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1、第十八章平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质(1) ：平行四边形：(2) ：平行四边形(3) ：平行四边形(4) ：平行四边形对边相等(即: 对边平行(即： 对角相等(即: 对角线互相平分_ n/、a tAB=CD,AD=BC )； AB/CD,AD/BC )； / A= / C, / B= / D)；(即：OA=OC , OB=OD ) ； 13判定方法：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3. 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分 的四边形是平行四边形;5. 两组对角分别

2、相等 的四边形是平行四边形;考点1特殊的平行四边形的性质与判定1. 矩形的定义、性质与判定(1) 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。(2)矩形的性质：矩形的对角线;矩形的四个角都是角。矩形具有的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有条，矩形也是中心对称图形，对称中心为的交点。矩形被对角线分成了个等腰三角形。(3)矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是的四边形是矩形；对角线的平行四边形是矩形。60度时，则构成一个等边三角菱形的都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线.一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有条。温馨提示：矩形的对角线是矩形比

3、较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角 或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2. 菱形的定义、性质与判定(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2) 菱形的性质(3) 菱形的面积4个全等的菱形的面积=底X高，菱形的面积=ab，其中a, b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了直角三角形。(4)菱形的判定:都相等的四边形是菱形；对角线的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的

4、判定定理需不需要证 明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3. 正方形的性质及判定方法(1)正方形的性质：正方形的四个角都是，四条边都正方形的两条对角线，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(2)正方形的判定方法：有一组邻边相等的.是正方形；对角线互相的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这“平分”这个前提，因为只有对

5、角线平个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时, 分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。考点2梯形的概念及判定方法1. 梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。(1 )等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形;(2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。2. 等腰梯形的性质与判定性质：(1)等腰梯形中，同一底上的两个角相等;(2)等腰梯形的对角线相等;判定：(1)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(2)对角线相等的梯形是等腰梯形；(3)有两个腰相等的梯形是等腰梯形。3. 梯形中常用的辅助线梯形的

6、辅助线分割后的图形图形示意将梯形分割成一个平行四边形和一个1.平移一腰三角形2.平移两腰将梯形分割成两个平行四边形和一个三角形3.平移对角线将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形将梯形分割成一个矩形形和一个三角4.作双高将梯形分割成两个三角形5.延长两腰6.连接一顶点和一腰中点将梯形分割成一个三角形温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形题，然后再利用这两种 图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时要注意搜集或留意辅助线的作法，使 它们变成自己的东西。中考热点难点突破例1:如图，菱形 ABCD中,/ B= 60 , AB=

7、 2, E、F分别是BC CD的中点，连接 AE EF、AF,则 AEF的周长为（A. 273B . 33C . 43 D . 3例2:如图,把矩形 ABCD沿EF对折后使两部分重合，若A. 110B . 115 C . 120D . 130、选择题（每题 3分，共30 分）)1. （09年河北）如图，在菱形 ABCD中,A. 20B. 15C.10D . 5AB = 5,2. （09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（2A . 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 80cmAC3.

8、 （ 09年宁波市）如图，菱形 ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O , M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（A. AOM和 AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形 MODN都是菱形C .四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形CA. 35B. 45C. 50D. 555.将矩形纸片ABC按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB= 3,贝y BC的长为（）A.7.正方形D . 10ABCD的边长为8, M在DC上，且 DM=2 N是AC上一动点，贝U DN+MN勺最小值为（）EF的长为6,腰AB

9、的长为5，则等腰梯形的周长为（A . 11 B . 16 C . 17 D . 229.如图， ABCD的周长是28 cm, ABC的周长是22 cm,则 AC的长为 （）A . 6 cmC . 4 cmB .12 cmD .8 cm11.如图，菱形 ABCD的边长为10cm, DE丄AB , DE=6，则这个菱形的面积cm2 .13 .（09年甘肃庆阳）12 .（09白银市）如图，四边形CABCD 中，AD / BC , B 60, AD 4, BC 7 则梯形 ABCD 的周长是ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是cm .14.（09年济宁市）在等腰梯形 ABCD中，AD / BC

10、, AD = 3cm, AB= 4cm, / B= 60 ,则下底BC的长为三、解答题（共60 分）21.（本题6分）（09肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线 AC与BD相交于 0,ACD 30, BD 6 .（1）求证： ABD是正三角形;（2 ）求AC的长（结果可保留根号）C22. （ 09年宜宾）已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过 AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.（1）求证：AM=DM ；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长.E24.如图：已知在 ABC中，AB AC , D为BC边的中点，过点DE丄AB, DF丄AC，垂足分别为E, F .(1)

11、求证： BED CFD ;（2）若 A 90求证：四边形 DFAE是正方形.D第24题图25.（本题8分）（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，/ C=60 AD /BC, 且 AD=DC, E、F 分另在 AD、DC的延长线上，且 DE=CF , AF、BE交于点P.(1)求证：AF=BE;（2）请你猜测/ BPF的度数，并证明你的结论.F26.如图，在梯形 ABCD 中，AB / CD, BD 丄 AD, BC=CD , / A=60, CD=2cm.（1） 求/ CBD的度数；（2）求下底AB的长.B27.（本题10分）如图， ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的

12、一个动点（不与点 B重合）,连结AD，作BE AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF CE，交BD于F .求证：BF FD ;28. （2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60 得到BN连接EIN求证： AMBA ENB当M点在何处时，AW CM的值最小;当M点在何处时，AW BW CM的值最小，并说明理由;当AM BM CM的最小值为J31时，求正方形的边长当M点落在BD的中点时，AW CM的值最小.【答案】解： ABE是等边三角形, BA= BE,/ ABE= 60 ./

13、MBN= 60/ MBN-/ ABN=/ ABE- / ABN即卩/ BMAf/ NBE.又 MB= NB,.A AMBA ENB ( SAS 如图，连接 CE当M点位于BD与CE的交点处时,AW BW CM的值最小.理由如下：连接 MN.由知， AMi2A ENB - AM= EN./ MBN= 60, MB= NB BMN是等边三角形 BM= MN.： AW BW CM= EW MW CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+ MW CM= EC最短当M点位于BD与 CE的交点处时,AW B腑CM的值最小，即等于 EC的长过E点作EF丄BC交CB的延长线于J3设正方形的边长为 X，则BF=

14、Xx,2F, / EBF= 90 - 60=30EF=占2在 Rt EFC中, Eh + 心 EC(I )2 +21 解得,x=V2 （舍去负值） 正方形的边长为12 1、在平行四边形 ABCD中，过点C的直线CE丄AB,垂足为E,若/ EAD=53 则/ BCE的度数为(A.53B.37C.47D.1272、( 2011江苏省无锡市，21，8)如图，在I口 ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF。求证：/ BAE=/ CDF.3、(2012浙江省湖州市，20，8分)已知，如图，在ABCD中，点F在AB的延长线上，且 BF=AB，连接FD交(1)说明 DCEFBE的理由

15、;0,且 BD 平分 AC，若 BD=8，AC=6，/ BOC=120 ，则四边BC于点E。(2)若EC=3，求AD的长。4、如图，四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点形ABCD的面积为 .(结果保留根号)5、(2013河南省)如图，在等边三角形 ABC中，BC6cm,射线AG / BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/ s的速度运动，同时点 F从点B出发沿射线BC以2cm/ s的速度运动,设运动时间为 t(s)(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：VADEVCDF证明:(2)填空：当为s时，四边形ACFE是菱形;6、( 2013?宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成

16、两个等腰三角形, 这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形.(1)(2)我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,如图，在梯形 ABCD中，AD II BC, / BAD=120 / C=75 BD平分/ ABC .证：BD是梯形 ABCD的和谐线; 四边形 ABCD中，AB=AD=BC , / BAD=90 AC是四边形 ABCD的和谐线，求 / BCD的度C数.解答:(3) / AC是四边形ABCD的和谐线， ACD是等腰三角形. AB=AD=BC，如图 4,当 AD=AC 时， AB=AC=BC , / ACD= / ADC ABC 是正三角形， / BAC= / BCA=60 / / BAD=90 / CAD=30 / ACD= / ADC=75 / BCD=60 +75=135.如图5，当AD=CD时，如图6，当AC=CD时，/ AC=CD . CE 丄AD ,四边形A