2019-2020学年湖南省长沙一中高一(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.设集合 ?= ?|?= 2?+ 1, ?，则 ( )A.3?B. 3 ?C. 3? ?D.2.下列函数既是偶函数又有零点的是()2B. ?= 2 |?|2D.A. ?= ?+ 1C. ?= ? + ?3.函数?(?) ?(?)?(?(3)= ( )，由下列表格给出，则3? ?= 1 + lg|?|x1234?(?)2431?(?)3124A. 4B. 3C. 2D. 114.函数 ?(?)为定义在 R 上的奇函数，当 ? 0 时， ?(?)= 4 ?+ ?，则 ?(- 2) = ()

2、A. 1B. -2C. -13D.-25.函数 ?(?)与 ?(?)=?，则 ?(1)+ ?(2) =()?互为反函数，且 ?(?)过点 (-2,4)A. -1B. 0C. 11D. 46.根据表格中的数据，可以判定方程?)? - ?- 2 = 0的一个根所在的区间为 (x-10123?0.3712.727.3920.09?+ 212345A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7.如图，在直三棱柱垂直于底面?- ? ?(侧棱 ?1111?)中， D 为?1?1的中点， ?= ?=?1= 2， ?=25 ，则异面直线BD 与 AC 所成的角为 ( )A. 30B. 4

3、5C. 60D. 908. 我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝 (?)，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小 ?可由如下公式计算：?= 10?( 其中 ?是人耳能听到声音的最低声波强度) ，则 70dB 的声音的声波强度?00是60dB的声音的声波强度?的 ()?12A. 67倍B. 1067倍C. 10倍D. ln67倍9. 下列不等式中不成立的是 ( )A. 5 0.5 60.5B. log 2 3 log 2 5C. ?30.8 3 -0.2D. 0.1 0.3 11， 21 ) = ?(?)2立，则实数a 的取值范围是 ()A. ?

4、2B.C.-2 ? 2? 2或 ? -212. 已知 ?表示不超过 x 的最大整数， 例如 2.3= 2，-1.8= -2 ，方程 1 + |?- 1| =22，且 ?= ?，则实数 k 的3的解集为 A，集合 ?= ?|- 2? + 11?-15? -1 的解集为 _215. 碳 14 的衰变极有规律， 其精确性可以称为自然界的“标准时钟” .碳 14 的“半衰期”是 5730 年，即碳 14 大约每经过 5730 年就衰变为原来的一半科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14 含量

5、保持不变死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14 就按其确定的规律衰变经探测，一块鸟化石中碳14 的残留量约为原始含量的37.5%. 设这只鸟是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为 _16. 已知，若定义域为 0,1 的函数 ?(?)同时满足以下三条： 对任意的 ?0,1 ，总有?(?) 0 ； ?(1) = 1 ； 当 ? 0，? 0，? + ? 1时，?(?+ ?) ?(?) +1212121?(?2)成立，则称函数?(?)为 Z 函数以下说法：(1) 若函数 ?(?)为 Z 函数，则 ?(0) = 0；(2) 函数 ?(?)= 2 ?- 1(?0,1) 是一个

6、 Z 函数；(3) 若函数 ?(?)为 Z 函数，则函数在区间0,1 上单调递增；(4) 若函数 ?(?)、?(?)均为 Z 函数，则函数 ?(?)+ ?(?)(? 0, ? 0 ，且?+ ?= 1) 必为 Z 函数正确的有 _( 填写序号 )三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）1?117. 若函数 ?=+ 2的定义域为集合A，集合 ?= ?|?= ?,42?,?-12(1) 求? ?， ? ?；(2) 若集合 ?= ?|2?-? 4 ，且 ? (?)，求实数 m 的取值范围18. 如图所示的圆锥 SO 中，母线长为 4，且其侧面积为 8?(1) 求该圆锥的体积；(2) 若 AB 为

7、底面直径，点P 为 SA 的中点，求圆锥面上P第2页，共 13页点到 B 点的最短距离19. 如图，正方形 ?-?1?1 ?11的棱长为2 E，F分别为 ?， AC 的中点，1(1)证明： ?/平面 ?1 ?1；(2)求三棱锥 ?- ?1 ?1的体积20. 渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间， 实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为?(? 0). (空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)(1) 写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 当鱼

8、群的年增长量达到最大值值时，求k 的取值范围第3页，共 13页221. 已知二次函数 ?(?)= ? + 2?+ 2? + 4(1)若函数 ?(?)有两个零点，且一个小于14，求实数m的取值范围；，一个大于(2)若关于 x 的方程 ?(2?) + 4 = 0 有实数解，求实数m 的取值范围2?22.已知函数 ?(?)= |?|+ ? -1(?为常数 ) (1) 当?= -1 时，判断 ?(?)在(0, +)的单调性，并说明理由；(2)?a 的取值范围；若存在 ?，使不等式 ?(2 ) 0成立，求(3)讨论 ?(?)零点的个数第4页，共 13页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解：由 2?+

9、1 = 3 ，得 ?= 1 ?，所以 3 ?故选： B判断 3 是否属于集合A，把 3 代入 ?= 2?+ 1 后看能不能求得整数k本题考查了元素与集合关系的判断， 解答的关键是看元素是否符合集合 A 中元素的特性，属基础题2.【答案】 D【解析】 解：由偶函数定义再定义内满足?(-?)= ?(?)，是偶函数的是A， B，D ；且 A，B 没有零点； D 由零点 ?= 1，?故选： D通过偶函数，零点排除判断本题考查偶函数，和零点的判断，属于基础题3.【答案】 A【解析】 解：由表格可知，?(3) = 2 ，?(?(3)= ?(2) = 4故选： A通过表格求出?(3)的值，然后求解?(?(3

10、)的值本题考查函数值的求法，考查计算能力4.【答案】 C【解析】 解：函数是奇函数，?(0) = 0，即 ?(0) = 1 + ?= 0，得?= -1 ，则 ?(- 111) =-?()= -(4 2-1)=-(2 -1)=-1，22故选： C根据奇函数的性质进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，结合函数是奇函数，先利用 ?(0) = 0，以及利用奇函数的性质进行转化是解决本题的关键，比较基础5.【答案】 A?【解析】 解：由题意指数函数?(?)= ? 的图象过点 (-2,4)，-2，解得 ?=1或，故函数 ?(?)= (1 ?故可得4= ?22) ，故其反函数?(?)=log 1 ?，2

11、故 ?(1) + ?(2) = log 1 1 +log 1 2 = 0 -1= -122故选： A把点代入可得 ?=1，进而可得 ?(?)=1?(?)= log 1 ?，故22，代入可求值2本题考查反函数，注意同底的指数函数和对数函数互为反函数，是基础题第5页，共 13页6.【答案】 C?【解析】 解：令 ?(?)= ? - ?- 2，由图表知， ?(1) = 2.72 - 3 = -0.28 0，?-2=0 的一个根所在的区间为(1,2) ，方程?-故选： C令 ?(?)=?-?- 2 的零点，由?-2，方程 ? - ?- 2 =0的根即函数 ?(?)= ? -?(1) 0知，?-2=0

12、的一个根所在的区间为(1,2) 方程?-本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件7.【答案】 C【解析】 解：根据题意， ?，1?， ? ?11122，且 ?= ?=2, ?= 25?= (?-)20 = 4+ 4-，2 ?，= -6又D 为?的中点，11?=11? ?1? ?112? ? ?(? +)?=? ?=?(?-) =-=122222-3-2=-5，又 ?1= 2 ，?= 4 + 1 = 5 ，且 ?= 2 5， ? ?cos =?1，且?-5= -0 180|? | |=120异面直线BD 与 AC 所成的角为 60 故选： C2根据 ?= ?= 2,

13、 ?= 25 ， ? ?2可求出 ?= -6 ，又据题意知?= (?- ?)? ?1? ?=?1 ?，从而得出 ? ? ?=2(?-)，进行数量积的运算即可求出-5 ，并且可求出 ?= 5，从而根据向量夹角的余弦公式即可求出cos = - 2进而可求出异面直线 BD 与 AC 所成的角本题考查了线面垂直的定义，向量垂直的充要条件，向量加法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，用向量求异面直线所成角的方法，考查计算能力，属于基础题8.【答案】 C【解析】 【分析】?由题设中的定义，将音量值代入?= 10?与声音强度 ?的值，再，计算出声音强度?120计算出

14、即可求出倍数本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键【解答】?17，令60?26，解：由题意， 令 70 = 10?，解得，?= ?10= 10?，解得，?= ?10?010?020第6页，共 13页?所以 1=10，?2故选： C9.【答案】 D0.5?(6)，即 50.5 60.5，【解析】 解：?.函数 ?(?)= ? 在 (0, +)上单调递增， ?(5) 故 A正确；B.log 2?在 (0, +)上单调递增， ?(3) ?(5)，即 log3 log 5，故 B 正确；22?(?)=C.log 30.8 0， ?0.83 0.1 0.4 ，故 D

15、 错误在 R 上单调递减， ?(0.3) 故选： D利用指数函数、幂函数和对数函数的单调性比较大小即可本题考查了利用函数的单调性比较大小，属基础题10.【答案】 B【解析】 解：如图，把三棱锥 ?- ?补形为长方体，则长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径设三棱锥外接球的半径为R，则 (2?)2 = 12 + 22 + 32 = 14 ，2该三棱锥外接球的表面积为4?= 14?故选： B由已知把三棱锥补形为长方体，求得长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是基础题11.【答案】 A【解析】 解：若?， ?1 ?2

16、，使得?(?成立，则说明 ?(?)在 R 上不1， 21) = ?(?)2单调-?2, ? 1 当 ?= 0时， ?(?)= ，其图象如图所示，满足题意第7页，共 13页 当 ? 0时，函数 ?= -?2 + ?的对称轴 ?= ?2要使得 ?(?)在 R 上不单调?则只要二次函数的对称轴?=21? 2综上可得， ? 2 0，其图象如图所示，故选： A若?，?1 ?2，使得?(?成立，则说明 ?(?)在 R 上不单调，分 ?= 01， 21 ) = ?(?)2及 ? 0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题12.【答案】 D【解析】 解：由题

17、意，3 1+|?- 1| 4 ，即2 |?-1| 3，解得 -2 ?-1 或3 ? 0，设22，显然函数 ?(?)为开口?= ?|2?- 11?+ 15?(?)= 2? -11?+ 15?向上，对称轴为 ?=11?且与 x 轴有两个交点的二次函数，4?= ?，函数 ?(?)的两个零点在区间(-2, -1内或在区间3,4)内，第8页，共 13页?(-2)2233?+ 18 0= 15? + 22?+ 8 0?(3) = 15? - ?(-1)2244?+ 32 0 ，= 15? + 11?+ 2 0或 ?(4) =15? -11?11?-2 4-13 4 46422解得 5 ? 3或-3 -1?

18、(?- 1) ?2【解析】 解：不等式1，即11，0 ?- 1 2，222求得1 ? ?2本题即求11的解法，可得0 ?- 1 2 ，由此求得 x 的范围22本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的性质，属于基础题?15.【答案】 ?(12) 5130 = 0.375【解析】 解：根据题意可设原来量为1，则经过 t 年后变成了 0.375 ，1?= 0.375 ，1 () 57302?0.=5 ?0.375，57305730?0.375即 ?=?0.5故答案为：5730?0.375?=?0.5根据碳 14 的半衰期是5730 年，即每 5730 年含量减少一半，设原来量为1，则经过 t 年后则

19、变成了0.375 ，可列出等式求出t 本题考查根据实际问题性质函数模型，正确理解题意是关键，属于基础题第9页，共 13页16.【答案】 (1)(2)(3)(4)【解析】 解：若函数 ?(?)为 Z 函数，则令 ?= 0，?2= 0，得 ?(0) ?(0) + ?(0)，即 ?(0) 0 ，1又由 对任意的 ?0,1 ，总有 ?(?) 0， ?(0) =0，故 (1)正确；函数 ?(?)= 2 ?-1(?0,1) 满足 ?(?) 0 ， ?(1) =1，若 ?1 0，?2 0，?1 + ?2 1，?+?- 1)+(2? +?则 ?(?+ ?) - ?(?) + ?(?) = 2 1 2-1-(2

20、12- 1)=21 21212?-21-?2 2+1= (21- 1)(22- 1)0,即 ?(?+ ?) ?(?) + ?(?)，则函数 ?(?)= 2?-1(?0,1) 是 Z 函数，故 (2) 正确；1212设0 ? ? 1，则0 ?- ? 0 ，? 0 ， ?(?)+ ?(?) 0?(1) = 1， ?(1) = 1，则 ?(1)+ ?(1)= ?+ ?= 1 当 ? 0， ? 0， ? + ? 1 时， ?(?+ ?) ?(?) + ?(?) 成立， ?(?+ ?) 1212121212?(?) + ?(?) 成立，12? 0， ? 0，?(?1+ ?2) + ?(?1+ ?2) ?

21、(?1) + ?(?2) + ?(?1)+ ?(?2)成立，函数 ?(?)+ ?(?)(? 0, ? 0，且 ?+ ?= 1) 必为 Z 函数，故 (4) 正确正确命题的序号是：(1)(2)(3)(4)故答案为： (1)(2)(3)(4)由“ Z 函数”的定义即可推出 ?(0) = 0判断 (1) ；函数 ?(?)= 2 ?- 1(?0,1)满足“ Z函数的定义”可得 (2)正确；由函数单调性的定义结合“Z 函数的定义”证明 (3) ；直接由“ Z 函数的定义”判断 (4) 本题主要考查函数与方程的应用，考查学生的推理能力，结合 Z 函数的定义，分别判断三个条件是否满足是解决本题的关键，是中档

22、题17.【答案】 解：(1)? = ?|? 1， ?， ?= -1,2 ， ?=(1,2 ；?= ?|? 1(2)2 ?-? 4 ， ?- ? 2 ， ? ?+ 2， ?= -1,+)；? (?)，?+ 2 -1 ，?-3 ，? -3,+)第10 页，共 13页【解析】 由题意解出集合，再求交并补，第二问根据包含关系，讨论求解本题考查交并补运算，以及根据集合包含关系，讨论求解属于中档题18.【答案】 解： (1) 设底面圆半径为r ，周长为 l， ?= 2?，? =11?2?4 = 8?，?4 =2侧2?= 2，222= 23，|?|= 4 -12183?；?= 3?|?|= 3 ?4 ?2

23、3 =32?2? 2(2) 设圆锥展开为扇形时， 圆心角为 ?，则 ?= ? = 2 4 = ?，故展开图中 ?，则圆锥面上P 点到 B 点最短距离为 42 + 2 2 = 25 【解析】 (1) 根据母线长为 4，侧面积为 8?，求出底面半径，和高，进而可得椎体体积；(2) 将圆锥的侧面展开，将曲面上距离最短的问题转化为平面内两点之间距离最短的问题本题考查了圆锥的体积，圆锥的侧面积，圆锥侧面上两点的距离最短问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于中档题19.【答案】 解： (1) 证明：连结 BD，的中点， ?/?1?，? ? 面?，111(2) 解： ?， ?平面 ?11，体积：?-?

24、?=113? ?22 ?112?、F 分别为 AB，BD? 面 ?1 ?1，?/面 ? ?D.11?，1三棱锥 ?- ?的11?=?-?1 ?1?422 = 3【解析】 (1) 连结 BD ，推导出 ?/?1?，由此能证明 ?/面 ?1 ?D1 .，得 ?平面 ? ，由此能求出三棱锥 ?- ?的体积(2) 由 ?，?1?1111本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】 解： (1) 由题意，空闲率为1 -?，?= ?(1- ?) ，定义域为 (0, ?)；(2) 由 (1)得?2?= ?(1- ?

25、) =- ? (?-2 )+4 ，因为 ?(0, ?)， ? 0 ；所以当 ?=?2时， ?4?=(3) 由题意有0 ?+ ?即：0?2 +4 0，解得 -2 ? 0故 k 的取取值范围为(0,2) 【解析】 (1) 由鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 ?(? 0). 我们根据题意求出空闲率，即可得到y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2) 由 (1) 中给出的 y 关于 x 的函数关系式，我们使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值；(3) 由 (2)的结论，我们可构造出一个关于k 的含参数 m 的不等式，根据 m 的取值范围，解不等式后即可求出k 的取值范围函数的实际应用题，我们要经过析题建模 解模 还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大( 小)化问题，利用函数模型， 转化为求函数的最大( 小 ) 是最优化问题中， 最常见的思路之一5，21.【答案】 解： (1)?(1) = 1 + 2? + 2? + 4 0 ，解得 ? - 4?(4) = 16 + 8? +