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1、22全国卷真题汇总：解析几何小题姓名班级1. (2018? ?全国卷I文）已知椭圆C+zR的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）a.3b-22. (2018? ?全国卷II高考理科T12）已知冋，冃是椭圆的左，右焦点,A是C的左顶点，点P在过A且斜率为M的直线上， PFF2为等腰三角形，/ F1F2P=120 ,则C的6离心率为（）A. 3C的两个焦点，P是C上的一点，若PF3. （2018 全国卷II高考文科T11）已知F1, F2是椭圆丄P民且/ PRF1=60 ,贝U C的离心率为（）A.1-亭B 2 - v3Q v3-1D. V3-14.（2018 全国卷II高考理科-T5）同（2

2、018 全国卷II? ?高考文科T6)双曲线?|-?|=1(a0, b0)的离心率为v3,则其渐近线方程为（A. y = v2xB. y = v3xCy =xD.y =养5.（2018全国m理科T11）设F1, F2是双曲线? ?C囲-母二吐a0, b0）的左,右焦点，0是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|?=J6|?则C的离心率为（）A. v5B 2C. v3D. vl? ? 6. （2018 全国m高考文科T10）已知双曲线 C甫？|=1（a0, b0）的离心率为2,则点（4,0）到C的渐近线的距离为（）A. .0/2 27. （2018全国卷I理科T11）已知双曲线

3、C 一 y2=1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直3线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若 OMI为直角三角形，则|?=（）A.|B. 3D.4A. 5B 6C. 79. （2018 全国m高考理科T16）已知点直线与C交于A B两点.若/ AMB908. （2018 全国卷I高考理科T8）设抛物线Cy2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为？的直线3与C交于MN两点，贝UFN=（D. 8M-1,1）和抛物线Cy2=4x,过C的焦点且斜率为k的,则 k=.10. （2017 全国乙卷文科T12）设A,B是椭圆 C +乂=1长轴的两个端点，若C上存3 m在点M满足/ AMB=120 ,

4、则m的取值范围是 （）A. (0,1 U 9,+8) B. (0, 73 U 9+8)C. (0,1U 4,+8)D. (0, 73 u 4,+8)X2y211. （2017 全国丙卷理科T10）已知椭圆C: _L=1（ab0）的左、右顶点分别为 AA,a b且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）D.-32 212. （2017 全国丙卷文科T11）同（2017 全国丙卷理科 T10）已知椭圆C:冬+乂 =1（ab0）a b的左、右顶点分别为A,A且以线段 AiA为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为 （）B.並 C.返 D.I

5、33313. （2017全国丙卷理科2-占=1（a0,b0）的一条渐近线方程为y= x,a b且与椭圆2x_ + y122一=13有公共焦点，则C的方程为 （2A.12必=1102B.X-42c.L52y-=1422D.-丄=14314. （2017 全国甲卷理科T9）若双曲线215. （2017 全国甲卷文-T5）若a1,则双曲线 笃-y2=1的离心率的取值范围是（）a.(72,+8 )aB. (72,2) C.(1,72)D.(1,2)216. （2017 全国乙卷文科-T5）已知F是双曲线C:x2- -L =1的右焦点,P是C上一点,且 PF与3x轴垂直，点A的坐标是（1,3）.则APF

6、的面积为A.1B.1C.?323D-I17. （2017 全国乙卷理科2T15）已知双曲线C：xa2 =1（a0,b0）的右顶点为 A,以A为圆b心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 MN两点.若/ MAN=60，则C的离心率为218. （2017 全国丙卷文科-T14）双曲线 冬a2y =1（a0）的一条渐近线方程为y=- X,则95a=19. （2017 全国乙卷理科-T10）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线,若椭圆中心到I的距离为其短轴长的1-则该椭圆的离心率为D-I21. （2016 全国卷川文科- T12）与（2016 全国卷 3 理科-T1

7、1）相同2已知O为坐标原点,F是椭圆C:xya2y务=1 （ab0）的左焦点,A,B分别为C的左，右顶b点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）11A. 1 B.丄32C.f D.；22. （2016 全国卷I高考理科T5）已知方程n 3m1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是A. (-1 ,3)B. (-1 J3) C. (0,3)D.（0,73）的左、右焦点，点M23. （2016 全国卷n理科T11）已知F1,F2是双曲线1在E上，MF与x轴垂直,sin / MF1=3 ,则e的离心

8、率为（3A.农 B. r c.応 D.22C的准线于D,E两点.已知24. （2016 全国卷I高考理科T10）以抛物线 C的顶点为圆心的圆交C于AB两点，交|AB|=4 72 ,|DE|=2 75,则C的焦点到准线的距离为A.2B.4 C6 D.825. （2016 全国卷n文科T5）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线ky=- (k0)与C交于 x点P,PF丄x轴，则k=（A. 1B.1 C.226.（2015 新课标全国卷I理科T5）已知M（x0,y0）是双曲线32x2Cy-y2=1上的一点,F1,F2是C的两D.2个焦点若MF1 MF20,则y0的取值范围是（“ r B.(-)C-b

9、0）的左，右焦点,A是C的左顶点R在过A且斜率为一的直线上， RFF2为等腰三角形，/ FiF2R=120 ,则C的离6心率为C3d-4【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力【解析】选D.由题意直线 AR的方程为y=y（x+a）, RFF2为等腰三角形，/ FiF2P=120 ,所以RR=2c, / RFx=60 ,故 R2c, v3c)，代入 y(x+a)得，-3(2c+a)= v3c,6 6? i解得e=?=43.(2018 全国卷 II 丄 RFa,且/ PFF1=60高考文科-T11）已知Fi, F2是椭圆C的两个焦点，R是C上的一点，若PF ,则C的离

10、心率为（）A.1-竺B2- v3C 也2 2【命题意图】 本题考查椭圆的定义和性质的应用，考查了学生的运算和转化能力【解析】 选D在直角三角形 RFF2中，FiF2=2c, / RRFi=60所以 RF=v3c, R氐C,又 RF+RF=2a,所以 v3c+c=2a,B 2 - v3D. V3-1? ?1.（2018 全国卷II高考理科-T5）同（2018 全国卷II高考文科-T6）双曲线-狗二吐a0, b0）的离心率为v3,则其渐近线方程为（）Ay=QxB.y=v3x07=予D.y =3x【命题意图】 本题考查双曲线的简单几何性质【解析】选A.因为e=?=v3,所以拿零=3,即?2=2,?=

11、v2,所以渐近线方程为 y=v2x.? ?乡2. (2018 全国m高考理科-T11)设Fi,F2是双曲线C：?-?2=1(a0,b0)的左，右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线A v5B 2C. V3【命题意图】本题以双曲线作为问题背景 解,考查逻辑推理能力、运算求解能力中.【解析】 选C方法一：设渐近线的方程为bx- ay=0,则直线PR的方程为?= 0，可得 R可，討，由 F1(- c,0)及I pfi=询 op, ,垂足为P.若I?=v6|?则C的离心率为()D v2,考查直线的交点，双曲线的几何性质及离心率的求,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度：ax+by-

12、ac=O,由 / ? 2 ?2 _/ ? 2 ?2 一 2 2 _得v(-+ ?)+ (刃=v6+，化简可得3a2=c2,即 e=v3.方法二：因为 I P|= b,| OF|= c,|PC|=a,在 Rt POF中，设/ PFOB ,则有 cos 0 =?=?丨.？ 2 ?2 2 2在 pfF2 中,cos 0 =I? .；?；?=； ?+4?-(V?二? b2+4c2-6 a2=4b2? 4c2-6a2=3c2-3 a2? c2=3a2? e=V3.2?2?3.(2018 全国m高考文科? ?T10)已知双曲线 C ?.2-?2=1(a0, b0)的离心率为v2,则点(4,0)到C的渐近线

13、的距离为(A v2D. 2 v22【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用，意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本 运算能力，培养学生的运算能力，体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D.方法一(直接法):由已知，双曲线C的一条渐近线为yW*即bx- ay=0,所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d=v?需弓因为 a2+b2=c2,离心率 e=?=v2,所以 e2=?2=2, a2=?, ?+b2=c2, b2=方法二(数形结合):家，薯,所以d=2运画图草图，记C的递增的渐近线斜率为k,倾斜角为a，点P(4,0)到C的渐近线的距离为d,则k=tan a=m借助以角a为内角的直角三角

14、形，a对边为b,邻边为a,由勾股定理求得斜边c).h所以sin? _? v ?-字?又离心率?Le=?=v2,记 c=v2t,则 a=t,所以 b=t ,sin a =?字? 2在 Rt OPQ ,sin a=-?所以-=二所以 d=2v2.44 2? 26.(2018 全国卷I高考理科-T11)已知双曲线C:亍y=1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若 OMI为直角三角形，则|?=()D4C. 2v3【解析】选B.渐近线方程为：？2-y2=0,即y=弓X,33所以/ MON.因为 OMI为直角三角形，假设/ ON,如图,所以kMNFvi,直线M舫程为

15、y=v3(x-2).3联立?= -y? ?= v3(?-2),所以 N,-y),即 Or=v3,因为/ MONf,所以| MN=3 .1. (2018 全国卷I高考理科-T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线3与C交于MN两点，则FM- FN=()A 5B. 6C 7D. 8【解题指南】在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出M1,2),N4,4),之后借助于抛物线的方程求得F(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M N的坐标，应用根与系数的关系得到

16、结果.【解析】选D.由题意知直线MN的方程为2y=3(x+2), F(1,0).设Mxi,yi), N(X2, y2),与抛物线方程联立有2严 3(?+ 2),? = 4?可得? = 2,或?=4,所以 FM=(0,2),FN=(3,4),所以 FM I FM=OX 3+2X 4=8 .2. (3018 全国m高考理科-T16)已知点M-1,1)和抛物线Cy2=4x,过C的焦点且斜率为 k的 直线与C交于A, B两点.若/ AMB90 ,则k=.,抛物线的几.试题难【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景 ，考查直线与抛物线的位置关系 , 何性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力，体现了逻辑推

17、理和数学运算等核心素养 度:难.y=k(x-1).【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为由H；)，得 k2x2-2( k2+2)x+k2=0,设 A(X1,y1), B(X2, y2), 所以 X1+X2=2?勺，X1X2=1,因为/ AMB90 ,所以莎 Kifii-k( X2-=(X1+1, y1-1) (X2+1, y2-1)=( X1+1)( X2+1)+( y1-1)( y2-1)=( X1+1)( X2+1)+ k(X1-1)-11)-1=(1- k- k2)( X1+X2)+(1+ k2)X1X2+k2+2k+2=(1- k- k2)

18、?2+22+(1+ k2)+ k2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:21. (2017 全国乙卷文科-T12)设A,B是椭圆33C0+ =1长轴的两个端点，若C上存3 m在点M满足/ AMB=120，则m的取值范围是A.(0,1 U 9,+8)B.(0,73U 9,+8)C.(0,1 U 4,+8)D.(0, 73U 4,+s)Nan60Ai,A2,【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系，考查学生的运算求解能力【命题意图】本题主要考查椭圆的性质，利用椭圆的性质解决相关问题a【解析】选a.当0m3时,焦点在x轴上，要使C上存在点M满足/AMB=120,则一貝an60b即t3，得

19、03时，焦点在y轴上要使C上存在点 M满足/AMB=120,则Tmb= J3,即73,得m59,故m的取值范围为（0,1 U9,+旳,故选a.2 2x y3. （2017 全国丙卷理科-T10）已知椭圆 C + 2 =1（ab0）的左、右顶点分别为a b且以线段AiA为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）D. -332ab【解析】选a.直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离d= / ?V a22 2a =3b , 即 a2=3(a2-c2) ? 2a2=3c2,即 与=? , e= C =血a 3 a 324. （2017 全国丙卷-文科-TH）同（

20、2017 全国丙卷-理科-T10）已知椭圆C:笔+卫 =1（ab0）a b的左、右顶点分别为Ai,A2,且以线段AiA2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率B.C 返 D.133【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系，考查学生的运算求解能力2ab【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离d=厂“=a,整理为i 22va ba2=3b2,即 a2=3(a2-c2)? 2a2=3c2，即 = 2 ,e=E=逅a 3 a 32x1.（2017 全国丙卷理科T5）已知双曲线 C:冷-a2計（a0,b0）的一条渐近线方程为y=逅x,且与椭圆2

21、2 2+壬=1有公共焦点，则C的方程为1232A.122y10=12B.42152C.-52y-=142D.-42乂=13【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力【解析】选B.由题意可得：一a,c=3,又 a ,+s) B. (72,2) c.(1,72)D.(1,2)+b2=c2,解得 a2=4,b2=5,22 2则C的方程为-红=1.45【光速解题】根据渐近线方程可判断a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2 )2+y2=4 b2所截得的弦长为2,则C的离心率为（A.2 B.C.运 D.23【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算

22、能力，通过求离心率考查了几何性质的应用【解析】选A.圆心到渐近线bx ay=O的距离为J22 1 =运,所以一=73 ? c=2a? e=2.厶cx3. （2017 全国甲卷文-T5）若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是（）a【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.2【解析】选C.由题意e2= qa2 12a a=1 + ,因为a1,所以a111 + r 2,则 1e0,0)的右顶点为 A以Ab为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点.若/ MAN=60，则C的离心率为【命题意图】本题主要考查双曲线的性质，

23、并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率，考查考生解决问题的综合能力【解析】如图，OA =a,|AN=AM =b,J3因为/Man=60,所以lAPI吟b,0P|=dOpf |PA= J3 2；bAP所以tan 0 =OP又因为tan 0 =-,所以a I 223b24=b,解得 a2=3b2,a的顶点到渐近线的距离是ab.做好这b;双曲线e=ff=仁普【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐 一类问题要抓住以下重点解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可;双曲线的焦点到渐近线的距离是3y=-X,则52 29.（2017 全国丙卷文科-T14）双曲

24、线 卷-工=10）的一条渐近线方程为a 9a=【命题意图】本题考查双曲线的定义，考查学生运算求解的能力【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y= -3x,结合题意可得:a=5.a答案：51. （2017 全国乙卷理科-T10）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C交于A,B两点，直线I 2与C交于D,E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质，并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题【解析】选A.方法一：设直线I 1方程为y=k1（x-1 ）,联立方程4xk1x 1得

25、k2-2ki2=o,设 A(xi ,yi),B(x2,y2),D(x3,y3),日x4,y4).所以X+X1k22 k2 4 2k2 4k2同理直线12与抛物线的交点满足 X3+X4=22k2 42k2由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x i+X2+X3+X4+2p22k1_ 22k2 4 2k2 444=+ +4= + +82- 2 2 2 k2 k1 k2辱侮16,kk当且仅当k1=-k2=1（或-1）时,取得等号方法二：不妨设AB倾斜角为00.作AK1垂直于准线，垂足为K1,AK2垂直X轴,垂足为2K2,准线交X轴于点G易知AF cosAK1AFGFAK1 抛物线特性几何关系GFl号所

26、以AF-cos+p= AF ,同理AF =1 cos,bf| =1 cos2P 2P所以I AB-21 cos sin2P2P2COS又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为DE 2sin 2而 y 2=4x,即 p=2.所以 AB + DE =2p12sin12COS2 2一彳 sin cos -42 2 2 2sin cos sin cos41 r4sin 2一16羽6,当0 =取等号,sin2a b即AB + DE最小值为16,故选A.1. (2016 全国卷I高考文科-T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到I的距离为其短轴长的扌,则该椭圆的离心率为4 B.1 C.f D.；【

27、解析】选B.设椭圆的标准方程为2 2x2 + =1(ab0),右焦点 F(c,0),则直线 a bI的方程为-c+ y =1,即bx+cy-bc=O ,由题意可知 ba2=b2+c2,得 b2cSb2a2,所以e=a=32. (2016 全国卷川文科- T12)与(2016全国卷3 理科-T11)相同(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点 A的直线I 与线段PF交于点 M与y轴交于点 E.若直线BM经过0E的中点,则C的离心率为 (A. 3C.f D.；【解题指南】点 M是直线AE和直线BM的交点，点M的横坐标和左焦点相同，进而找到a,b,c的联系.k

28、,直线AE的方程为y=k x a ,令【解析】选 A.由题意可知直线 AE的斜率存在，设为x=0可得点E坐标为 0,ka ,所以OE的中点H坐标为ka0,2 ,又右顶点 B(a,0),所以可得kk k直线BM的斜率为-2,可设其方程为y=-2x+-，联立ya ,k 可得点M横坐标-a,2aa1为-_,又点M的横坐标和左焦点相同，所以-=-c ,所以e=_ .3321.(2016 全国卷I高考理科T5)已知方程 J-m32 yn 3m I-1表示双曲线，且该双曲n线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 (A.(-1 ,3) B. (-1 J3) C. (0,3) D.(0,73)2 2【解析】选

29、 A.邛一 -4 1表示双曲线m n 3m n则(m2+n)(3m-n )0 ,所以-m2n3m2,由双曲线性质知：c2=(m2+ n)+(3n?-n )=4m2,其中c是半焦距，所以焦距2c=2 2|m|=4 ,解得 |m|=1 ,所以-1n0）,设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图设 a(xo,2 72),dP J5 ,点A（xo,2血）在抛物线y2=2px上,所以8=2px o.2点D p，翕在圆x2+y2_r2上，所以5+夕_2.点 A(xo,2 72)在圆 x2+y2=r2上,所以 x0 +8=r2.联立解得：P=4,焦点到准线的距离为p=4.2. （2016 全国卷n文科- T5）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线ky=- (k0)与C交于 x点P,P F丄x轴，则k=（）A. 1B.1C. 3 D.2【解题指南】P是两条曲线的交点洗利用抛物线方程y2=4x求出交点坐标，再代入曲线方程y= k.x【解析】选D.因为抛物线方程是2y =4x,所以 F(1,0).又因为PFlx轴,k所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y=- (ko),X即k=2,所以k=2.1x2(2015 新课标