用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

1、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦冋题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一兀二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X22)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到 一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆仝 I 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被

2、 M点平分，求这条弦所在直线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1)、B(x2,y2)M (2,1)为AB的中点X1 X24 y1y22又A、B两点在椭圆上，则2 2 2 2x-i 4y116， x2 4y2 162 2 2 2两式相减得(X1X2 ) 4(% y ) 0于是(X1X2)(X1X2)4(y1y2)(y1 y2)0如 y为X2X1 X24( y1y2)-，故所求直线的方程为y 12(x 2)，即 x 2y 42例2、已知双曲线x21，经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B，2且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线 由。I，求出它的方程，

3、若不存在，说明理2y1 1,22y2X2122y2)0ky1kABy2 2X1X2解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)2则 x1 x2 2y1 y22x1两式相减，得1(X1 X2XX1 X2)(y1y2)(y12故直线 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x2 4x 30x122(4)4 2 380这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M

4、平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。二、 求弦的中点坐标和中点轨迹方程2例3、已知椭圆匚752x251的一条弦的斜率为13,它与直线x 的交点恰为这条弦的中点2M，求点M的坐标。解：设弦端点 P(x1，yj、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x,y)，则 xoX1 X2 2xo 1 ， y1 y 2yo2 又y12X121，y22X2175257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)o即 2yo(y1y2)3(X1X2)0y1y23X1X22yoky1y2333，即yo1X1X22yo2点M的坐标为1 1(,)。

5、2 222例4、已知椭圆y x 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。7525解：设弦端点P(x1，yJ、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M (x, y)，则x1x22x，y1y22y2222又y1X1 1y2X2175257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(X1X2)(X1X2) 0即 y(yiy2)3x(xiX2)0，即yi y2x1x23xyiX23x3，即 X yXix由y275y2-i25，得P(535 3)q(5. 3(_2_5.3)在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 x y0(2求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,. 50)的

6、椭圆被直线l : y一 1 横坐标为一，求椭圆的方程。22 2解：设椭圆的方程为 与 务 1，则a2 b2 50a b设弦端点P(X1, y1)、Qgyz),弦PQ的中点M(x,yo),1x 2，y。3X021X1x222x01, y1 y22222又y1X11,y2X21a2b22 ab2两式相减得b2(y1y2 )( y1y2)a2(X1X2)(X1X2)0即b2( y1y2) a2(X1X2)022y1y2aa3-X1X2b2b2联立解得2 a75, b2 255-3)2)3x 2截得的弦的中点的则2y。122所求椭圆的方程是17525四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题2 2例6、

7、已知椭圆 1，试确定的m取值范围，使得对于直线y 4x m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。P(x, y)为弦 RP2解：设Rd，%), P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y 4x m的对称两点,2 2 2 2的中点，贝V 3xi4比 12，3X24y?12两式相减得，3( x12 x22)4( y12 y22)0即 3(X1 X2)(X1 X2) 4(yi y2)(yi y?)0Xi X2 2x, y1 y2 2y, 壮x1 x2y 3x这就是弦PF2中点P轨迹方程。它与直线y4xm的交点必须在椭圆内联立y3x得Xm2则必须满足y23 *,y4xmy3m4322 . 132 13即(3

8、m)3m2，解得m413133 2例7、已知抛物线C： y (x -)和直线l : y kx(k 0)为使抛物线上存在关于I对称的4解：设抛物线 C上存在不同的两点两点，求k的取值范围。R(x1，yj, P2(X2，y2)关于直线I对称，线段RP?的中点为 M(X。，y)，则 X1X22x0 ,y1y22 y0Y1 (X13)2 ,4y2-)24可得：上一y2x1x2X1x2i，即Kpa2x0由于RP2I，所以Kpp2xo又因为M (xo, yo)在直线Ikx(k 0)上，所以yo3 2线y (x )开口内，所以4y0 (X0 产，故 y01k3k43k4c 3 测 312x0,即 x024 2k1-，因为M(X0,y)在抛物1-0，所以k 1。即卩k的2取值范围是1,。策略：本题需要根据弦中点 M(x0,y0)位置求k的取值范围，如果不考虑 M(x0,y0)位置, 可能得出错误的