高等数学((下册))知识点汇总

1、.高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设a( ax , ay , az ) ， b(bx ,by , bz ) ，则 a b (axbx , ayby , azbz ) ,a( ax , ay , az) ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：rx2y2z2；2） 两点间的距离公式：AB( x2x1 )2( y2y1)2(z2 z1)23） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正

2、向的夹角, ,4） 方向余弦： cosx , cosy , coszrrrcos2cos2cos215） 投影： Pr ju aa cos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积： abab cos1） aaa22） abab0a b a x b xa y b ya zbz2、向量积： cab大小：absin，方向： a ,b , c 符合右手规则1） aa0. .2） a / bab0ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念： S : f ( x, y, z) 02、旋转曲面：（旋转后方程如何写）yoz 面上曲线

3、C : f ( y , z)0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y ,x 2z 2 ) 0绕z 轴旋转一周：f (x 2y 2 , z) 03、柱面：（特点）F ( x, y )0z 轴，准线为F ( x, y )0表示母线平行于z 0的柱面4、二次曲面（会画简图）x 2y 2z 21）椭圆锥面：a 2b 2x 2y2z212）椭球面： a 2b 2c 2x 2y 2z21旋转椭球面： a 2a 2c 2x 2y 2z213）* 单叶双曲面：a 2b 2c 2. .x2y 2z 24）* 双叶双曲面： a2b 2c 2x 2y 2z5）椭圆抛物面 ： a 2b 2x 2y 26）* 双曲抛物面

4、（马鞍面） ： a 2b 2x 2y 217）椭圆柱面：a 2b 2x 2y 218）双曲柱面：a 2b 29）抛物柱面：x 2ay（四）空间曲线及其方程F ( x , y , z) 01、一般方程：G ( x, y , z)0xx ( t )2、参数方程：yy ( t ) ，如螺旋线：zz ( t )3、空间曲线在坐标面上的投影1zx a cos t y a sin t z btF ( x , y , z)0H ( x, y ) 0G ( x, y, z)，消去 z ，得到曲线在面xoy 上的投影0z 0（五）平面及其方程（法向量）1、点法式方程：A ( xx0 )B ( yy0 )C (

5、zz0 )0法向量： n( A, B,C ) ，过点 ( x0 , y0 , z0 ). .2、一般式方程： Ax By Cz D0 （某个系数为零时的特点）xyz截距式方程：ab1c3、两平面的夹角：n1( A1 , B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1 A2B1 B2 C1C2A12B12C12A22B22C2212A1 A2B1B2C1C201/2A1B1C1A2B2C24、点 P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面 AxByCz D 0 的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C 2（六）空间直线及其方程（方向向量）A1 x B1 y C1 z D 101、

6、一般式方程：A2 x B2 y C 2 z D 202、对称式（点向式）方程：x x0y y0z z0mnp方向向量： s( m, n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )xx0mt3、参数式方程：yy0ntzz0pt4、两直线的夹角： s1( m1 , n1 , p1 ) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1n2p1 p2m2n2p2m2n2p2111222. .L1L2m1m2n1n2 p1 p20L1/ L2m1n1p1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，AmBnCpsinA 2B 2C 2m 2n 2p 2L /AmBnC

7、p0LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数： zf ( x, y) ，图形， 定义域 ：3、极限：lim( x , y )( x0 , y0 )4、连续：lim( x , y )( x 0 , y0 )5、偏导数 ：f ( x, y)Af (x, y)f ( x0 , y0 )f x (x0 , y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )limxx0f y (x0 , y0 )f ( x0 , y0y)f ( x0, y0 )limyy06、方向导数：ff

8、cosfcos其中,为 l的方向角。lxy7、梯度： zf ( x, y)，则 gradf ( x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 。8、全微分： 设 zf ( x, y) ，则 dzz dxz dyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：. .12偏导数连续函数可微偏导数存在必要条件充分条件定义243函数连续2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则uxz若 zf (u,v), uu(x, y), vv(x, y) ，则zzuzvzzuz

9、vxuxvx ，yuyvy3）隐函数求导：a. 两边求偏导，然后解方程（组）， b. 公式法（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数zf ( x, y) 的极值vy. .fx0解方程组f y0 求出所有驻点，对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，令A f xx (x0 , y0 ) ， Bf xy ( x0 , y0 ) ， Cf yy ( x0 , y0 ) ， 若ACB20 ， A0 ，函数有极小值，若 ACB20 ， A0，函数有极大值；若若ACB20 ，函数没有极值；ACB20 ，不定。2）条件极值：求函数zf ( x, y) 在条件( x, y)0 下的极值令： L (x, y )

10、f ( x, y)(x, y) Lagrange 函数Lx0解方程组L y0( x, y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx(t )曲线: yy (t ) ，则上一点 M (x, y , z ) （对应参数为t0）处的000zz(t )xx0yy0zz0切线方程为： x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为：x (t 0 )( xx0 )y ( t 0 )( yy0 )z ( t0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面与法线曲面: F ( x , y , z)0 ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx ( x0 , y0 , z0 )(x

11、x0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )(zz0 )0. .xx0yy0zz0法线方程为： Fx( x , y0, z )Fy( x0, y0, z )F( x, y0, z )000z00第十章重积分（一）二重积分n1、定义： f ( x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12、性质：（ 6 条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标X 型区域： D( x, y)1( x)y2 ( x)，axbf ( x, y)dxdyb2 ( x)f ( x,y)d ydx1 ( x)DaY 型区域： D( x, y)

12、1( y)x2 ( y)，cydf ( x, y)dxdyd2 ( y)f ( x,y)d xdy1 ( y )Dc* 交换积分次序（课后题）2）极坐标D(,)1 ( )2 ( )2 ()f (x, y)dxdydf (cos , sin)d1 ()D（二）三重积分n1、定义：f (x, y, z) d v limf ( k , k , k ) vk01k2、性质：3、计算：1）直角坐标. .f (x, y, z) d vf ( x, y, z) d v2）柱面坐标xcosysin，zz3）* 球面坐标 *xr sincosyr sinsinzr cos.d xd yz2 ( x, y)f (

13、 x, y, z)d z-投影法“ 先一后二 ”Dz1 (x, y )bd zf (x, y, z) dx d ya-截面法“ 先二后一 ”D Zf (x, y, z)d vf (cos ,sin, z) d d dzf ( x, y, z)d vf (r sin cos ,r sin sin , r cos )r 2 sin drd d（三）应用曲面 S : z f ( x, y) , ( x, y)D 的面积：AD1 ( z)2( z)2 d xd yxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f (x, y)dslimf (i ,i )siL0i 12、性质：1） f

14、 ( x, y)( x, y)d sf ( x, y)dsg( x, y)ds.LLL2）f ( x, y)dsf ( x, y)dsf ( x, y)ds.(L L1 L2 ).LL1L23）在 L 上，若 f ( x, y)g( x, y)，则f ( x, y)dsg( x, y)ds.LL. .4）dsl ( l为曲线弧L的长度 )L3、计算：设 f ( x, y) 在 曲 线 弧 L 上 有 定 义 且 连 续 ， L 的 参 数 方 程 为x(t ),(t)，其中y(t ),(t ),(t) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t )0，则Lf ( x, y)d sf (

15、t),(t)2 (t)2 (t )dt,()（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为 xoy 面从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数P( x, y )， Q ( x, y) 在 L 上有界，定n义P ( x, y ) d xlimP (k ,k )xk，L01knLQ ( x, y ) d ylimQ (k,k )yk .0k 1向量形式：F d rLP( x, y)dxQ( x, y)d yL2、性质：用L 表示L的反向弧 ,则F ( x, y)drLF (x, y) drL3、计算：设 P( x, y) , Q(x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续 , L 的参数方程为x(t

16、),y(t :)， 其 中(t),(t)在 , 上具有一阶连续导数，且(t ),2 (t )2 (t )0 ，则LP ( x, y )d xQ( x, y)d y P(t ),(t )(t )Q( t ),( t )(t ) dt4、两类曲线积分之间的关系：x(t )设平面有向曲线弧为 L：( t )， L 上 点 ( x, y) 处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 ：, ，y. .cos(t )， cos(t)2 (t)，2 (t)2(t )2(t )则PdxQdy( P cosQ cos)ds.LL（三）格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑 正向曲线L 围成，函数P( x, y

17、) ,Q (x, y) 在D 上具有连续一阶偏导数,则有QP dxd yPdx Qd yDxyL2、 G 为一个单连通区域，函数P( x, y) ,Q(x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QPPdx Qdy 在 G 与路径无关xy曲线积分L曲线积分PdxQdy0LP( x, y)d xQ( x, y) d y 在 G 为某一个函数u( x, y) 的全微分（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f ( x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f ( x, y, z) dSlimf ( i ,i , i ) Si01i2、计算：“一单值显函数、二投影、三代入”: zz

18、( x, y) ， ( x, y)Dxy ，则f (x, y, z) dSD x yf x, y, z(x, y)1zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) d xd y（五）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数 P( x, y, z),Q(x, y, z), R( x, y, z) 是 定 义 在上的有界函数，定义R( x, y, z)d xdylimnR( i ,i , i )( Si)xy0i 1. .n同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i ,i ,i )(Si ) yz0 i 1nQ(x,

19、 y, z)d zdx limR( i,i ,i )(Si)zx0i 13、性质：1）12，则PdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdy122）表示与取相反侧的有向曲面 ,则RdxdyRdxdy4、计算：“一投二代三定号”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ， zz( x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)dxdy ,为上侧取“ + ”，为下侧取“ -” .D x y5、两类曲面积分之间的关系：Pd ydzQdzdxRdxd

20、 yPcosQcosRcosd S其中, , 为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧 , 函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数, 则有PQRd x d yd zP d y d zQ d z d xRdx d yxyz或PQRd x d y d zPcosQcosRcosd Sxyz2、* 通量与散度 *通量：向量场 A(P,Q, R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd ydzQd zdx Rd xd y. .PQR散度： divAyzx（七）*斯托克斯公式 *1、斯托克斯公式：设光滑曲面的边

21、界是分段光滑曲线 ,的侧与的正向符合右手法则,P (x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包含在的一个空间域具有连续一阶偏导数, 则有R Q d y d zPR d zd xQP d x d yP d x Q d y Rd zyzzxxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作:d y d z d zd x d x d yxyzP d xQd y Rd zPQR2、* 环流量与旋度 *环流量：向量场 A (P,Q, R) 沿着有向闭曲线的环流量为P d x Q d yRd z旋度： rotRQPRQPA,z,xyyzx第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无

22、穷级数：unu1u2u3unn 1n部分和： Snuku1u2u3un ，k 1正项级数：un ， un0n1交错级数：( 1)n un ， un0n12）级数收敛 ：若 lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 1. .3）条件收敛：un 收敛，而un 发散；n 1n 1绝对收敛：un 收敛。n 12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，bn 收敛，则(anbn ) 收敛；n 1n 1n13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 14）必要条件：级数un 收敛lim un0 . （注意：不是充分条件！ ）n 1n3、审敛法正项级数：u

23、n ， un0n 11）定义： lim SnS 存在；n2）un 收敛S有界；n 1n3）比较审敛法：un ，n 1vn为正项级数，且 unvn(n1,2,3,)n 1若vn 收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn 发散 .n 1n1n 1n14）比较法的推论：un ，vn为正项级数， 若存在正整数m ，当 nm 时，unkvn ，而 vnn 1n 1n 1收敛，则un 收敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 发散，则un 发散 .n1n1n 15）比较法的极限形式：un ，vn 为正项级数，若limunl(0l) ，而vn 收敛，n 1n 1nvnn 1则un 收敛；

24、若 lim un0 或 lim un，而vn发散，则un 发散 .n 1nvnnvnn 1n 1. .6）比值法 ：un 为正项级数，设lim un 1l ，则当 l1时，级数un 收敛；则当 l1时，级n 1nunn 1数un 发散；当 l1时，级数un 可能收敛也可能发散 .n1n 17）* 根值法：un 为正项级数，设 lim n unl ，则当 l1时，级数un 收敛；则当 l1时，级n1nn 1数un 发散；当 l1时，级数un 可能收敛也可能发散 .n1n 18）极限审敛法：n 1在 p 1，使得 lim n pnun 为正项级数， 若 lim n un0 或 lim n un，则

25、级数un 发散； 若存nnn 1unl(0l) ，则级数un 收敛 .n 1交错级数：莱布尼茨审敛法： 交错级数：( 1)n un ，un0 满足： un 1 un (n 1,2,3,) ，且 lim un0 ，n 1n则级数 (1)n un 收敛。n 1任意项级数：un 绝对收敛，则un 收敛。n 1n 1收敛，q1常见典型级数：几何级数：aqnn 0发散，q11 收敛， p 1p - 级数：npn 1发散， p 1（二）函数项级数1、定义：函数项级数un (x) ，收敛域，收敛半径，和函数；n 12、幂级数：an xnn0. .1,0liman 1R0,收敛半径的求法：an，则收敛半径n,03、泰勒级数f(n) (x0 )nlimf (n 1)( )n 10f ( x)( x x0 )lim R (x)( x xn 0n!n( n0nn1)!展开步骤：（直接展开法）1）求出f (n ) ( x),n1,2,3,2）求出f (n ) ( x0 ),n