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1、一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆一一2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年咼考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆, 于同一圆周上，a点为圆周的最高点， 环（图中未画出），三个滑环分别从a、a、b、c、d 位 / d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑!b、c处释放（初速为 0）,用tl、t2、t3依 次表示各滑环到达 d所用的时间，则（）A.t1t2t2t3解析：选任一杆上的环为研究对象，径为R，由牛顿第二定律得，C.t3tlt2D.tl=t2=t3受力分析并建立坐标如图所示,设圆半6图1mg cos ma再由几何

2、关系,细杆长度L 2Rcos 设下滑时间为t，则L-at22由以上三式得,t 2$V g可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。下滑,（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t =R（如图甲所示）（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止到达圆周低端时间相等为t =如图乙所示）象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于

3、它在解题中的应用，我们看下面的例子:等时圆模型（如图所示）等时圆规律:a)b)1小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图d ）自由落体的时间，即2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（式中R为圆的半径。），圆的直径为d （如右图）。根0* amm*三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a g sin ，位移为s d sin，所以运动时间为t 叵12d sin0 V a V gsin运动时间与弦的倾角、长短无关。

4、即沿各条弦运动具有等时性，规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），个滑环分别从 A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角 大小都无关.推导设圆环沿细杆 AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为0,如图示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin0,由几何关系有 AB=x=2Rsin 0,由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的. 说明1如果细杆是粗糙的，

5、环与细杆间的动摩擦因数都为卩， 由运动学公式有2Rsin 0 =12 （gsin 0 卩 gcos 0） t2,解得t=2Rsin 0 gsin 0卩 gcos0 =2Rg 卩 gcot 0,0增大，时间t减小，规律不成立.二、“等时圆”的应用，巧用等时圆模型解题JfACP正SD对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解.1、可直接观察出的“等时圆”例1 :如图3,通过空间任一点 A可作无限多个斜面， 若将若干个小物体从点分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位 置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面D.无法确定解析：由“等

6、时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以 确。【变式训练1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于ti和t2，则ti和t2之比为（C.3 : 1例4:圆01和圆02相切于点P, 01、02的连线为一竖直线，如图 8所示。过点P 有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（）A.t1t2 解：因例2:如图 墙相切于点B.t1=t2C.t1 tatc=；而

7、d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,V g所以 C 正确。tb ta td tc.图4如图所示，令圆环半径为R,贝y C球由C点自由下落到 M点用时满足R=gtC，所以tcM;对于a球令AM与水平面成 0角，贝U a球下滑到 M用时满足 AM = 2Rsin 0= 2gsin 0話三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点?解析：设斜面侧边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a g sin ，物体的位移为xl/s in。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得丄 1gsin t2，sin 2I、g一定，所以越大时，下滑所用时间越短奇妙的

8、等时圆一一2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细 杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点， 上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，贝UA.t1t2t2t3C.t3t1t2d点为最低点。 a、b、c处释放 （）D.t1 =t2=t3每根杆 （初速为图1解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 二定律得，2,由牛顿第mg cos ma由几何关系，细杆长度 L 2Rcos设下滑时间为t,

9、贝y L丄at22图2由以上三式得，t可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。 若将图1倒置成图止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止到达圆周最低点的时间相等。物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑， 相等。我们把这两种圆叫做 等时圆”，下面举例说明 等时圆”的应用。例1 :如图4所示，通过空间任一点 A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面D.无法确定解：由 等时圆”可知，同一时刻这些小物体应

10、在同一等时圆”上，所以A3的形式,同样可以证明物体从最高点下滑,到达圆周低端的时间图4正确。卜图5 HD例2：两光滑斜面的高度都为 h，甲、乙两斜面的总长度都为 成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放， 问哪一个球先到达斜面底端？解:构想一辅助圆如图 6所示：在AF上取一点O,使OA=OC , 以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由等时圆”可知,t ACtAE ,由机械能守恒定律可知:VcVe , VbVd ,所以VBCVED 。又因为两斜面的总长度相等,所以SbcSde ,根据s得，tBC tED，所以有 t甲 t乙 ,t即乙球先到达斜面底端。2在离坡底B为

11、10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如 图11）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图12,把AO延长到C,使OC=OA=10cm , 则点O到A、B、C三点的距离相等。以 O为圆心， OA为半径作圆，则B、C 一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从 A到B的时间与从 A到C的时间相等，即 tAB tAC j2AC/g 迈20/102s。【例1】倾角为30的长斜坡上有 在C点竖直地固定一长10 m的直杆 连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点） 开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1滑行的

12、时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s2）A. 2s和 2sC. J2s 和 4sl，只是乙斜面由两部分组 不计拐角处的能量损失,图6OA也是10cm。杆的上端图11图12C、O、B 三点，CO = OB = 10m , AO。A端与C点间和坡底B点间各 ，将两球从A点由静止 所示，则小球在钢绳上图172s 和 2s4s 和 J2s=OA2所示。两球由静止释放，且光滑无摩 AB和AC与竖直方向夹角分别2,该圆半径为r，则对钢球均有1Q , 2-g cos ?tOB解析：由于CO =点是该圆的最高点，如图擦，满足“等时圆”条件。设钢绳为a 1、(X，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直

13、杆 AO竖直，A2r cos解得：t产，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角a无V g关，且都等于由 A到D的自由落体运动时间。代入数值得 t=2s, 选项A正确。图22、运用等效、类比自建“等时圆例3 :如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点,相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点p安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求0、P两点之间的距离 0P。L0A f r例2：如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB滑至斜坡底部，又知0B=L求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以0为圆

14、心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有tABtAD/匹2匸V g Vg例2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆 平地面，ABD三点在同一竖直平面内, 杆上自A端滑到B端的时间为：(AB，且连线B如图所示，AC=BC=0.1m)A 0.1sB 0.2sC 一10解析：以C为圆心作一个参考园。由结论知，小球自 的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即A到B运动AE=2R=0.2mBD为水0小球套在CDBAE= 2 gt2t=0.2s4、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上

15、的小球从 A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间to例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间.技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图.AC是滑道的竖直高度， D点是AC竖直线上的一点，且有 AD = DE = 10 m ,滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶 A点由静止开始沿滑道 AE向下做直线滑动，g取10 m/s2，则滑行者在 滑道AE上滑行的时间为乙A. sC. s【解析】AE两点在以D为圆心、半径为 R= 10 m的圆上，在AE上的滑行时间与沿 AD所在的直径自由F落的时间相同，t=例4、如图所示，圆弧板的D端由静止下滑,然后冲向水平

16、面AB是半径为R的丄圆弧，在AB上放置一光滑木板 BD，一质量为 m的小物体在BD4BC ,在BC上滑行L后停下不计小物体在 B点的能量损失，已知 卩求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率.D 到 C 有 Wg mgLL 0，所以 Wg=卩 mgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t= 層，所以小物体在木板 BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P=卫例3:如图7, 一质点自倾角为的斜面上方的定点 0沿光滑斜槽a(图70P从静止开始下滑，为使质点从0点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角2为多大？解：如图7,作以0P为弦的辅助圆，使圆

17、心 于P点。由 等时圆”可知，唯有在 0点与切点 斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，0/与 0的连线在竖直线上，且与斜面相切P点架设的斜槽满足题设条件，质点沿其它P0 A，又00 P为等腰三角形，所例4:如图7, AB是一倾角为0的输送带， P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在 P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则 管道与竖直方向的夹角应为多大？p解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半 径作圆，要求该圆与输送带 AB相切，如图所示，C为切点， 建立管道，原料从 P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相 等。因而，要

18、使原料从 P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于0/ 2。O为圆心。显然，沿着 PC弦【例41如图7所示，在同一竖直平面内， 从定点P到固定斜面（倾角为0 ）搭建一条光滑 轨道PM,使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短， 则此轨道与竖直线的夹角a为多少？解析：先用解析法求解。从定点 P向斜面作垂线，垂足为 如图8所示，设P到斜面距离为h,则轨道长度为PMcos( )物体沿轨道下滑的加速度a g cos由于PM評2联立解得：t2h?cos( )图8令根式中分母y cos?cos（ ），利用积化和差得:1y 一 cos2的时间t最小。

19、cos(2）,0一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑2再用“等时圆”作图求解。以定点 的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的P为“等时圆”最高点，作出系列半径 “等时圆”圆周上，如图r不同（动态9中甲所示，则轨道长度均可表示为 PM 2Reos物体沿轨道下滑的加速度a geos由于PM at2，故得：t 兰,2V g欲t最小，则须“等时圆”的半径 r最小。 显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面 相切于M2点，如图9中乙所示。再根据几何关系可知:O2在这里，用了转化的思想，把求最短时 间转化为求作半径最小的“等时圆” ，避免 了用解析法求解的复杂计算。例4:如图5所示，在倾角为 的

20、传送带的正上方,有一发货口 A 0为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为多少?【解析】：如图6所示，首先以发货口 A点为最高点作一个圆0与传送带相切，切点为B，然后过圆心0画一条竖直线AB/，而连接A、B的直线，就是既过发货口 A，又过切点B的惟一的弦。根据“等时圆”的规律,货物沿AB弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽应沿9发赁口U L 1图/10图6AB方向安装。AB所对的圆周角P为圆心角的一半,而圆心角又等于a,所以如图3所示，在一个坡面与水平面成0=40止意外，需要在塔顶 0与山坡之间搭一个滑道,设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面 AB的夹角

21、角的山坡AB的脚下A处有一个高塔，为防 以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上 多大？的角平分D，连接0已到达解析 如图4所示，过O点作一条水平线与山坡交于 B点，过B点作/ ABO 线，交过O点作的竖直线于点 C,以点C为圆心、OC为半径作圆与山坡相切于点OD、CD.根据上述结论可知：人从 O点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的，沿滑道山坡，沿其他滑道还要再走一段距离才能到达山坡，所以人沿滑道 OD到达山坡所用时间最短，此时夹角0=90 0 =70 .另解如图5所示，过点O作山坡的垂线 OD，设其长度为X.过点O画直线OE,作为 滑道，设其与竖直方向的夹角为0 .由几何知识可知滑道的长度 OE=x

22、cos (a 0)，由牛顿 第二运动定律得人运动的加速度为 a=gsin (900)，由运动学公式有xcos (a 0) =12gcos 0 t2,解得t=2xgcos 0 cos (a 0),其中cos 0 cos (a 0) =12cos a +COS (2 0a),所以当2 0 = a =40时，时间取得最小值，此时夹角=90 0 =70.三、“形似质异”问题的区分a、b、c、d位于同一圆周 ，三个 0),用ti、12、t3依次表示各滑环到达 d所用的时间，如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出

23、) 滑环分别从a、b、c处释放(初速为则( )A.tlt2t2t3解析：选任一杆上的环为研究对象, 设圆半径为R，由牛顿第二定律得，C.t3t1t2D.t1 =t2=t3受力分析并建立坐标如图所示,mg cos ma再由几何关系,细杆长度L 2RC0S设下滑时间为t，则L-at22由以上三式得，可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于

24、它在解题中的应用，我们看下面的例子:【例1】还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为1,小滑环分 别从a、b、c处释放(初速为0)到达圆环底部的时间还等不等？a=gcos 0 -gsin 0,bd的长为 2RC0S 0, bd面上物体下滑的加速度为解析：4RC0SRtbd= J=2 。可见 t与0有关。 g cos g sin g g tan图3【例2】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的 光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高 点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环(图中未画出)，三个 滑环都从图中 O点无初速释放，用ti、t2、13、依次

25、表示滑到a、b、 c所用的时间，贝yA - tit?3 B . tit?3C - tit2t3D. t3ti 12解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”， 错选A。必须注意，“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上 初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。题图中 O不是最高点，题设 圆不是“等时圆”。现以O点为最高点， 圆”交Ob于b，如图 是等时的，比较图示位移取合适的竖直直径Oe，作“等时4所示，显然，O到f、b、g、e才Oa Of, Oc t2.于B、分别交AC、AD的延长线于 C1、D1.在圆ABC1D1中用前面的结论可知 不可以根据CC1 设

26、其与x轴的夹角为a,0,则直线AB的斜率为k=tan 0,直线AB的方程为整理变形有 xtan 0 y+sin a tan 0 cos a =0,另解 假设圆的半径为 R，建立如图8所示的直角坐标系.连接AO并假 贝U A点的坐标为（Rcosa, Rsin a）.设直线AB与x轴的夹角为ysin a =ta n 0（ x cos a）,由数学知识可知，坐标原点到直线 AB的距离为OE=|sin a tan 0 cos a |1+tan2 0,由几何知识解得 BE2=R2 (1 sin2 a +tan2 0 cos2 a 2sin a cos a tan 0 1+tan2 0), 整理得 BE=

27、 ( cos0 cos a +sin a sin 0) R,由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin 0,由运动学公式有2BE=12gsin 0 t2,解得小环运动时间为t=4R (cos a cos 0 +sin a sin 0) gsin 0=4Rg (cos a cot 0 +sin a),所以0增大，时间减小，t1t2t3.当式中a =90。时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律.说明2如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩.环处于加速下滑的条件是2BE=12 (gsin 0卩gcos 0) t2,解得环运动时间t=4R (cos a cos 0 +sin

28、 a sin 0) gsin 0 gcos 0, 变形为 t=4Rg (cos a tan 0 +sin a 1 卩 tan 0), 由此式可知：0增大，时间t减小，即t1t2t3.当式中a =90。或a = 90、i =0时，时间t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：细 杆光滑、A点为圆周的最高点或最低点.四、比较应用等时圆模型解典型例题如图9,底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止 滑到底端，至少需要多少时间？作 由(由答案：用作图求解。如图 10,以b为半径、0为圆心作一个圆， 出圆的一条竖直切线 MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。 图可看出：从MN上不同的点由静

29、止滑到 A点，以DA时间为最短。等时圆”可知，图中E/、D、C/各点到达A的时间相等。)所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以 45。的时间为最少，而且此时间与Cfl球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以tmin14b。V g2.有三个光滑斜轨道 1、2、3，它们的倾角依次是60, 45和30，这些轨道交于 0点.现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到图I0：图10ZLO点的先后顺序内A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后gsin ，物解析：设斜面底边长为I，倾

30、角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为-g sin t2 ,cos 2体的位移为x l/cos 。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得得 t21gsin cosgsin 2l、g 一定，所以当45时,t m in2、如图9,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板 部圆心O,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为 三个小孩同时从 a、b、A、 a处小孩最先到C、c处小孩最先到c处开始下滑O点O点aO、bO、cO,其下端都固定于底300、450、600。若有（忽略阻力），则 （）B、b处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c

31、三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为 R,yin0 t2, t2= 一4，当 0 =450 时，t 最小，当cos 2g si n 2a0 =30和60时，sin2 0的值相等。例3:如图3,在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（21）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少?【解析】 方法一：如图所示，设斜面底边长为I，倾角为速度为a gsin ，雨滴的位移为 x l/cos 。雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端,由运动学公式得 丄一1 g sincos 2t22

32、Itmin4IVgsin cos gsin 22L图3IIa，则雨滴沿光滑斜面下淌时加A 開方法二（等时圆）：如图4所示,l、g 一定，所以当 45时,通过屋顶作垂线 AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与 AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B从图4可以看出:在不同倾角的屋顶中，只有a2b是圆的弦，而其余均(2为圆的割线。根据等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为tI min2L而屋顶的倾角则为ta n【例6】在竖直平面内,LL固定一个半径为R的大圆环，其圆心为 O,450在圆内与圆心 O设轨道PM与水平面夹角为0,则物体沿轨道下滑的加

33、速度联立以上四个方程，有a、e、PM、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与0M倾角a之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。如果改用“等时圆”作图求解，以定点 P为最高点，可作 出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均 落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环内切的“等 时圆”半径最小，如图 14所示， 0 M 0 P，且在0M连线上。 最小的“等时圆”，物体沿轨道由该“等时圆”的圆心 0/满足 该圆就是由 P到定圆的半径P滑到M点的时间也最短。几何关系有Jr2 d2R_ 2 , 2R d得r 2R则0M与水平面的夹角a满足tan -dr22dR同一水平面上的 P点搭一光滑斜轨道 PM到大环上，如图13所示，0P =dv R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用0M与水平面的夹角a的三角函数表达）。解析：若用解析法求解，轨道长度由余弦定理求得pM Vd2 R2 2dRcos a g sin由正弦定理得：dsin（ ）又 pM 丄at22R2 d2arcta n。2dR【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高 的水平距离为L ,从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。 下滑到