圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型汇编

1、解：设 A(xi, yi),B(X2,y2),由 1 122 八x m ? 2 2 22 得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3)0, 2 2 3x 4y 12 T2 64m2k216(3 4k2)(m2 3)0, 8mk 3 4k 2 ,X1 *2 3 4k2 rn2 0 2 4( m2 3) Q /llz 2 /n( l/Vd HA、 flzVn rn Iz Vdvn rnlz (Vd 22 m 3(m2 4k2) 3 4k2 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),且I2 )O参考百度文库文章: 圆锥曲线的弦 精品文档 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的岀题形

2、式，化解 这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不 受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关 系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自 身存在很多性质，这些性质往往成为岀题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功 倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一手电筒”模型 22 例题、已知椭圆c : -1若直线I ： y kx m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左右C的右顶 占求证直线丨过定

3、点, /nx O 并求出该定点的坐标。 43顶点)，且以AB为直径的圆过椭 对定点张直角的 .模型拓本题还可以拓展为”手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如kAP kBP定 值，kAPkBP定值)，直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)此模型解题步骤： Stepl :设AB直线y kx m ,联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2 :由AP与BP关系(如SkBP 1力得一次函数k f (m)或者rn f (k)； 精品文档 精品文档 Step3 :将 k f(m)或者 m f (k)代入 y kx m，得 y k(x x 定)y 定。 类型题训

4、练 练习过抛物线M: y2 2 PX 点P ( 1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点，求证: 直线AB过定点。(注:本题结论也适用于抛物线与双曲线) 练习2过抛物线M: y2 4x的顶点任意作两条互相垂直的弦 0A、0B ,求证：直线AB过定点。 练习3 :2x2 y21上的点作动弦AB、AC且I2 A2 o 4a2b2(a2 m2b21) 0 ( a 1) .K ”EN myi X Kan a21 2 y2 2 la 2 2 a 1 而AN (yi y2)myiy2 myi) 2 2 / 1 a a 1 2 ( 2 -2 yi y2)myiy? 2(2mb2 (a辽)(m圧

5、购骄)o) b2 (1 a2) 2 2 2 a m b a2KaiI二KeIIA、N、E 二点共线厂 丄 同理可得B、N、D三点共线 AE与BD相交于定点N(,0) 2 法2本题也可以直接得出AE和BD方程，令y二0,得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减二0计算量也 不大。 方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答 精品文档 精品文档题过程中要注意步骤。9 2X2例题、已知椭圆C： y2l,若直I :x t(t 2)与x轴交于点点P为直线丨上异于点T的 于知道了点P的横坐标了，由直线PAi、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系

6、，通过 4 任一点，点线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解岀的 则就不存在。 :设 M(xia/i) , N(x V2), 丿2消y整SW(1 4k】2)丈16k2x A 1(20)和 M , 2)，相当 t2,就可以了，否 AiM豹翁率为ki,则直线AiM的方程为y ki(x 2),由y k ( x 2) 222 22 2 和 xi 是方程的两个根，2xii 12 XnViS - yix0,y i0y 20. (1)设动点P满足PF - Pb=4,求点P的銃迹 设xi

7、二2,X2二,求点T的坐标 3 设t=9,求证：冑线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关) 精品文档 精品文档 精品文档 精品文档 解析问3与上题 同。 N if nmn 练习2已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2Q)、B (2,0) . C 1,三点.2 精品文档 精品文档 椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线丨与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点 Q. (2)求椭圆E的方程: (2)是否存在这样直线m,使得点Q恒在直线m上移动？若存在，求出直线m方程，若不存在.请说明理 解析:(1)设椭圆方程为rnx2 my2 l(m 0,n 0), 将A( 2,0

8、)、B(2,0)、C(l,)代入椭圆E的方程，得 E的方程叫 4A 4m 1, 9 rn ,n . 隔圆 m n 1 4 3 4也可设标准方程，知a 2类似计分) 2)可知:将直线I :y k(x 1) 代入椭圆E的方程-1并整理.得(3 4k2)x2 8kx 4(k2 3) 0 43 设直线I与椭圆E的交点M (xi,yi),N(X2,y2), 由根系数的关系, 3 4k2 直线AM的方程为 y ? =(x 2),即 y* ?x 2) 由直线AM的方程 为:y/(x2),即 y v22 =x 2) 由直线AM与直线BN的方程消去y，得 精品文档 Xl JX2 4 8(k2 32 ) 24k2

9、 42X1X2 3(X1X2)4X2X 2 4x2 (xi X2)2x2 4 3 4k2 3 4k2 2 8k 24 2x2 34k22 -直线AM与直线BN 的交点在直线模型四:动圆过定点问 4k2 6 2 3 4k 4k2 6 x4上 2X2 2 Z -3 理殊-T 07 e TODOX -DOOX 阳 (X goz Ho)： *Jz eIXr(e H 0)(e 7 H 0 呢H-HOXXOX 4Q丄IX 7r0 Q Q qxq怒Qo)丄Qe) 3 4需 XW峡帔呈里濮 E UJ uE U友-K0 ( T) ( UJ 冷)x(z )x 0 (E話)()(0 x)( X) 肛 0 0dE E

10、 E E ()d E E OXA 0 EEr話 or冷。 2 ox 2 0X0 n 三|0Elz u易得D (0門 y0 设 PH FD “0 PH yo；HF 1 xo；DQ0 ;DF 1; yo ：固PHF相似于FDQ ,易得PFQ 90 PH FD 问题得证。 22 练习：(10 r州二模文)已知椭圆C-2畀(abO)的右焦点F2与抛物线C2： y2 4 x的焦点重mb 5 合，椭圆C1与抛物线Q在第一象限的交点为P, |PF2| .圆G的圆心T是抛物线C2上的动点，圆C3 3 与y轴交于M,N两点，且|MN I 4. (1) 求椭圆Ci的方程； (2) 证明:无论点T运动到何处，圆G恒

11、经过椭圆G上一定点. 2 (2)解法1 : V抛物线C2： y2 4x的焦点坐标为(1,0), 点円的坐标为(1,0). 椭圆G的左焦点已的坐标为Fi (1,0)，抛物线C2的准线方程为x2.设点P的坐标为(xi,yi)，由 精品文档 精品文档 S b Z 2 焰Hh2 X1丄卄2匸XI 2 12 丄，解侍xi .田yr 1 1 M li 4X1 6 . 点P的坐标为 r cl.2a|PF1|PF2|Cl)2C6 0)2 *yi 22 .在椭圆 C1： *2 2 l(a b 0)中, ab Cl)2 C6 0)2 4 a 2,b a c 22 3.椭圆Ci的方程为.1 2 砌# o 珊畅妙 C

12、n- /2 /iv茁住占人lx炫 n占 匚c*人I人烷 门 m x 1.设点P的坐标为(Xi,yi),由抛物线的定义可知PF2X1I, PF2 5 5 2 28 ,- X11 ,解得xi .由 yi 4xi 且*0得yi 6. 点P的坐标为0/ 6).在椭圆C1： 33 22 才2 l(a b 0)中，ab c 1. C 1, 由a2 b2 c2,解得a 4 24 1. 2)证法1：设点T的坐标为(xo,yo),圆C3的半径为r , 22 2,b 3.二椭圆 L“xy | 1 /I Q 圆 C3与 y 轴交于 M , N 两点，且 |MN | 4,- |MN | 2 r2 x02 4. /.

13、r 222 二圆 Ca 的方程为(x xo)2 (y yo)2 4 xo2 .222 点T是抛物线C2： y2 4 x 的动点，二yo4xo( xo0). yo 4 消去 xo 整理得：(1 )yo2 2yyo (x2 y2 4) Xo Q1 2 2 2 2 Xo yo2 代入 42 12 0, 方程对任意实数yo恒成立, 2y 0, x2 y2 40. yo. 22 点(2,0)在椭圆Ci：- 43 1上，无论点T运动到何处，圆C3恒经过椭圆Ci上一定点2, 0 . 证法2：设点T的坐标为(xo, yo),圆C3的半径为，22 -点T是抛物线C?: y2 4 x上的动点， yo2 4xo( x0 0).精品文档 精品文档 圆 C3 与 y 轴交于 M,N 两点，且 |MN | 4,二 |MN | 2 r2 x02 4.二 r 4 x02