2018年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.已知全集为 R，集合 A= x|x 0 ，B= x|x 1 ，则集合（ ?RA）B 等于（）A. x|x 0B. x|x 0C. x|x 1D. x|x 12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.B.C.D. 23.命题p：“ ?x0 2x x2”的否定 p 为（），A. ?x0 x 2B.x0x x20?2，0x02D.?x0 2xx2C. ?x，4.二项式（ x-） 6 的展开式的第二项为（）A.4B.-6x4C.446x12xD. -12x5.若实

2、数 x， y 满足条件，则 z=3x+y 的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 146.已知点 A（ -1， 0）、 B（1， 0）分别为双曲线（ a 0， b 0）的左、右顶点，点 M 在双曲线上，且 ABM 是顶角为120的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A.2=1B.2C.2=122x -x - =1x -D. x -y =17.若正数 a， b满足，的最小值为（）A.1B.6C.9D. 16第1页，共 17页8.已知函数f（ x） =，若存在互不相等的实数a， b， c， d，满足 f（ a） =f （b） =f（ c） =f（ d）=m则以下三个结论： m1， 2）； a+b+

3、c+de-3+e-1-2， e-4-1），其中 e 为自然对数的底数；关于 x 的方程 f（ x）=x+m 恰有三个不相等的实数解正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6 小题，共30.0 分）9. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是 _10.若复数为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数a 的值为 _11. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b，c，若 B=2C， 2b=3c，则 cosC 的值为 _12.P 3mF为焦点的抛物线t为参数） 上，则|PF|等于_若点（，）在以（13.由曲线y=与直线y=x-2及y轴所围成的封闭图形的面

4、积是_14.在直角梯形 ABCD 中，已知 BCAD，ABAD，AB=AD =4，BC=2，若 P 为线段 CD上一点，且满足=，=5，则 的值为 _三、解答题（本大题共6 小题，共80.0 分）15. 已知函数 f（ x） =sin（ 2x+ ） +cos（ 2x+ ） +2sinxcosx，xR（ ）求函数 f（ x）的最小正周期；（ ）当 x0， 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值第2页，共 17页16. 某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从 6 个招

5、标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个问题中，甲公司可正确回答其中的 4 道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的（ ）求甲、乙两家公司共答对2 道题的概率；（ ）设 X 为乙公司正确回答的题数，求随机变量X 的分布列和数学期望17. 如图，由直三棱柱 ABC-A1 B1C1 和四棱锥 D-BB1C1C 构成的几何体中， BAC =90 ，AB=1， BC=BB1=2 ， C1D =CD= ，平面 CC1D平面 ACC1A1（ ）求证： ACDC1；（ ）若 M 为 DC 1 中点，求证： AM平面 DBB 1；（ ）在线段 BC

6、上（含端点）是否存在点P，使直线 DP 与平面 DBB 1 所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由18. 已知等差数列 an 中， a1=1，且 a1，a2 ，a4+2 成等比数列（ ）求数列 an 的通项公式及前n 项和 Sn；（ ）设 bn=，求数列 bn 的前 2n 项和 T2n第3页，共 17页19. 设椭圆C：=1a b0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为 A，在 x（ 轴负半轴上有一点B，满足 F1 为线段 BF2 的中点，且 ABAF2（ ）求椭圆 C 的离心率；（ ）若过 A、 B、F 2 三点的圆与直线l： x- y-3=0 相切，求椭圆 C 的方程；（ ）在（

7、 ）的条件下，过右焦点F 2 作斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在 P（ m，0）使得以 PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，说明理由20. 已知函数 f（ x） = -ax+（a-1 ）ln x，其中 a 2（ ）讨论函数 f（ x）的单调性；（ ）若对于任意的x1，x2（0， +）， x1x2 ，恒有 -1，求 a 的取值范围；（ ）设 a（3， 4）， xn=， nN* ，求证： |f（ xn+1 ） -f（ x1） |第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：?RA=x|x 0；（?RA

8、） B=x|x 0故选：B进行交集、补集的运算即可考查描述法表示集合的概念，以及交集、 补集的运算2.【答案】 A【解析】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为 1，底面时边长为 2 的正三角形，几何体的体 积 V=故选：A几何体为直三棱柱，根据三视图判断侧棱长和底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱的体 积公式计算本题考查 了由三视图 求几何体的体 积，根据三视图 判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解 题的关键3.【答案】 C【解析】第5页，共 17页解：因为全称命题的否定是特称命 题，所以，命题 p：“? x0，2xx2”的否定p 为 ?x02x0，故选：C利用全称

9、命 题的否定是特称命 题写出结果即可本题考查命题的否定，特称命题与全称命 题的否定关系，是基本知 识的考查4.【答案】 D【解析】项的展开式的第二项：=-12x4解：二 式故选：D利用二项式定理的通 项公式化简求解即可得出 结果本题考查了二项式定理的 应用，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题5.【答案】 C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=3x+y 得 y=-3x+z ，平移直线 y=-3x+z，由图象可知当直 线 y=-3x+z 经过点 A时，直线 y=-3x+z 的截距最大，此时 z 最大由，解得，即A （2，3），代入目标函数 z=3x+y 得 z=32

10、+3=9即目标函数 z=3x+y 的最大值为 9故选：C作出不等式 组对应的平面区域，利用目 标函数的几何意 义，求最大值第6页，共 17页本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法6.【答案】 D【解析】解：双曲线-=1（a0，b0），如图所示，|AB|=|BM| ，ABM=120 ，过点 M 作 MN x 轴，垂足为 N，则MBN=60 ，在 RtBMN 中，|BM|=|AB|=2a，MBN=60 ，即有 |BN|=2acos60 =a，|MN|=2asin60 =a，故点 M 的坐标为 M （2a，a），代入双曲 线方程得-=1

11、，即为 a2=b2，由 A （-1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则 a=b=1，双曲 线的标准方程：x2-y 2=1，故选：D由题意画出图形，过点 M 作 MN x 轴，得到 RtBNM ，通过求解直角三角形得到 M 坐标，代入双曲线 方程可得 a 与 b 的关系，结合 a，b，c 的关系，求出a=b由 a=1，即可求得双曲线的标准方程本题考查双曲线的简单性质：离心率，注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题7.【答案】 B【解析】解：正数 a，b 满 足，a 1，且b 1；变形为=1，ab=a+b，ab-a-b=0，（a-1）（b-1）=1，a-1=；a-10，=

12、+9（a-1）2=6，当且仅当=9（a-1），即a=1时取“=”（由于a1，故取 a=），第7页，共 17页的最小值为 6；故选：B正数 a，b满足，可得a1，且b1；即a-1 0，且b-1 0；由变形为 a-1=；化为+9（a-1）应用基本不等式可求最小 值本题考查了基本不等式的灵活应用问题 应时，要， 用基本不等式 a+b2注意条件 a0，且b0，在a=b时取“=”8.【答案】 C【解析】解：作出函数的图象如图，若直线 y=m 与函数 y=f （x ）的图象相交于四个不同的点，由 图可知 m1，2），故（1）正确；设 y=m 与函数 y=f （x）的交点自左至右依次为 a，b，c，d，由

13、-2-lnx=1，得 x=e-3，由-2-lnx=2，得x=e-4，c（e-4，e-3 ，又 -2-lnc=2+lnd ，cd=e-4，-4e-3a+b+c+d=-2+c+在（e ，上是递减函数，-3-1-4a+b+c+de +e -2，e -1），故（2）正确；设斜率为 1 的直线与 y=lnx+2 相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0=1，则切点为（1，2），此时直线方程为 y-2=1 （x-1），即y=x+1 ，当 m=1时，直线 y=x+m 与函数 y=f（x ）有4 个不同交点，即关于 x 的方程 f （x）第8页，共 17页=x+m 有四个不等 实根，故（3）错误 正确结论

14、的个数是 2 个故选：C由题意画出函数 y=f （x）的图象，数形结合逐一分析三个 结论得答案本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之 间的关系，综合性较强，是难题9.【答案】 30【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件 i 6，执行循环体，i=3，S=6满足条件 i 6，执行循环体，i=5，S=16满足条件 i 6，执行循环体，i=7，S=30不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 30故答案为：30由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框 图的应用

15、问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题10.【答案】 1【解析】解：复数=为纯虚数，故有 a-1=0，且 a+10，解得 a=1，故答案为：1利用两个复数代数形式的乘除法法则求得 z 的值，再根据它是纯虚数，求得实数 a 的值 第9页，共 17页本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题11.【答案】【解析】解：ABC 中，若 B=2C，则 sinB=sin2C，sinB=2sinCcosC，由正弦定理得b=2ccosC，cosC=；又 2b=3c， b= c，cosC=故答案为： 利用二倍角公式和正弦定理， 结合

16、题意即可求得 cosC的值本题考查了二倍角公式和正弦定理的应用问题，是基础题12.【答案】 4【解析】解：抛物线（t 为参数）上，y2=4x，点 P（3，m）在以点F 为焦点的抛物 线（t为参数）上，m2=43=12，P（3，2）F（1，0），|PF|=4，故答案为 4由题意已知点 P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为线参数）上，抛物先化为一般方程坐 标，然后再计算 |PF|的长此题考查绝对值 不等式的解法和抛物 线的性质及其焦点坐 标解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常 见的题型第10 页，共 17页13.【答案】【解析】图解：如 所示：联立解得，M（4，2）由曲线y=线及 y轴所围

17、成的图，直 y=x-2形的面积 S= 故答案为利用微积分基本定理即可求出熟练掌握微积分基本定理是解 题的关键14.【答案】【解析】解：分别以边 AD ，AB 所在直线为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐 标系，则：A （0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设 P（x，y），则：，；（x-4，y）=（-2，4） ，x2+y2-4y=5 ；22由 得 x=4-2，y=4 ，带入 得：（4-2）+16-16 =5；解得，或；据题意知 01；第11 页，共 17页故答案为： 可分别以边AD ，AB 所在的直线为x轴，y轴标系，根据条件即可得，建立坐出 A （0，0），B（0，4），C

18、（2，4），D（4，0），可设 P（x，y），这样由即可得出x=4-2，y=4，而由即可得出x2 2这样+y -4y=5 ，将 x=4-2 ，y=4带 入 式即可解出 的值考查通过建立坐 标系，利用坐标解决向量 问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐 标可求向量的坐 标，以及向量坐标的数乘和数量 积的运算15.【答案】 解：（ ） f（ x） =sin（ 2x+ ） +cos（ 2x+ ） +2sinxcosx=sin2 xcos +cos2xsin +cos2xcos -sin2 xsin +sin2x=sin2 x+=T=；（ ） x0， ， 当，即 0时，函数f（ x）单调递增，当，

19、即时，函数f（ x）单调递减，且 f（ 0） = ， f（ ） =2，f （ ） =- 函数 f（ x）的最大值和最小值分别为2， -【解析】（）分别展开两角和的正弦、余弦，再由 辅助角公式化 积，则周期可求；（）由x 的范围结合函数的单调性求得函数 f（x）的最大值和最小值本题考查三角函数中的恒等 变换应用，考查 y=Asin （x+）型函数的图象和性质，是中档题第12 页，共 17页16.1 题【答案】 解：（ I）由题意可知甲公司至少能答案对甲，乙公司各答对 1题的概率为：?（ ）2?=，甲公司答对2 题，乙公司全答错的概率为：?（ ）3=，甲、乙两家公司共答对 2 道题的概率为=（ I

20、I ）X 的可能取值为0，1， 2， 3，P（ X=0） =（ ） 3=， P（ X=1）=（）2?=，P（ X=2） =?（）2?=，3P（ X=3） =（ ） =X 的分布列为：X0123PE（ X） =3 =2【解析】（I）根据超几何分布计算甲公司答 对题的概率，根据二项分布计算乙公司答对题的概率，再根据相互独立事件的概率公式得出两家公司共答 对 2 题的概率；（II ）根据二项分布的概率公式 计算 X 的分布列和数学期望本题考查了离散型随机 变量的概率 计算，分布列与数学期望，属于中档 题17.【答案】解：（ ）证明： 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，故 AC

21、CC1，由平面 CC1D平面 ACC1A1，且平面CC1D平面ACC 1A1=CC1，所以 AC平面 CC1D，又 C1D? 平面 CC1D，所以 ACDC 1（ ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA 1平面ABC ，所以 AA1AB， AA1AC，又 BAC=90，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz，依据已知条件可得A（ 0，0， 0），B（ 0，0， 1）， B1（ 2， 0，1），所以，第13 页，共 17页设平面 DBB1 的法向量为，由即令 y=1 ，则， x=0，于是，因为 M 为 DC1 中点，所以，所以，由，可得，所以 AM 与平面 DBB 1 所成角为0，即

22、AM平面 DBB 1（ ）解：由（ ）可知平面BB1D 的法向量为设， 0， 1，则，若直线 DP 与平面 DBB 1 成角为，则，解得，故不存在这样的点【解析】证，得到 AC 平面 CC，即可证明（）明 AC CC1D1AC DC1间直角坐标系 A-xyz ，（）易得BAC=90 ，建立空依据已知条件可得 A （0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM 与平面 DBB 1 所成角为 0，即AM 平面 DBB 1（）利用向量求解本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中档 题18.【答案】 解：（I ）设等差数列 an 的过程为 d，a1=1，且

23、a1，a2，a4+2 成等比数列 =a1?（ a4 +2），即（ 1+d） 2=1（ 1+3d+2），化为： d2-d-2=0 ，解得 d=2 或 -1其中 d=-1 时， a2 =0，舍去d=2an=1+2 （ n-1） =2n-1，第14 页，共 17页Sn=n2（ ）设 bn=，n 为偶数时，=16 ， b2=8；n 为奇数时，=，b1= 数列 bn 的奇数项是首项为，公比为数列 bn 的偶数项是首项为8，公比为 16数列 bn 的前2n 项和 T2n=+=【解析】（I）设等差数列 a n 的过程为 d，由 a1=1，且a1，a2，a4+2 成等比数列可得=a1?（a4+2），化为：d2

24、-d-2=0，解得 d=2 或 -1其中 d=-1 时，a2=0，舍去再利用通项公式与求和公式即可得出设=，对 n 分类讨论，利用等比数列的求和公式即可（） bn=得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分 类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题19.【答案】 解：（ ）由题意知 F 1（ -c，0）， F 2（ c， 0）， A（ 0，b）F1 为 BF2 的中点， ABAF2，RtABF 2 中， BF22=AB2+AF22，（ 4c） 2=（） 2+a2，222又 a=b +c ， a=2 c，故椭圆的离心率e= =；（ ）由（ ）知= ，得 c= a，于是 F

25、2（ a，0）， B（ - a， 0），RtABF 2 的外接圆圆心为（- a， 0），半径r =a，所以=a，解得 a=2 ，c=1， b=，所求椭圆方程为+=1；第15 页，共 17页（ ）由（ ）知 F 2（ 1，0）， l： y=k（ x-1），设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），由 y=k（ x-1）和 3x2+4y2=12 ，代入得（ 3+4k2） x2-8k2x+4k2-12=0 ，则 x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-2），+ =（ x1+x2-2m，y1 +y2），由于菱形对角线垂直，则（ + ）? =0，故 x1+x2-2m+k（ y1+y2） =0，

26、即 x1+x2-2m+k2（ x1+x2-2） =0，2-2） =0，-2m+k （由已知条件知k0，m=，0 m ，故 m 的取值范围是 0 m 【解析】（）由题意知 F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b），由F1 为 BF2 的中点，由 AB AF 2，知 RtABF 2 中，BF22=AB 2+AF 22，由此能求出椭圆的离心率；（）由（）知= ，得c= a，于是 F2（ a，0），B（- a，0），RtABF 2 的外接圆圆心为（-a，0），半径r=a，所以=a，由此能求出椭圆方程；（）由F2（1，0），l：y=k（x-1），设 M （x1，y1），N（x2，y2），由y=k（x-1）和3x2+4y2