181勾股定理在几何图形中的计算与应用文档资料

1、 勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem) gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 222 abc? 即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 a b c 1.直角三角形三边有什么关系? 2.如图,在RtABC中 C=90o 已知a,b. C=_ 已知a, c. b=_ 已知b,c a=_ A C B a b c 3.你能利用勾股定理解决什么样的实际问题 ? 练习: ?1、在ABC中，B=90若a=3，b=5， ? 则c= ? 2 、在RtABC中，C=90,C的对边为c, c=7,b=3, 则 a=_ ? 3、等腰直角三角形的腰

2、长为3cm，则底边长为 . ? 4、直角三角形的两边长为3厘米和5厘米， ? 则第三边长为 . ? 5、直角三角形两直角边分别为6cm,8cm， ? 那么这个直角三角形的斜边长为：_ 2 1、在RtABC中，C=90， 若a=5，b=12，则c=_； 若c=61，b=60，则a=_； 若ab=34，c=10则 SRtABC=_。 13 11 24 基础过关 2、把直角三角形两条直角边同时扩大、把直角三角形两条直角边同时扩大 到原来的3倍，则其斜边（ ） A.不变 , B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3 B 3、已知一个直角三角形的两边长分别为 3和4，则第 三边

3、长的平方是( ) A.25 B.14 C.7 D.7或25 A B C D 7cm 2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为_cm 2。 49 (1)求出下列直角三角形中未知的边. 问题: 在解决上述 问题时,每个 直角三角形 需知 晓几个 条件? 直角三角形中哪条边最长? 检查： 30 A B C A B C 6 10 C B A 8 15 2 45 C B A 2 (2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m,求AC长 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过

4、?为什么? 2m D C A B 连结AC,在RtABC中,根据勾股定理, 因此,AC= 2.236 因为AC_木板的宽, 所以木板_ 从门框内通过. 5 21 22222 ? BCABAC 5 大于 能 1m 2m 探究一探究一 (1)一个门框的尺寸如图所示 . 若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问 怎样从门框内通过 ? 若薄木板长3米,宽1.5米呢? 若薄木板长3米,宽2.2米还能通过吗? 若能，怎么通过？若不能，为什么？ 、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角 的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米 C 试一试: 如图，一个m

5、长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO的距离为2.5m， 求梯子的底端B距墙角O多少米？ 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至，请同学们 猜一猜，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值（保留两位小数) B O C D A A B O D C O B O C D A A B O D C O 在tAOB中 oB2=_ oB=_ 在RtCOD中 OD2=_ OD=_ BD=_ 梯子的顶端沿墙下滑，梯子底端外移 解 AB 2-AO2 1.658m CD2-CO2 2.236m OD-OB0.58m 0.58m 22 OAAB ? 22 OCCD ? 2 2、如图有两颗树

6、，一棵高、如图有两颗树，一棵高8m8m，另一棵高 2m，两树相距，两树相距8m8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 8m 2m 8m A B C D E 一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼 9米处，升起云梯到失火的窗口，已知发 生火灾的窗口距地面有 14.2米，云梯底部 距地面2.2米，问云梯至少需要搭出多少 米可以够到失火的窗口? A B C E D 帮一帮消防员 D A B C 3 3、蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到D D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G F E 提示 构 造 直 角 三 角 形 三、勾股

7、定理的应用 1.已知：直角ABC中，C=90， 若a=3, b=4, 求 c 的值。 （一） 直接运用勾股定理求边 若c-a=2, b=6，求 c 的值 三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用 （一） 直接运用勾股定理求边 3、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， 则x=_ 2012或 2.已知直角三角形ABC中, (1)若AC=8,AB=10,则 = _. (2) 若 =30,且BC=5,则AB=_ (3)若 =24,且BC=6,则AB边上的高 为_ B A C ABC S ? ABC S ? ABC S ? 24 13 4.8 2、 如图，ACB=ABD=90，CA=CB， DAB=3

8、0，AD=8，求AC的长。 解： ABD=90，DAB=30 BD= AD=4 2 1 在RtABD中 ,根据勾股定理 4848 22222 ?BDADAB 在RtABC中， CBCACBCAAB?且, 222 24 2 1 2 2222 ?ABCACAAB 62? AC 又AD=8 A B C D 30 8 3.在一棵树的在一棵树的20米的B处有两只猴子处有两只猴子,其中一 只猴子爬下树走到离树只猴子爬下树走到离树40米的A处处,另一只爬另一只爬 到树顶D后直接约向后直接约向A处处,且测得AD为为50米米,求求 BD的长. D C A B 三、勾股定理的应用三、勾股定理的应用 （二）先构造，

9、再运用（二）先构造，再运用 A B C 5 5 6 1、如图，求ABC的面积 D 已知:如图,等边ABC的高AD是 . (1)求边长; (2)求SABC . A B C D 练一练 3 3 2 x x 1、在等腰ABC中，ABAC 13cm ，BC=10cm,求ABC的面积 和AC边上的高。 A B C D 13 13 10 H 提示：利用面积相等的关系 BHACADBC? 2 1 2 1 练习 校园里有一块三角形空地，现准备在这 块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出 它的三边长分别是 13、14、15米，若这种草 皮每平方米售价120120元，则购买这种草皮至 少需要支出多少？ 15 13

10、 14 A B C D x 14-x 下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 旗杆有多高呢？ 你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 小明发现旗杆上的绳子垂到 地面还多1米，当他们把绳子的下 端拉开5米后，发现下端刚好接触 地面，你能帮他们把旗杆的高度 和绳子的长度计算出来吗？ A B C x x+1 如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片， 使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm， BC=6cm,你能求出CE的长吗？ C A B D E 解：由题意可知，DE为AB的垂直平分线。 连接BE，则 在 BCE中，C=90 由勾股定理可得：CE2=BE2 BC2 =AE2

11、 BC2 =(AC CE)2 BC2 解得：CE=3.2cm 折叠问题 2、矩形纸片D中，D4cm，AB=10cm，按 如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ A B C D E F （B） （C） 如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D 落在BC边上的点F处，若AB=8， AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长. 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8-x 8-x 3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高 出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 这里水深多少?

12、 B C A H 1 2 ? x x2+22=(x+1)2 试一试：试一试： 在我国古代数学著作在我国古代数学著作 九章算术中记载了一道九章算术中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是思是：有一个水池，水面是 一个边长为一个边长为10尺的正方形，在尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面苇，它高出水面1尺，如果把尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面，的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？ D A B C 无障碍设施建设是社

13、会文明进步的重要标志，是城市管理 人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不 可或缺的环境条件。 20192019年在上海举行第1212届夏季特殊奥林匹克运动会 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量 每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的 长度吗？ A C B 在RtABC中，ACB=90 AB2=AC2+BC2(勾股定理） 解： AC=11.254=45cm,BC=203=60cm 7556256045 2222 ?BCACAB 通道的长度为75cm. 45 60 A C B 在RtADC中， ADC=30, AD=2AC=90cm（ ） 解：AC=45c

14、m,BC=60cm ? 2222 4590ACADDC D 若放缓坡度，使ADC=30,则点D还要距离点B多远？ 30 DB=DC-BC= . 60345? 2019年将在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会 如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量 每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的 长度吗？ 45 60 勾股定理）(345 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一 个56cm36cm23cm的长方体空间。一位 旅客携带一件长 的画卷，这件画卷能平放 入行李架吗？ 36 56 23 A C E B D F G H 56 36 A B C D 解：四边形ABCD是长方形

15、（已知） B=90 （长方形的四个角都是直角） 在RtABC中， AC2=AB2+BC2(勾股定理） 得 6566.6, 长65cm的画卷能放入行李架 44323656 2222 ?BCABAC 65cm )(6 .66cm? 圆柱(锥)中的最值问题 例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ A B 分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图) 解：AC =

16、6 1 = 5 ， BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB 2= AC2+ BC2=169, AB=13(m) . 2 1 B A C 聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自 己腰杆不硬，为了得到阳光的沐 浴，常常会选择高大的树木为依 托，缠绕其树干盘旋而上。如图 (1)所示。 葛藤又是一种聪明的植物， 它绕树干攀升的路线，总是沿着 最短路径螺旋线前进的。若 将树干的侧面展开成一个平面， 如图（ 2），可清楚的看出葛藤 在这个平面上是沿直线上升的。 （1） （2） 数学奇闻 有 一棵树直立在地上，树高 2丈，粗3尺，有一 根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕 7周到达树顶， 请问这根葛藤条有多

17、长？（ 1丈等于10尺） A B C 20尺 37=21（尺） 聪明的葛藤 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ A B A 1 B1 D C D1 C1 2 1 4 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图 ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短. A B D C D1 C1 4 2 1 AC1 =42+32 =25 ; A B B1 C A1 C1 4 1 2 AC1 =62+12 =37 ; A B1 D1 D A1 C1 4 1 2 AC1 =52+22

18、=29 . 四、长方体中的最值问题四、长方体中的最值问题 如图：正方体的棱长为如图：正方体的棱长为cm，一只蚂蚁，一只蚂蚁 欲从正方体底面上的顶点A沿正方体的 表面到顶点C处吃食物，那么它需要爬 行的最短路程的长是多少？ A B C D A B C D 9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于cm，cm和cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点， A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？ B A A B C 7 .7 .观察下列表格：观察下列表格： 列举列举 猜想 3 3、4 4、5 5 3 32=4+5 5 5、12、13 5 52=12+13 7 7、24、25 7 72=24+25 13、b、c 132 2=b+c 请你结合该表格及相关