线性代数答案.

1、第二章矩阵及其运算1.已知线性变换紀2%2旳2 gX2=3y目2 5y3X3=3yi 2y2 恥求从变量X1.X2.X3到变量yi y2 y3的线性变换解由已知|X2匕3丿f2 2 V)Xii - 7 - 49 1 yi iy23 i 5X2=63-7y2令2丿i3 2 3 丿W丿V324j与3丿% = -7咅-4x2 +9x3 y2=6x! +3X2 _7卷 y3 =3 2X2 - 4x32 已知两个线性变换xr2yy3y-3z Z2x -2yi 3y2 2y yr 2z 23X3 = 4yy 5y3m.律求从Zi Z2 Z3到Xi X X的线性变换解由已知2 0 1 yi 242 3 5丿

2、狙420 i -3 i3 220i 5人 0 T-129 22TO -1 16 z3% = 6z+z? + 3z3 所以有 =12z( -4z2 9z3 Z1x3 = TOz, -Z2 +16234153 1 4汇 7 + 3汇 2 + 1汇 1 (35_2 3 | 2 | 疋 7十(_2)疋 2 + 3汉1 = 67 0八1丿I 5汉7 + 7汉2 + 0(49丿1 -1 1)051丿广11112 3养1 113AB_2A = 3111-1-2 4-21 1-1订-11)05 1丿 9 0丿1一11丿429一2丿r i 8= -1解1 -1112 3-2 4 求 3AB-2A及 ATB- 1

3、 1 1、12 3、9 5 8、1 1 -1T - 2 40-5 61 -1 1 丿0 5 1 丿2 9 0 丿ATB二4 计算下列乘积：4 3 1、(7、(1)1 -2 325 7 0 丿J丿(2) (1 2 3) 2 ；11丿解 (1 2 3) 2 卜(仆3+2江2+3)=(10)订丿(3) 1 (-1 2)；3212沢(1)2汉 21 (-2 4 解 1 (-1 2)=仆(-1) V2 = -1 233(-1)3汉2丿 1-3 6；0 3 12140-1 2；I 丿 11 -1 3 4丿 1 -3 1811 812813 |!(5)(X1 X2 X3)812 822 823 |X2813

4、 823 833 丿g .丿解解j a11(x X Xs) a12a13ai2 a22 a23 | X;X1Ia13 a23 a33 丿 lX3 .丿4 0 -2丿f1310-12 !J6 -7 81-31120 -5 -6丿40-2丿(2140、U -1 3 4丿仔-11X1+812X2*813X3812X1*822X2 + 823X3813X1+823X2*833X3) X2(1) AB二BA 吗？解 ABBA因为AB J4 61 BA81 所以ABBA14 6丿13 8丿(2) (A B)2二A2 2AB B2 吗? 解(A B)2=A2 2AB B2 因为A B= 2 212 5丿8

5、12丿 13 4丿 115 27丿4 11 丿(a+bH25I22】临 24 A2+2AB+B2=3 8M0)=0016)所以(A B)2=A2 2AB B2(3) (A B)(A-B)=A2-B2 吗？ 解(A B)(A-B尸A2-B20 60 9丿故(A B)(A-B)=A2-B26 举反列说明下列命题是错误的(1)若 A2O 则 A=0解取A二01 则A2=0但A=0若A2二A 则A=0或A二E解取人二0 0 则AA但A=0且A E若AX二AY.且AP.则X二YA=(0 0,!-1*01则AX二AY且AP-但XY7 设 A 二 1 0 求 A2 A3AkI扎1丿解A0昇订0Amr 1 0

6、0=1 、21八人1厂A10W 1丿p 1 08、设A= 0九1求A：10 0丸丿解首先观察o O r I i-A210 10 2 2人10九1=0九20九A0 0九丿10032 33 3 20 3o o-ATp?4几3 6九2、A4 = A3A= 0 ?-44?100扎4丿d5 5入4 10扎八A5 = A4A= 0 涉5化400涉丿Ak =kZk0k(k-1)22k2zk用数学归纳法证明：当k=2时显然成立假设k时成立，则k 1时，bk1迩-1)严21 00k0人100xk0九丿)Ak 1 = Ak A 二.k1(k 1) k 10(k 1)k w2(k 1) k_10由数学归纳法原理知|

7、，k k k-1 k(k 卫心2Ak = 0 k k z00汕9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是 对称矩阵证明因为A=A所以(BtAB)Bt(BtA) J btatb = btab从而btab是对称矩阵10.设a B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分 必要条件是 AB二BA证明充分性：因为AA BB且ab = ba.所以 (ab)J(ba)Jatbt=ab即ab是对称矩阵必要性:因为at=a bt=b且(AB)t=AB所以AB = (AB)JbtAt=BA11求下列矩阵的逆矩阵：(1) 12(1) 2 5解 A用5) |AF故A存在因为-sin 丁 cost解cSO

8、肿故A存在因为Ai 码=coS sin。IA2 A22 丿 LsinT coS 丿所以|A|-sin日cos日丿12-1、3 4-25 -4 1 丿1 2-nA1a*=coS si n日解 A= 3 4 -2 AF2P故存在因为5 -4 1 丿A11 A21 AlA!2 A22 A32 广A13 A23 A33-4 2 0-13 6 -1i-32 14 -2)-2所以A丄 a* = -13|A|2-1IT6a20(aa2an =0)解 A二a2由对角矩阵的性质知10 Ia.丿a2an12 解下列矩阵方程(1)25x=2f离嘗 H31252 ：H2 胃1 4TT T2 2X2)XOZ20 3 3

9、1233 2X31 41丿12-3-2 52 8-31 -30O 12X r丿 4 2T-1 2)0 -认-11 1 -1 1212 1=丄6 6丫1 0=3 0丿订2厂140/o010X0 1丿0-40-231】010 第1-4 3、广 10 0、解 x =1 0 02 0-10 0 10 0 1 丿J -2 0 丿0 1 0 丿0 1-431 09100 J2 0 -1 |0 01 人1 -2 0 人0 102 -11=13 01 013,利用逆矩阵解下列线性方程组H-为 2x2 3x3=1(1) 2x 2x2 5x23x1 5x2 x3 = 3解方程组可表示为1 2 3阿2 2 5|X2

10、5 1lX3丿弘X2X3丿勺22 23 52 =|-A5冏人站才-尹|= P21he2)3|_1h-8|Ar-8 2=- 1617 设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆(A*) (A_1)*证明由A |A|A*得A*二|A|A所以当A可逆时有| A|A*|A|n|A_1h|A|n-0从而A*也可逆因为A* = |A|A。所以 (A*)FaA 又 A二斗(Aj* =|A|(Aj* 所以|A|(A*)二|AA二AljAKA-1)* =(A，)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1) 若lAl=0 则 |A*|=0(2) |A*|=|A.证明(1) 用反证法证明假设|A*|=0.则有A*(A*

11、)E由此得A二A A*(A*厂J|A|E(A*) O所以A* 9 这与A*0矛盾，故当|A|=0时 有|A*|=0(2) 由于A-A*则AA* =|A|E取行列式得到|A|A|A*H|A|n若 |A|=0.则 |A*|=|A|Z若|A| = 0由(1)知|A*|=0此时命题也成立因此 |A*| =|A|n广 0 3 3 ;19设 A= 1 1 0 | AB二A+2B.求 B-1 2 3丿解 由AA 2E可得(A-2E)B=A故广-2 3 3汀0 3 3(0 3 3B = (A-2E)_A= 1 -1 01 10 = T23-1 2 1 八T 2 3丿 V1 1 0丿广 101;20设 A= 0

12、 2 0 且 AB+E=A2+B求 B、10 1；解由AB A2 B得(a-e)b=a2-e即(A-E)B = (A-E)(A E)0 0 1因为|A-E|=O 1 0 = -1工0 所以(A-E)可逆.从而1 0 0201B=A+E= 030J 0 2丿21 设 A二diag(1,-2. 1)A*BA=2BA-8E 求 B解由 A*BA=2BA-8E 得(A*-2E)BA=-8EB8(A*-2E)* 一8A(A* -2E) _1 一 8(AA*-2A) = -8(|A|E-2A) = -8(-2E-2A)* =4(E A)* =4diag(21 2)11 1 = 4diag(,-1,1)=2

13、diag(r-2 - 1)、22 已知矩阵A的伴随阵A*二且 ABABA 3E 求 B酉 1/ L)6QP+(o099)6QP(9 9 9)6qp 1/ l)6qphr V+V9山 9)8 VH( vrB(9山 9)h()&V(N 0 LlrdfrM二丄怒寸N寸 89 89L L(NetNO(N0寸rtNcm 二 “二 iT TLd 此 dHe此ud 1OTJ;O O O I o o (0 oO 9 O CO(*HdfrM009?IIOH山N)9H(NT5)eHJ(山)LU 8e 中 8e山 e+8J8圧 N丄eooJ-T-*二diag(1 1 58)diag(12 0 0) = 12diag

14、(1 0 0).(A) = P ( JP11nf1 0 0)f-2 -2 -2-20-2000-3 031-11丿00 0,-1 2 -1 丿|P|P (JP*1 1 1 = 4111订1 1丿25 设矩阵A、B及A B都可逆证明A八B，也可逆 并求其逆阵证明因为A_1(A B)B_B_1 A_r 1而AA B)B是三个可逆矩阵的乘积所以 1(A B)1可逆 即A_1 B_1可逆(A Bj讥A(A B)B讥 B(A B)*A12 10 103126 计算 0 10 10 12 -126 计算 002100_23 0 0 0 3人0 00 -3 丿AH0!曰 一氏二f-23i 0 -3/(A e

15、e 吕Ja AB1 + B29 A,八。b2j q a.b2 厂AB + B123 +2 讣 2)AB1 B2 10 1 八2 T丿 0 -3丿 2 -4丿所以A2B = f2 U(-23L-43)10 3八0 -3厂0 AXB1= (A ABFB2= 0B21 0 10 1 02 1 00 3 00100OA2B2J0 0-430 00-9丿n11252)1-1 _02-43 一0-43-3.00-9.32 -20522 -427.取 A=B = -C = D= 10 验证|A| IB|C| ID|A| |B|=1 1|C| |D 1 1(3 428 设 A二 4 _30O 120 求 I

16、A8 及 A42 2I 4 4 -3丿IAj10 102 0 0 0A B0 10 10 2 0 0-2 01 0C D-10 10-10 100 20 10-1010-101解=4=0|A| IBTOa：00808054|A8冃A8临冃A8IAJL10O24 0 26 24 丿29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求(1) O A _1(1) B O设 O A I C1 C2则设B O C3 C4则由此得所以O A G 5 _ AC3 AC4 _ B O C3 C4BCi BC2AC EnMP-BC厂 O BC EsO A B OOn Os)CA-1C/OG=oC2甘1O BjZ O丿富解设Ay由此得AD厂 En ADO CD1 BD3=0 =CD/BD厂 Es二 U D2 则D3 D4 则D2M ADiAD2 EnOD4 丿 3 + BD3 CD2 + BD4丿 O Es 厂D厂 A-1DO