(创新设计XXXX届高考江苏专用(理)一轮复习(配套课

1、第第4讲直接证明与间接证明讲直接证明与间接证明 考点梳理考点梳理 (1)综合法定义：综合法定义： 从命题的条件出发，利用从命题的条件出发，利用_， 通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成 命题的证明这样的思维方法称为综合法命题的证明这样的思维方法称为综合法 1直接证明直接证明 定义、公理、定理及运算法则定义、公理、定理及运算法则 (3)分析法定义：分析法定义： 从求证的结论出发，一步一步地探索从求证的结论出发，一步一步地探索_ _，直到归结为这个命题的条件，或者归结为，直到归结为这个命题的条件，或者归结为 定义、公理、定理等这样的思

2、维方法称为分析法定义、公理、定理等这样的思维方法称为分析法 保证前一个结论成立保证前一个结论成立 的充分条件的充分条件 (1)反证法定义：反证法定义： 在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误， 二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在 这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾， 或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说 明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结

3、论成明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成 立这种证明方法叫作反证法立这种证明方法叫作反证法 (2)反证法的证题步骤是：反证法的证题步骤是： 作出否定结论的假设；作出否定结论的假设； 进行推理，导出矛盾；进行推理，导出矛盾； 否定假设，肯定结论否定假设，肯定结论 2间接证明间接证明 综合法与分析法的关系综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论 进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解 决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方

4、决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方 法交叉使用法交叉使用 一个考情解决一个考情解决 直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法，在高直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法，在高 考题中无处不在主要以不等式、立体几何、解析几何、函考题中无处不在主要以不等式、立体几何、解析几何、函 数等为载体，考查综合法、分析法及反证法从题型上看，数等为载体，考查综合法、分析法及反证法从题型上看， 主要以解答题的形式出现，属于中高档题，难度较大主要以解答题的形式出现，属于中高档题，难度较大 【助学【助学微博】微博】 答案答案pq 考点自测考点自测 2当否定当否定“自然数自然数a，b，

5、c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正确的反设时，正确的反设 为为_ 解析解析a，b，c恰有一个偶数，即恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶中只有一个偶 数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全 都是奇数都是奇数 答案答案a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数 3若等差数列若等差数列an中公差中公差d0，则，则a1a8与与a4a5的大小关系的大小关系 为为_ 解析解析an为等差数列，为等差数列，a1a82a17d，a4a5 2a17d，a1a8a4a5. 答案答案a1a8a4a5 4在用反证法证明数学命题时，

6、如果原命题的否定事项不止在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止 一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命 题的正确题的正确 例如：在例如：在ABC中，若中，若ABAC，P是是ABC内一点，内一点， APBAPC，求证：，求证：BAPCAP，用反证法证明，用反证法证明 时应分：假设时应分：假设_和和_两类两类 答案答案BAPCAPBAPCAP 5(2013南京南京2929中月考中月考)对于给定的两个函数对于给定的两个函数S(x)exe x， ， G(x)exe x，则下列运算公式： ，则下列运算公式： S(xy)S(x)G(

7、y)G(x)S(y)；S(xy)S(x)G(y) G(x)S(y)；2S(xy)S(x)G(y)G(x)S(y)；2S(xy) S(x)G(y)G(x)S(y)其中正确的是其中正确的是_ 解析解析S(x)G(y)G(x)S(y)(exe x)(ey e y) (exe x) (eye y) ex y ex y e xy e xy ex y ex y e xy e xy 2(ex y e xy) 2S(xy)同理可得同理可得2S(xy) S(x)G(y)G(x)S(y) 答案答案 (1)求求a3，a4，a5的值；的值； (2)设设cna2n 1 a2n 1， ，nN*，证明，证明cn是等比数列是

8、等比数列 考向一综合法的应用考向一综合法的应用 方法总结方法总结 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知 条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此， 综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段 论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规 律，才能保证结论的正确性律，才能保证结论的正确性 【训练训练1】 设设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在是空间的不同直线或不同平面，且直线不

9、在 平面内，下列条件中能保证平面内，下列条件中能保证“若若xz，且，且yz，则，则xy”为真命为真命 题的是题的是_(填写所有正确条件的代号填写所有正确条件的代号) x为直线，为直线，y，z为平面；为平面；x，y，z为平面；为平面；x，y为直线，为直线， z为平面；为平面；x，y为平面，为平面，z为直线；为直线；x，y，z为直线为直线 解析解析中中x平面平面z，平面，平面y平面平面z， x平面平面y或或x平面平面y. 又又x 平面平面y，xy成立成立 中若中若x，y，z均为平面，则均为平面，则x可与可与y相交，故不成立相交，故不成立 xz，yz，x，y为不同直线，故为不同直线，故xy成立成立

10、zx，zy，z为直线，为直线，x，y为平面可得为平面可得xy，成立，成立 x，y，z均为直线均为直线x，y可平行、异面、相交，故不成立可平行、异面、相交，故不成立 答案答案 【例例2】 (2011湖北卷湖北卷)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足：，且满足： a1a(a0)，an 1 rSn(nN*，rR，r1，r0) (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)若存在若存在kN*，使得，使得Sk 1， ，Sk，Sk 2成等差数列，试判断： 成等差数列，试判断： 对于任意的对于任意的mN*，且，且m2，am 1， ，am，am 2是否成等差 是否成等差 数列，并证明

11、你的结论数列，并证明你的结论 考向二分析法的应用考向二分析法的应用 方法总结方法总结 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反 推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向 是使问题顺利获解的关键是使问题顺利获解的关键 【训练训练2】 (2012盐城二模盐城二模)对于给定的数列对于给定的数列cn，如果存在实常，如果存在实常 数数p、q，使得，使得cn 1 pcnq对于任意对于任意nN*都成立，我们称数都成立，我们称数 列列cn是是“优美数列优美数列” (1)若若an2n，bn32n，nN*，数列，数

12、列an、bn是否为是否为“优美优美 数列数列”？若是，指出它对应的实常数？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明，若不是，请说明 理由；理由； (2)已知数列已知数列an满足满足a12，anan 1 32n(nN*)若数列若数列 an是是“优美数列优美数列”，求数列，求数列an的通项公式的通项公式 解解(1)an2n，则有，则有an 1 an2，nN*. 数列数列an是是“优美数列优美数列”，对应的，对应的p、q值分别为值分别为1、2； bn32n，则有，则有bn 1 2bn，nN*. 数列数列bn是是“优美数列优美数列”，对应的，对应的p、q值分别为值分别为2、0. (2)数列数列a

13、n是是“优美数列优美数列”，存在实常数存在实常数p、q， 使得使得an 1 panq对于任意对于任意nN*都成立，都成立， 且有且有an 2 pan 1 q对于任意对于任意nN*都成立，都成立， 因此因此(an 1 an 2) p(anan 1) 2q对于任意对于任意nN*都成立，都成立， 而而anan 1 32n(nN*)， 且且an 1 an 2 32n 1(n N*)， 则有则有32n 1 32np2q对于任意对于任意nN*都成立，都成立， 即即32n(2p)2q对于任意对于任意nN*都成立，都成立， p20，即，即p2，q0.此时，此时，an 1 2an， 又又a12，an2n(nN*

14、) (1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式； (2)证明：数列证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列中的任意三项不可能成等差数列 考向三反证法的应用考向三反证法的应用 方法总结方法总结 当一个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”，“至少至少”、“唯唯 一一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关 键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条 件矛盾，件矛盾， 与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛 盾等方面，反证法

15、常常是解决某些盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，问题的有力工具， 是数学证明中的一件有力武器是数学证明中的一件有力武器 (1)确定确定b、c的值；的值； (2)设曲线设曲线yf(x)在点在点(x1，f(x1)及及(x2，f(x2)处的切线都过处的切线都过 点点(0,2)证明：当证明：当x1x2时，时，f(x1)f(x2) 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结 论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考 虑使用反证法进行证明在高考中，对反证法的考查往往虑使用反

16、证法进行证明在高考中，对反证法的考查往往 是在试题中某个重要的步骤进行是在试题中某个重要的步骤进行 规范解答规范解答2626怎样用反证法证明问题怎样用反证法证明问题 【示例示例】 (2011安徽卷安徽卷)设直线设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1， 其中实数其中实数k1，k2满足满足k1k220. (1)证明证明l1与与l2相交；相交； (2)证明证明l1与与l2的交点在椭圆的交点在椭圆2x2y21上上 审题路线图审题路线图 第第(1)问采用反证法，第问采用反证法，第(2)问解问解l1与与l2的交点的交点 坐标，代入椭圆方程验证坐标，代入椭圆方程验证 解答示范解答示范 证明：证明：(1)反

17、证法假设反证法假设l1与与l2不相交，不相交， (2分分) 则则l1与与l2平行或重合，有平行或重合，有k1k2， (4分分) 代入代入k1k220，得，得k20. (6分分) 此与此与k1为实数的事实相矛盾，从而为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即，即l1与与l2相交相交 (7分分) 模板构建模板构建 用反证法证明结论，主要有下列三步：用反证法证明结论，主要有下列三步： 第一步：必须先否定结论，即肯定结论的反面成立；第一步：必须先否定结论，即肯定结论的反面成立； 第二步：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作第二步：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须依据这一条件进

18、行推证；为条件，且必须依据这一条件进行推证； 第三步：推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，第三步：推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾， 有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的 矛盾必须是明显的矛盾必须是明显的 1(2011江西卷改编江西卷改编)观察下列各式：观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则，则52 011的末四位数字为的末四位数字为_ 解析解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625,59 1 953 125，可得，可得59与与55的后四位相同，由此可归纳

19、出的后四位相同，由此可归纳出 5m 4k与 与5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位相同，又的后四位相同，又2 011 45017，所以，所以52 011与与57后四位数字相同为后四位数字相同为8 125. 答案答案8 125 高考经典题组训练高考经典题组训练 2(2011福建卷福建卷)设设V是全体平面向量构成的集合若映射：是全体平面向量构成的集合若映射： f：VR满足：满足： 对任意向量对任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意，以及任意 R，均有，均有fa(1)bf(a)(1)f(b)， 则称映射则称映射f具有性质具有性质P. 现给出如下映射：现给出如下映射： f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V； f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V； f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V. 其中，具有性质其中，具有性质P的映射的序号为的映射的序号为_(写出所有具写出所有具 有性质有性质P的映射的序号的映射的序号) 解析解析性质性质P其实是一种其实是一种“类线性运算类线性运算”性质，故符合要求；性质，故符合要求； 不符合要求事实上，令不符合要求事实上，令a(x1，y1)，b(x