7树上原有多少个桃？剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐。共收西红柿多少千克？7.六年级两个班共有学生 94 人，其中女生有 39 人，已知一班的女生占本答案与提示 练习 71.35 个。4.384 千克。7.一班45人，二班 49人。小学六年级奥数教案 08 比和比例 比的概念是借助于除法的概念建立的。

25、两个数相除叫做两个数的比。例如， 56 可记作 56。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如， 37=921。判断两个比是否成比例， 就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a b=cd，那么 ad=bc。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如 a b c。连比中的“” 不能用“”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于 第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲乙 =56，乙丙 =43，因为6 ，4=12，所以5 6=10 12，

26、 4 3=129，得到甲乙丙 =10 129。例 1 已知 3 （x-1）=7 9，求 x。解： 7 （x-1）=3 9，x-1=397，例 2 六年级一班的男、女生比例为 3 2，又来了 4 名女生后，全班共有 44 人。求 现在的男、女生人数之比。分析与解： 原来共有学生 44-4=40（人），由男、女生人数之比为 32 知，如果将 人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出女生增加 4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 24 20=65。在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。 按

27、比例分配的方法是将按 已知比分配变为按份数分配， 把比的各项相加得到总份数， 各项与总份数之比就是各个分量在 总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是 1 2 12，现在要配制这 种农药 2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。分析： 总量是 2700千克，各分量的比是 1212，总份数是 1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要 180，360和 2160千克。在按比例分配的问题中， 也可以先求出每份的量， 再求出各个分量。 如例 3 中，总份 数是 1+2+12=15，每份的量是 270015=180（千克），然后用每份的量

28、分别乘以各分量的份数， 即用 180 千克分别乘以 1，2，12，就可以求出各个分量。例 4 师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件 用 15 分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解： 解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率有多少学生？按比例分配得到例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小 轿车 10 元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5 6，小客车与小轿车之比是 4 11，收取小轿车的通行费比大客车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。分析与解：大客车、小轿

29、车通过的数量都是与小客车相比，如果能将56中的 6与411中的 4 统一成 4 ，6=12 ，就可以得到大客车小客车小轿车的连比。由 56=1012 和 4 11=1233，得到大客车小客车小轿车 =101233。以10辆大客车、 12辆小客车、 33辆小轿车为一组。 因为每组中收取小轿车的通行费 比大客车多 1033-30 10=30（元），所以这天通过的车辆共有 21030=7（组）。这天通过大客车 =107=70（辆），小客车 =127=84（辆），小轿车 =337=231（辆）。练习 81. 一块长方形的地，长和宽的比是 53，周长是 96米，求这块地的面积。2. 一个长方体，长与宽的

30、比是 43，宽与高的比是 54，体积是 450分米 3。问：长 方体的长、宽、高各多少厘米？3. 一把小刀售价 6 元。如果小明买了这把小刀， 那么小明与小强的钱数之比是 35； 如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是 911。问：两人原来共有多少钱？5. 甲、乙、丙三人分 138 只贝壳， 甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每取走 5 只丙就取 走 6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6. 一条路全长 60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 12 3，某人走各段路程所用的时间之比是 3 4 5。已知他走平路的速度是 5 千米 / 时，他走完全 程用多少时间？7

31、. 某俱乐部男、女会员的人数之比是 32，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组 的人数之比是 1087。如果甲组中男、女会员的人数之比是 31，乙组中男、女会员的人 数之比是 53，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？答案与提示 练习 81.540 米2. 长100厘米，宽 75厘米，高 60厘米。 解：长宽高 =2015 12， 450000（201512）=125=53。 长=205=100（厘米），宽 =15 5=75（厘米）， 高=125=60（厘米）。3.86 元。解：设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。4.2640 元。5.甲50只，乙 40只，丙 4

32、8只。解：甲乙丙 =2520 24，138 （25+20+24）=2，甲=2 25=50（只），乙 =220=40（只），丙=2 24=48（只）。6.12 时。7.5：9小学六年级奥数教案 09 百分数百分数有两种不同的定义。（1）分母是 100 的分数叫做百分数。 这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一 种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。 在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：

33、 比较数标准数 =分率（百分数），标准数分率 =比较数，比较数分率 =标准数。 根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例 1 纺织厂的女工占全厂人数的 80，一车间的男工占全厂男工的 25。问：一车 间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解： 因为“女工占全厂人数的 80”，所以男工占全厂人数的 1-80 =20。 又因为“一车间的男工占全厂男工的 25”，所以一车间的男工占全厂人数的 2025=5。例 2 学校去年春季植树 500 棵，成活率为 85，去年秋季植树的成活率为 90 。已 知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解

34、： 去年春季种的树活了 500 85=425（棵），死了 500-425=75（棵）。 去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55 （1-90）90=495（棵）。所以，去 年学校共种活 425+495=920（棵）。例 3 一次考试共有 5 道试题。做对第 1， 2， 3， 4， 5 题的人数分别占参加考试人数 的 85， 95， 90， 75， 80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格 率至少是多少？分析与解： 因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加 考试的人数为 100。由此得到做错第 1 题的有 100（ 1-85 ） =15（人）；

35、同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。一人做错 3道或 3道以上为不及格，由 753=25（人），推知至多有 25人不及格， 也就是说至少有 75 人及格，及格率至少是 75。例 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25，五年级学生比四年级学生少 10， 六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六年级共 有多少名学生？分析： 以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的 125，五年级是三年级的 125（ 1-10 ），六年级是三年级的 125（ 1-10）（ 1+10

36、）。因为已知六年级 比三年级多 38 人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程：x 125（ 1-10 ）（ 1+10）=x+38，x 125 90 110=x+38，1.2375x=x+38 ，0.2375x=38 ，x=160 。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160 125=200（名）。五年级有学生 200（ 1-10 ） 180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生 738 名。在百分数应用题中有一类叫 溶液配比问题 。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖

37、水， 其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也 就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液 =糖+水）二者重量的比值决定的，这个比 值就叫糖水的含糖量或糖含量。 类似地， 酒精溶于水中， 纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就 叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量 +溶剂重量，溶质含量 =溶质重量溶液重量，溶液重量 =溶质重量溶质含量，溶质重量 =溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如， 10克白糖溶于 90 克水中，含糖量（溶例 5 有含糖量为 7的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10，需要再加入多少

38、克糖？分析与解： 在 600 克含糖量为 7的糖水中，有糖（溶质） 6007=42（克）设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到 10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（ 600+x） 克，根据溶质含量可得方程需要再加入 20 克糖例 6 仓库运来含水量为 90的一种水果 100 千克，一星期后再测，发现含水量降低 到 80。现在这批水果的总重量是多少千克？分析与解： 可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100（ 1-90 ） =10（千克）。一星期后含水量变为 80，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是 10 千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是 10+40=50（千克）。练习

39、 91. 某修路队修一条路， 5 天完成了全长的 20。照此计算，完成任务还需多少天？2. 服装厂一车间人数占全厂的 25，二车间人数比一车间少 20，三车间人数比二 车间多 30。已知三车间有 156 人，全厂有多少人？3. 有三块地，第二块地的面积是第一块地的 80，第三块地的面积比第二块多 20， 三块地共 69 公顷，求三块地各多少公顷。4. 某工厂四个季度的全勤率分别为 90， 86， 92， 94。问：全年全勤的人至 少占百分之几？5. 有酒精含量为 30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6. 配制硫酸含量为

40、 20的硫酸溶液 1000克，需要用硫酸含量为 18和 23的硫酸 溶液各多少克？7. 有一堆含水量 14.5 的煤，经过一段时间的风干，含水量降为 10，现在这堆煤 的重量是原来的百分之几？答案与提示 练习 91.20 天。解：520-5=20（天）。2.600 人。解： 156 （1-20 ） （1+30 ） 25=600（人）。3. 第一、二、三块依次为 25，20和 24公顷。解：第一块地的面积为 69 1+80 +80 （1+20）=25 （公顷） ，第二块地为 2580 =20（公顷） ，第三块地为 69-25=24（公顷） 。4.62 。解；设全厂有 100 人，则四个季度没有全

41、勤的共有 10+14+8+6=38（人次）。 当四个季度没有全勤的人互不相同时， 全年没有全勤的人最多， 为38人，所以至少有 100-36=62 （人）全勤，即全年全勤率至少为 62。5.20 。解：设酒精含量为 30的酒精溶液有 100克，则溶质为 30 克。稀释成酒精含量为 24 的酒精溶液需加水 3024-100=25（克）。若再加入 25 克水，则酒精含量变为30（100+25+25）=20。6.600 克，400 克。提示：设需要 18的溶液 x 克，则需要 23的溶液 （100-x） 克。根据溶质重量可得x 18+（1000-x） 23=1000 20。解得 x=600。7.95

42、 。解：设原有 100 吨煤，则有水份 14.5 吨。又设风干掉水份 x 吨，则由含现在煤的重量为 100-5=95（吨），是原来的 95。小学六年级奥数教案 10 商业中的数学市场经济中有许多数学问题。 同学们可能都有和父母一起去买东西的经历， 都知道商 品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、 利润等听起来有些陌生的名词。这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用 利润=售出价 - 成本，例如，一件商品进货价是 80 元，售出价是 100 元，则这件商品的利润是 100-80=20 元），利润率是在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价，还包括运输费、 仓

43、储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。例 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每个 11 元的利润卖出 12 个的钱 一样多。这种商品的进货价是每个多少元？解：设进货价是每个 x 元。由“售出价 =进货价+利润”，根据前、后两次卖出的钱 相等，可列方程x+7） 13=（x+11） 12，13x+91=12+132x=41。答：进货价是每个 41 元。例 2 租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000 元。这些货物原计划要销售 3 个月，由 于降低了价格， 结果 2 个月就销售完了， 由于节省了租仓库的租金，所以结算下来， 反而比原 计划多赚了 1000 元。问：每千克货物

44、的价格降低了多少元？分析与解：原计划租仓库 3个月，现只租用了 2 个月，节约了 1 个月的租金 7000元。 如果不降低价格，那么应比原计划多赚 7000 元，但现在只多赚了 1000 元，说明降价损失是 7000-1000=6000（元）。因为共有 3 吨，即 3000千克货物，所以每千克货物降低了 60003000=2（元）。例 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生对商店经理说： “如果你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购 4件。”商店经理算了一下，若减价 5，则 由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多 100 元。问：这种商品的成本是多少元？分析

45、与解： 设这种商品的成本是 x 元。减价 5就是每件减 1005=5（元），张 先生可多买 45=20（件）。由获得利润的情况，可列方程（100-x ） 80 +100=（100-5-x）（80 + 20 ），8000-80x+100=9500-100x ，20x=1400，x=70，这种商品的成本是 70 元。由例 2、例 3 看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利润有时反而比原 来多。例 4 某商店到苹果产地去收购苹果， 收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离 是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元。如果在运输及销售过程中的损耗是 10 ， 商店

46、要想实现 25的利润率，零售价应是每千克多少元？分析与解：本题的成本包括收购价、 运费、损耗。每千克的收购价加运费是 1.20+1.50 4001000=1.80（元）。因为有 10的损耗，所以每千克的成本为 1.80 （1-10）=2.00（元）售出价 =成本（利润率 +1）=2.00 （ 25+1）=2.50 （元）， 即零售价应是每千克 2.50 元例 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价 2 元 3 个，白球原价 3 元 5 个。新年优惠，两种球都按 1元 2个卖，结果小明少花了 8元钱。问：小明共买了多少个球？例 6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共 40 万元，每年需付利

47、息 5 万元。甲种贷款年 利率为 12，乙种贷款年利率为 14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？解：设申请甲种贷款 x 万元，则申请乙种贷款（ 40-x ）万元。根据需付利息可得方 程x12+（40-x ） 14=5，0.12x+5.6-0.14x 5，0.02x 0.6 ，x=30（万元）。40-30=10（万元）。答：申请甲种贷款 30 万元，乙种贷款 10万元练习 101. 商店进了一批钢笔，用零售价 10元卖出 20支与用零售价 11元卖出 15支的利润相 同。这批钢笔的进货价每支多少元？2. 某种蜜瓜大量上市， 这几天的价格每天都是前一天的 80。妈妈第一天买了 2 个， 第二

48、天买了 3个，第三天买了 5个，共花了 38元。若这 10个蜜瓜都在第三天买， 则能少花多 少钱？3. 商店以每双 13元购进一批凉鞋， 售价为 14.8 元，卖到还剩 5双时，除去购进这批 凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？4. 体育用品商店用 3000元购进 50个足球和 40 个篮球。零售时足球加价 9，篮球 加价 11，全部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？5. 某种商品的利润率是 20。如果进货价降低 20，售出价保持不变，那么利润率 将是多少？6. 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是 400

49、 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收费 1.50 元。如果不计损耗，那么商店要想实现 25 的利润率，零售价应是每千克多少元？减价 10 元出售，全部售完，共获利润 3000 元。书店共售出这种挂历多少本？答案与提示 练习 101.7 元。解：（ 1020-1115）（ 20-15）=7（元）。2.6 元。解：设第一天每个蜜瓜 x 元。由2x+3x80+5x80=38，解得 x=5（元）。 10 个瓜都在第三天买要花5108080=32（元），少花 38-32=6（元）。3.90 双。解：（88+14.8 5） （14.8-13）=90 （双）。4. 足球32元，篮球 35元。解：设50个足

50、球的进价为 x元，则40个篮球的进价为 （3000-x） 元。根据利润可得方 程x9+（3000-x） 11=298。解得 x=1600。每个足球的进价为 1600 50=32（元），每个篮球的进价为 （3000-x） 40=35（元）。5.50 。解：设原来进价为 1 元，则售出价为 1（1+20）=1.2 （元）。现在的进价为 1（1-20 ）=0.8 （元），利润率为（ 1.2-0.8 ） 0.8=50。6.2.25 元。解：（1.20+1.50 4001000） （1+25）=2.25 （元）。7.250 本。解：将售出的挂历分组，每组 5本，其中原价的 2 本，减价的 3本。每组可获

51、利润 182+83=60（元），推知共有 3000 60=50（组），所以共售出 550=250（本）。小学六年级奥数教案 11 圆与扇形五年级已经学习过三角形、 矩形、平行四边形、 梯形以及由它们形成的组合图形的相 关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。圆的面积 =r2，圆的周长 =2r ，本书中如无特殊说明，圆周率都取 =3.14 。例 1 如下图所示， 200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆 已知每条跑道宽 1.22 米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到 0.01 米）分析与解： 半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外 道

52、的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。 虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。设外弯道中心线的半径为 R，内弯道中心线的半径为 r ，则两个弯道的长度之差为 R-r （ R-r ） 3.14 1.22 3.83 （米）。即外道的起点在内道起点前面 3.83 米。例 2 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图）， 此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于 6个线段 AB与6个BC弧长之和。将图中与 BC弧 类似的 6个弧所对的圆心角平移拼补，得到 6 个角的和是 360

53、，所以 BC弧所对的圆心角是 60，6 个 BC弧等于直径 5 厘米的圆的周长。而线段 AB等于塑料管的直径，由此知绳长 =5 653.14 45.7 （厘米）。例 3 左下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积分析与解： 直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出， 正方形中的空白部分是 4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法， 可以得到右上图。 右上图 的阴影部分的面积与原图相同， 等于一个正方形与 4 个半圆（即 2个圆）的面积之和，为（ 2r ） 2r 22=1023.1450257（厘米 2）。例 4 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，

54、 在羊圈的一角用长 30 米的绳 子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？分析与解： 如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A，B， C三部分，所以羊活动的范围是例 5 右图中阴影部分的面积是 2.28 厘米 2 ，求扇形的半径分析与解： 阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半径是 4 厘米。例 6 右图中的圆是以 O 为圆心、径是 10 厘米的圆，求阴影部分的面积分析与解： 解此题的基本思路是：从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分 S1 的面积，就必须想办法求出 S2 和 S3 的面积。S3的面积又要用下图的基本思路求：现在就可以求出 S3 的面积，进而求出阴影部分的面积了。S3=S4-S