机械设计及其自动化教学PPT有限单元法分析

1、 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心1 有限元法分析问题的主要步骤：有限元法分析问题的主要步骤： 连续体离散化连续体离散化 单元分析单元分析 整体分析整体分析 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 三三 角角 形形 单单 元元 i j m ii yx , jj yx , mm yx , i u i v j u j v m u m v y x 位移函数位移函数： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 mmm jjj iii yaxaau yaxaau yaxaau 321 321 321 3 2 1 1 1 1 a a a yx yx

2、 yx u u u mm jj ii m j i t m j i u u u a a a 1 3 2 1 t 矩阵形式：矩阵形式： a2t a为三角形单元的面积为三角形单元的面积 代入水平位移分量和结点坐标代入水平位移分量和结点坐标: t t t * 1 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 t t t * 1 1 t *t 可逆矩阵可逆矩阵 伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余子式按行列伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余子式按行列 式中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。式中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。 t 行列式。其值为面积的行列式。其值为面积的2

3、倍。倍。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 jmmjmiimijji * jmmiij mjimji x yx yx yx yx yx y tyyyyyy xxxxxx tt的伴随矩阵的伴随矩阵 ii jj mm 1xy 1xy 1xy ijm ijm ijm aaa bbb ccc a bjj mm xy 1 xy 1的代数的代数 余子式余子式 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 将将垂直位移分量和结点坐标代入垂直位移分量和结点坐标代入 m j i mji

4、 mji mji u u u ccc bbb aaa a a a a 2 1 3 2 1 m j i mji mji mji v v v ccc bbb aaa a a a a 2 1 6 5 4 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 yaxaau 321 2 1 mmjjii mmjjii mmjjii yucyucyuc xubxubxub uauaua a u 1 1 () 2 iijjmm aaua ua u a 2 1 () 2 iijjmm abub ub u a 3 1 () 2 iijjm m acuc uc u

5、 a 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 )()()( 2 1 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxba a u )()()( 2 1 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxba a v m m j j i i mji mji v u v u v u nnn nnn v u 000 000 e nf （下标下标i i，j j，m m轮换轮换） )( 2 1 ycxba a n iiii 令令 形函数形函数 形函数矩阵形函数矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心

6、第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 1 1、在单元结点上形态函数的值为、在单元结点上形态函数的值为1 1或为或为0 0。 2 2、在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于、在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1 1。 3 3、 三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标三角形单元在单元边界上的形函数与第三个顶点的坐标 无关无关 ycxba a n iiii 2 1 ( i, j, m 轮换轮换 )形态函数性质形态函数性质 jmmjmiimijji * jmmiij mjimji x yx yx yx yx yx y tyyyyyy xxxxxx ijm ijm ijm

7、aaa bbb ccc 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 2 2）、单元载荷移置）、单元载荷移置 移植载荷遵循的原则移植载荷遵循的原则: : 非结点载荷移植到结点上非结点载荷移植到结点上 虚功等效原则虚功等效原则 是指原载荷与结点载荷在任何虚位是指原载荷与结点载荷在任何虚位 移上所做的虚功二者相等移上所做的虚功二者相等 x y i j m q p 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 单元的虚位移表示方法单元的虚位移表示方法( (线位移线位移) ) e nf

8、* 结点载荷结点载荷 m m j j i i e y x y x y x r e nf 实实 移移 位位 虚虚 位位 移移 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 y x p p p (1)(1)集中载荷移植集中载荷移植 i j m px py p c 由虚功等效原则由虚功等效原则 tt * ee* rfp t t ijm x iijjmm y ijm n0n0n0p x y x y xy p0n0n0n et rn p 结点力作功结点力作功外力作功外力作功 x y o t * et n p 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计

9、及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 ii ii x jj y jj mm mm xn0 y0n pxn0 py0n xn0 y0n 移植到结移植到结 点上等效点上等效 结点力结点力 集中力集中力 t n i xi j m x y o yj xj yi ym xm 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 例题例题1 1：在均质、等厚的三角形单元：在均质、等厚的三角形单元ijmijm的任意一点的任意一点o o（0.4a0.4a，0.4a0.4a） 上作用有集中载荷上作用有集中载荷p=100n p=100n ，与水平方向成，与水平方向成 =45=45，

10、求单元的等效结，求单元的等效结 点载荷。点载荷。 p o x y i (a,0) j (0,a) m (0,0) 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 1 1）求形函数矩阵）求形函数矩阵 解：解： 等腰直角三角形的面积等腰直角三角形的面积a a为：为： 2 2 1 100 10 10 2 1 1 1 1 2 1 aa a yx yx yx a mm jj ii jmmjmiimijji * jmmiij mjimji x yx yx yx yx yx y tyyyyyy xxxxxx 0 jmmji yxyxaayyb mji 0 jmi xxc 0 miimj yxyxa

11、0 imj yybaxxc mij 2ayxyxa ijjim ayyb jim axxc iji 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 a y a x ycxba a n a y ycxba a n a x ycxba a n mmmm jjjj iiii 1)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 mji mji nnn nnn 000 000 n 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 xyxy 0010 aaaa n xyxy 0001 aaaa i i t ijm x j y jijm m m x y n0n0n0p x py0n0n0n x y

12、 2 2）求单元等效结点载荷）求单元等效结点载荷 0.40 00.4 0.4050 2 00.4 50 2 0.20 00.2 20 2 20 2 20 2 20 2 10 2 10 2 0.400.400.20 00.400.400.2 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 (2) (2) 体力的移植体力的移植 t te e * rfq tdxdy 令单元所受的均匀分布力为令单元所受的均匀分布力为 由虚功等效原则由虚功等效原则 t e t * nq tdxdy 结点力作功结点力作功体力作功体力作功 et rn qtdxdy x q y 数字化设计与制造 大连交通大学机械设

13、计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 （3 3）分布面力的移植）分布面力的移植 t px,y t te e * rfp t.ds 结点力作功结点力作功面力作功面力作功 t e t * np t.ds t rnp .t.ds 由虚功等效原则由虚功等效原则 x y i j m p 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 例例:均质、等厚的三角形单元均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，的结点坐标如图所示，ij边上作用边上作用 有沿有沿y轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q ,单单 元的厚

14、度为元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷。，试求单元的等效结点载荷。 s 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 jmmji yxyxa mji yyb jmi xxc 1 1 1 i i i c b a 0 1 0 j j j c b a 1 0 0 m m m c b a 2 1 a （ i i ，j j ，m m轮换）轮换） 将将i i ，j j ，m m的坐标代入得：的坐标代入得： xyycxba a yxn iiii 1 2 1 ),( xycxba a yxn jjjj 2 1 ),( yycxba a yxn mmmm 2 1 ),( （1分） 形函数矩阵为：形

15、函数矩阵为： yxxy yxxy n 0010 0001 解：解：(1 (1）、计算形函数：）、计算形函数： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 (2(2）、计算等效节点载荷：）、计算等效节点载荷： tdspnr t e tdspntdspn t lmi t ljmlij e tdspnr t 在边界在边界jmjm和和mimi上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。 在边界在边界ijij上的面力为上的面力为: : qsq l s 0 0 p xs 因为积分沿逆时针方向，所以有因为积分沿逆时针方向，所以有dsds=

16、 =dxdx t q q qxdx qxdxx qxdxx tdxt qsn qsn qsn m j i e 0 0 3 1 0 6 1 0 0 0 0 )1 ( 0 )( 0 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 3 3）、由结点位移求单元的应变）、由结点位移求单元的应变 根据单元的位移函数根据单元的位移函数 m m j j i i mji mji v u v u v u nnn nnn v u 000 000 由几何方程可以得到单元的应变表达式由几何方程可以得到单元的应变表达式: : m m j j i i mmjjii mj

17、i mji v u v u v u bcbcbc ccc bbb a x v y u y v x u 000 000 2 1 e b b矩阵称为矩阵称为 几何矩阵几何矩阵 ycxba a n iiii 2 1 ( i, j, m 轮换轮换 ) 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 b矩阵可以表示为分块矩阵的形式矩阵可以表示为分块矩阵的形式 mji bbbb ii i i i bc c b a b0 0 2 1 b矩阵称为几何矩阵矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩阵。或应变转换矩阵。 ( i, j, m 轮换轮换 ) 称为应变矩阵称为

18、应变矩阵 由于线性位移函数，应变矩阵为常数矩阵。因而单元由于线性位移函数，应变矩阵为常数矩阵。因而单元 中的应力与应变为常数，称这种单元为常应变单元。中的应力与应变为常数，称这种单元为常应变单元。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 4 4）、由结点位移求单元应力）、由结点位移求单元应力 由物理由物理方程得：方程得： dd称为弹性矩阵称为弹性矩阵 e bdd 2 1 00 01 01 )1 ( 2 e d 平面应力问题平面应力问题 称为弹性矩阵称为弹性矩阵 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 5 5）、由结点位移求单元结点力）、由结点位移求单元结点力

19、 外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有 外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。 单元的结点力记为：单元的结点力记为： t mmjjii e vuvuvuf 单元的虚应变为：单元的虚应变为： e b * 单元的外力虚功单元的外力虚功为为 ： e t e f * 单元的内力虚功为：单元的内力虚功为： tdxdy t * 虚功原理：虚功原理： 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 由虚功原理得：由虚功原理得： tdxdyf t e t e *

20、t t e t et bb)( * ee bds e t t e e t e tdxdybdbf * e t e tdxdybdbf 外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功 * * 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 定义为单元刚度矩阵。定义为单元刚度矩阵。 tdxdybdbk t e 在在3结点等厚三角形单元中结点等厚三角形单元中b和和d均为常量，则单元均为常量，则单元 刚度矩阵可以表示为：刚度矩阵可以表示为： tabdbk te 6 6）、单元刚度矩阵）、单元刚度矩阵 eee kf 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动

21、化教研中心 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 单元刚度矩阵表示为分块矩阵单元刚度矩阵表示为分块矩阵 mmmjmi jmjjji imijii e kkk kkk kkk k tabdbk s t rrs r=i,j,m s=i,j,m 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质: : （1）对称性）对称性 e t e kk （2）奇异性）奇异性0 e k 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 e bdd 2 1 00 01 01 )1 ( 2 e d 称为弹性矩阵称为弹性矩阵 总结 tabdbk te eee kf 称为应变矩阵称为应变矩阵 单元刚度矩阵单元刚度矩阵

22、数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 1、均质、等厚的三角形单元、均质、等厚的三角形单元ijm的的结点坐标如图所示，结点坐标如图所示，jm边上作用有沿边上作用有沿y 轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为轴负方向按三角形分布的载荷，单元的厚度为1，求单元的等效结点载荷。，求单元的等效结点载荷。 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 2021-5-5 jmmji yxyxa mji yyb jmi xxc 1 0 1 i i i c b a 1 1 1 j j j c b a 0 1 1 m m m c b a 将i ，j ，m的坐标代入得： 2 1 a

23、 1、三角形面积: yycxba a yxn iiii 1 2 1 ),( 2、计算形函数： 解: yxycxba a yxn jjjj 1 2 1 ),( xycxba a yxn mmmm 1 2 1 ),( 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 3、计算等效节点载荷： tdspnr t e tdspntdspn t lmi t ljmlij e tdspnr t 在边界ij和mi上的面力为零，所以上式第一项和第三项积分应等于零。 qsq l s 0 0 p 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 因为积分沿逆时针方向，x=1-s ，s=1-x所以有d

24、s= -dx 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 例2：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图 所示，ij边上作用有沿x轴负方向均匀分布的载荷q， 单元的厚度为t，求单元等效结点载荷。（本小题（本小题1515分）分） 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 2021-5-5 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 0 0 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 r 0 0 0 0 qbt qbt dy a a q dy b y a a q dy b y q ttdy qn qn qn b b b m j i b e 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 例3：均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐 标如图所示，mi边上作用有沿y轴负方向均布 的载荷，载荷密度为q，单元的厚度为t，试 求单元的等效结点载荷. 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 数字化设计与制造 大连交通大学机械设计及其自动化教研中心 4. 在均质、等厚的三