《导数及其应用》(文)复习概要

1、导数及其应用(文)复习概要山东张俊华李绪军一、导数1 导数的定义函数yf(x)在点X。处可导：函数yf (X)在 Xo 到 XoX之间的平均变化率，即yf(XoX) f(Xo)，如果当 XXX0时，y有极限，则称y f (x)在点x0处可导.X注意：(1)导数与导函数之间既有联系又有区别一般地，导数是对一个点而言的，它是一个确定的数值(常数)，与给定的函数及X (或Xo )的位置有关，而与 X无关；导函数X、 X均无关.因此,是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，但与导数和导函数常用“求函数y f (X)在点X Xo处的导数”与“求函数y f(X)的导数”在文字叙述上加以区别

2、；同时采用“f (怡)，y X X ”与“ f (x), y (或yX)等在符号上加以区别.函数y f (x)在x Xo处的导数f (Xo)是一个数，它就是导函数f (x)在X Xo处的值，即f(X。) f (x) x x,是一个常量.也可以先求导数 f (x)，再用x Xo代入计算其值,但前提条件是f(x)在x xo处必须可导.(2) 并不是所有的函数都有导数 .(3) 自变量的增量x有多种表达形式，不论采用哪种形式，y中自变量的增量 x都必须用相应的形式.如求lim f(X X) f(x)x o易出现这样的错误lirfx oX) f(x)Xf (x)，这是将y f (xlirfx oX)

3、f(x)Xlirf应 为X)f(x)XX) f (X)中自变量的增量误认为是x ，令 x h ，则f (X).2导数的几何意义函数y f (x)在点xo的导数的几何意义，就是曲线y f (x)在点P(x), f (xo)处的切线的斜率k,即k f (xo).3.求函数的导数的方法、步骤(1) 用定义基于对导数定义三个层次的理解，求一个函数的导数，一般先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数 .即分为以下三个步骤：求差商，即求平均变化率(增量之比)y f(x x) f(x)xx求导，即求局部变化率(增量比的极限)f (x)以上步骤熟练之后，可一并写成f (x)lirfx 0X) f(

4、x)x(2) 利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导数 常用的导数公式C 0 (C 为常数)，(xn)nxn In N ),(sinx) cosx(cosx)sinx，1-,(lOga x)x-logae( a 0，x(ex) ex,(ax) ax l na( a 0，且 a 1)，(l nx)且 a 1)； 两个函数四则运算的导数f (x) g(x) f (x) g (x)，这个法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)f (x)gg(x) f (x)gg(x) f (x)gg (x)， 特 别 的 Cf(x) Cf (x)；f(x) g(x)1g(x)1 求切线的斜率

5、：根据导数的几何意义，函数y f (x)在点x。处的导数，就是曲线(x)g(x)2 g(x)f(x)(g(x)0)，特别的当 f(x) 1 时，有g (x)g(x)g2(x) 复合函数的导数设 y f (u), u g(x)，则 y f (u)gg (x).注意：对复合函数求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步是对哪个变量求导，不要混淆，最后要将中间变量换为自变量的函数二、导数的应用y f (x)在点P(x0, f (x0)处的切线的斜率.注意：当切线平行于 y轴时，这时导数不存在，切线方程为x 冷.2求函数的单调区间：利用导数判断函数单调性的步骤是：(1) 确定函数y f (x)的定义

6、域；(2) 求导数f (x)；(3)令f (x) 0，解出x的取值范围，得函数单调递增的区间；令 f (x) 0 ,解出x的取值范围，得函数单调递减的区间注意：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意到定义域，以及定义域内的不连续点或不可导点.函数y f(x)在某一区间 f (x) 0 (或f (x) 0 )是y f (x)在该区间上为增函数(或减函数)的充分条件如函数y x3在(，)为增函数，但有f (0) 0.3 求函数极值：设函数 y f(x)在点X0处连续且f (x0) 0,若在点x0附近左侧 f (x)0，右侧f (x)0,则x。为函数的极大值点；若在点 X。

7、附近左侧f (x)0,右侧f (x)0，则x为函数的极小值点.注意：可导函数 f (x)在点x0取得极值的充要条件是f (x) 0且在x左右侧f (x)符号不同.f (x)0是x为极值点的必要不充分条件 函数的极值点是区间内的点，不能是区间的端点另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x) x在极小值点 x 0处是不可导的.把使f (x) 0的点x附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然4求函数的最值：在闭区间a, b上连续的单调函数 y f(x)，在a, b上必有 最大值与最小值设函数y f(x)在a, b 上连续，在(a, b)内可导，先求出f (x) 0 的点，然后求出使f (x) 0的所有点的函数值， 再与端点函数值f(a), f (b)比较，其中最 大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意：极值与最值的区别：(1) 函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个 定义区间而言，是在整体