2020届天津市武清区杨村一中高三(下)开学考数学试题(解析版

1、2020届天津市武清区杨村一中高三(下)开学考数学试题一、单选题2x1 .已知集合 A x|x 3x 20, B x Z 21，则 AI B ()A . (1,2)B. (1,2C. 1,2D. 1,2【答案】D【解析】 分别解出两个集合，注意集合B中元素全为整数，然后求出交集【详解】解 x2 3x 2 0,即(x 1)(x 2)0，所以 A x 1 x 2,解 2x 120,x Z，所以 B x x 0,x Z所以 AI B 1,2故选：D【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件2.已知命题P:xR , sinx 1，贝VP为()A .xR,sin x1B

2、. x R , sinx 1C .X。R,sin x1D. x R, sin x 1【答案】C【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案【详解】Q全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P : x R , sinx 1,p: x R,sin x01.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题3要得到函数 y 2；3cos2x sin 2x3的图象，只需将函数 y 2sin 2x的图象()A .向左平移一个单位B 向右平移一个单位33c.向左平移-个单位D 向右平移-个单位6 6【答案】C【解析】化简函数y 2.3 cos2 x sin2x 、,3，然后根据三角函

3、数图象变换的知识选 出答案【详解】依题意y Ex sin2x 3 2sin 2x扌2sin 2 x n 故只需将函 数y 2sin2x的图象向左平移6个单位.所以选C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式,考查三角函数图象变换的知识，属于基础题4 .已知各项不为 0的等差数列24满足a5 2a7 2a8 0 ,数列bn是等比数列且b7a7，则 b2b2 等于（)43A .B.92【答案】C【解析】由题意可得：a52a； 2比a7Q a730, a7，则：匕202匕7玄72本题选择C选项5. 设 p： f（x） x3 2x2 mx 1 在（ ）A 充分不必要条件C .充分必要条件9

4、2C. -D .-432 22d 2a7 2 a7 d3a7 2a7 0,944）内单调递增，q:m -，则p是q的3B.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件第22页共18页【答案】B）上恒成立，求出参数m取【解析】先将命题P中函数单增转化为 f（X）0在（值范围，即可求解【详解】对函数求导可得，f （x） 3x2 4x m , f x在（，）内单调递增，则f （x） 0在（，）上恒成立即43x2 4x m 0 恒成立，从而 16 12m0 ,二 m -,34又q: m ，显然P是q的必要不充分条件3故选：B【点睛】本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基

5、础题6. 已知函数 f x In . x2 1 x，设 a f log3 0.1 ，b f 3 0.2 ,c f 31.1则（ ）A. a b cB. b a cC. cabD. c b a【答案】D【解析】先判断f x的奇偶性，再证明单调性，判断出a,b,c对应自变量的大小关系，利用f x单调性比，即可得出答案【详解】 f x In x2 1 x f x lnx2 1 xf x f x 0,. f x f x ,.函数f x是奇函数，.当x 0时，易得f x ln , x21 x为增函数，故f X在R上单调递增，Tog3 0.1 0 , 0 3 0.2 1 , 31.13, f 31.1f

6、30.2 f g。/c b a.故选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.7. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺” “礼”，主要指德育；“乐”， 主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”， 数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A . 120种B. 156种C. 188种D . 240种【答案】A【解析】该题属于有限制条件的排列问题，

7、在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节， 这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素， 所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可【详解】当“数”排在第一节时有 A A448排法；当“数”排在第二节时有 A3 a a 36种排法；当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A2 A3 12种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A2 A2 A 24种排法，所以满足条件的共有 48 36 12 24 120种排法，故选：A.【点睛】在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类

8、讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节8. ABC的内角A , B , C的对边为a , b , c,若b 23，且 ABC的面积为S g2 c2 b2 ，则a c的最大值为（）4A . 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到acsinB accosB，求2 22 2出B ，再由 2 3b2 a2 c2 2accosB （a c）2 ac，结合基本不等式，即可求出结果【详解】acsin B2ac cos B，因此 tan B.3，故 B由余弦定理可得：a2 c2 b2 2accosB，又 S3 a2 c2 b2 ,4所以22

9、,3b22 2a c 2accosB2 2(a c)ac(a c)(a c)24-(a c)2,即 3(ac)2, (2、3)24(a c)2, 16，即a c 4，当且仅当a c时，等号成立，故 a c的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以 及基本不等式即可，属于常考题型.9 已知函数yf(x)为R上的偶函数，当x 0时，函数f(x)-x216R有且仅有6个不同的实数根，则实数2若关于x的方程f(x) af (x) b 0 a,ba的取值范围是()51A 12411 ,丄 1C 1-U12448【答案】B【解析】作出函数y

10、f (x)的图像，设f x有两个根，利用数形结合可得J - , 0 t241 1B ,-2 41 1D ,-2 8t ,从而可化条件为方程t2 at b 01，根据韦达定理即可求出实数a的取4【详解】 由题意，作出函数 y f (x)的图像如下,1 由图像可得，o f(x) f(2)42Q关于x的方程f(x) af (x) b 0 a,b R有且仅有6个不同的实数根，设 f x t,2 , ,t at b 0有两个根，不妨设为ti,t2 ;11且 ti， 0 t?44又 Q a t1 t21 1a -,-24故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数

11、形结合思想解决问题的能力，属于中档题二、填空题1 + i10 .已知复数：z满足z= (i为虚数单位)，则z的虚部为 i【答案】-1;【解析】求出z的值再判断即可.【详解】故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义，属于基础题型211 若(1 2x)2019 ao+ x+a20i9X2019 (x R),则色+冷 +疇 的值为2 2222019【答案】1【解析】 试题分析：令等式中=:得一 ；再令- ，则-=，所以- = - ,故应填.亠亠4亠亠亠【考点】二项式定理与赋值法的综合运用.12 .已知四棱锥 P- ABCD满足PA= PB = PC = PD = AB = 2,且

12、底面 ABCD为正方形,则该四棱锥的外接球的体积为 .【答案】 8 2.3【解析】 计算出四棱锥P ABCD的外接球半径，由球的体积公式：V 4 R3即可3求解【详解】由已知，四棱锥P ABCD为正四棱锥，设外接球半径为作PO 底面ABCDQ PA PB PC PD AB 2 ,PO BO 2同理可得AO CO DO PO 2所以r 2所以外接球的体积为 VR3 亠233故答案为：lL3【点睛】本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体积公式，属于中档题13 .已知实数X,y满足x 0, y 0，且则3xy的最小值为【答案】3【解析】变形3x y

13、1x5(3x y)=(3xy)239xy利用基本不等式，建立关于3xy的一元二次不等式，求解即可【详解】y因为x -33x3所以5(3xy)239x(3x3当且仅当y3X上式可化为(3x y)215(3x y) 360,解得 3 (3x y) 12,所以3x y的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.14已知抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F，点M x,2.2 (x。卫)是抛物2线C上一点，以M为圆心的圆与线段 MF相交于点A，且被直线x截得的弦长lMA为运MA，若L 2，则AFAF【答案】1【解析】根据题意得出关于

14、xo、P的方程组，求出xo和P的值，利用抛物线的定义可求得AF .【详解】则 pxo 4 ,则MA2 AF2|mf3Q被直线2截得的弦长为 3 MA ,DE23 MAX。由MAXo由，ME解得x0故答案为：1.【点睛】r ,在 RtVMDE 中,XoDEDM代入整理得ME4x：p220,2,p2，AF本题考查抛物线焦半径的计算，涉及抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题15 .已知函数f(X)sin x cos x( 0)，若集合 A x 0, ) f(x)1只含有3个元素，则实数的取值范围是【解析】由题意f(x)2 sin x - (0)，由 x? 0,p)，可得13，解得2x,再根据f

15、 (x)1只有3个解可得713444444即可得解.【详解】由题意f (x) sinx cosx .2 sinx (0),4Q x?0,p),x 44,4又集合A x 0,)f (x)1只含有3个元素,且、2 sin1 ,4实数的取值范围是2,2【点睛】 本题考查了三角函数图象和性质的应用以及辅助角公式的应用，考查了转化化归思想, 属于中档题.三、解答题x x2 x16 .已知函数 f(x) sin cos 3 cos 一3 33(1) 求f (x)的最小正周期及其对称中心；(2) 如果三角形 ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对角为x,试求x的范围 及此时函数f(3x)的值域.【

16、答案】(1) T 3 ;对称中心为3k2丁 k z ;(2)0-1 .【解析】【详解】试题分析：(1)首先利用三角函数的二倍角公式及两角和与差的三角函数公式将函数 f x化成只含一个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求f (x)的最小正周期及其对称中心；(2) 先利用余弦定理求出 cosx的范围，再由余弦函数的单调性求出x的范围，最后利用(1)的结果求出函数 f(3x)的值域.试题解析：解：(1)加5評中屁兰-亨二血罕+” lx 兀2工.疋=r.-匸 Vi333f x的最小正周期为Tj223lx 713(2)Qb2ac cosx又x0,- *(二1J而f3xsin 2x 3的对称中心为 3k

17、2a2 c2b2a2c2 ac2ac ac2ac2ac2ac由-= ，得2xf 3x sin 2x0,1 .余弦定理.【考点】1、三角函数的恒等变形； 2、三角函数的图象及性质;17 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形 ADPQ是梯形,平面 ABCD，且 AD PD 2QA 2 .(1)求证：QB/ 平面 PDC ;(2)求二面角C PB Q的正弦值；(3) 已知点H在棱PD上，且异面直线 AH与PB所成角的余弦值为 L-3，求线段15DH的长.1 3【答案】(1)详见解析；(2)； ( 3)2 2【解析】(1)由面面垂直的性质可得直线 PD 平面ABCD，建立空间直角坐标系

18、， 表示出各点坐标后，求出平面 PDC的一个法向量，直线 QB的方向向量QB，由uuu uuirQB AD 0即可得证;ur rn(2)求出平面PBC的一个法向量n，平面PBQ的一个法向量n2，禾U用 ir urIT uun ncos n,n2h，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；mi |n21uuu uuur(3)设 H (0,0, h)(0 h 2)，由题意 cos PB AH 型即 15绘牛磐，解出h 1后即可得解【详解】(1)证明：Q平面ADPQ平面ABCD ,平面ADPQ平面 ABCD AD , PD平面 ADPQ , PD AD ,直线PD 平面ABCD ,uuu由题意，以点D

19、为原点，分别以DA ,uuu uuuDC , DP的方向为x轴,y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2,2,0) , C(0,2,0),A(2,0,0) , Q(2,0,1) , P(0,0,2),uuur依题意易得AD (2,0,0)是平面PDC的一个法向量,uuu又 QB (0,2, 1),uuu uuu QB AD 0 ,又Q直线QB 平面PDC , QB/平面PDC ；uuuuuuu(2) Q PB (2,2, 2) , PC (0,2, 2), PQ(2,0, 1),“1,Z为平面PBC的一个法向量,uvniuv niuuvPB 0 uuv ,PC

20、0即2为2y1红0，令Z12y1 2z10iri可得 n (0,1,1,),uun2uv n2 uv n2x2 , y2, z2为平面PBQ的一个法向量,uuvPQ 0uuv ，即PB 02x2 z202x2 2y2 2z20，令化uu2 可得 n2(1,1,2),cosir uumeir uun, n?# tu- 1 |n21, 二面角CPB Q的正弦值为(3)设H (0,0, h)(0h 2)，则uuir AH(2,0, h)，又 PB (2,2, 2),cosuuu uuurPB,AH7.3,15丄4_2h|_ 7J2、3 -4 h215 6h225h 240，解得3或h 8 (舍去).

21、23故所求线段DH的长为3 2【点睛】 本题考查了利用空间向量证明线面平行、求解二面角、表示异面直线所成的角，属于中 档题18 .各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且满足2324, an 16Sn 9n 1,n N .各项均为正数的等比数列bn满足bia1,b3a：.(1)求证an为等差数列并求数列3n、bn的通项公式；(2) 若 Cn(3n 2) bn,数列 cn的前n项和Tn .求Tn ；若对任意n 2,n N*,均有 Tn5 m26n 31n 35恒成立,求实数m的取值范围.2n 5 ; m 32,求解首项公差，利用等比数列的前n项和Tn .【答案】(1) an 3n 2, 2n

22、1 (2 Tn 3n 5【解析】(1)利用已知条件转化求解数列an是等差数列求数列bn的首项和公比.(2)化简cn(3n 2) bn,利用错位相减法求解数列转化求出m与n的不等式，利用最值求解 m的范围即可.【详解】2 2(1) T an 1 6Sn 9n 1, . an 6Sn 1 9 n 1 1 n2 2 an 1 an 6an 9 n 2 ,.a： 1 (an 3)2,又an各项为正， an 1 an 3,(n2), a2开始成等差2又 a24,4 6a19 1 a11, a2a13 an为公差为3的等差数列 an 3n 2, b11,b34, bh2 1n 1(2) Cn3n 2 2

23、,01n 1 Tn 1 24 23n 2 22Tn 1 21 4 223n 2 2n,1 2Tn1 3 222nn3n 2 25n 1nTn 16 21 3n 2 2 ,Tn5 3n 2n 5, Tn3n 5 2n 5. 3n 5 2n m6n2 31n35恒成立,设knkn 16n2 31n 353n 5 2n2n 72n恒成立,2n 72nkn2n 52n13n 5 2n 73n 5 2n2n 72n2n 79 2n2n2n1当 n 4 时,kn 1kn ；当 n 5 时，kn 1knknmaxk5325332332【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和，以及

24、数列与不等式的关系，考查函数思想的应用，属于中档题2x19 已知椭圆C：-yab211(a b 0)的离心率为一，左、右焦点分别为F1, F2，点D在椭圆C上， DF1F2的周长为6.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知直线l经过点A(2,1)，且与椭圆C交于不同的两点 M ,N，若1| AM |,|0A|,| AN | ( O为坐标原点)成等比数列，判断直线 I的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.2【答案】(1)41(2)直线l的斜率为定值，该定值为【解析】(1)根据题意，列出关于 a,b,c的方程组，求得a,b,c的值，即可得到椭圆的(2)设直线l的方程为y k x

25、2标准方程;1，设M ,y1 , N X2, y2，联立方程组，利用根与系数的关系，求得8k 2k 1X1 X2厂，X1X23 4k16k216k23 4k28，再由AM AN-| OA |2，求得k的值，即可得到结论.4【详解】(1)由题意，得2 2 2a b cC -，解得a 22a 2c 6a 2b .3, 故椭圆C的方程为c 12y_31，设 Mxi, %由根与系数的关系，得x1 x28k 2k 13 4k2,%X2216k16k 83 4k21由 96 2k 10，得 k 1 ,21因为AM，一 OA, AN成等比数列，所以2UUUV LUU/5所以 AM AN ，即 x, 2 x2

26、 2 425即 x-|x2 2 x-i x24 1 k4AMAN1 2-|OA |2,4y1 1y2154，所以16k2 16k 83 4 k28k 2k 123 4k24 1 k2(2)由题意，可设直线I的斜率为k ,则直线I的方程为y k x 2N X2,y2 .2 2丄仝1联立方程，得43,y k x 212 2 2消去 y，整理得 3 4k x 8k 2k 1 x 16k16k80 ,整理得44k25，所以k2-,3 4k4411因为k 1，所以k 1 ,221故直线I的斜率为定值，该定值为 一2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系 数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的 考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.1 220 .已知函数 f(x) xsinx cosx ax , x ,(1)当a0时，求f (x)的单调区间；(2)当a0，讨论f (x)的零点个数；【答案】(1)f x单调递减区间为：一,0 ,-,;单